第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析第1頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的比較連續(xù)系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程卷積積分離散系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程卷積和第2頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)單位序列和單位序列響應(yīng)卷積和本章要點(diǎn)：第3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三差分與差分方程—前向差分、后向差分以及差分方程差分方程解—數(shù)值解、經(jīng)典解，以及不同特征根對(duì)應(yīng)的齊次解和不同激勵(lì)對(duì)應(yīng)的特解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)§3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)第4頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、差分與差分方程1、前向差分與后向差分一階后向差分一階前向差分第5頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、前向差分與后向差分的關(guān)系3、差分方程的一般形式將各階差分寫為y(k)及其各移位序列的線性組合：常系數(shù)差分方程，用來(lái)描述LTI離散系統(tǒng)；變系數(shù)差分方程第6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、用迭代法求差分方程的數(shù)值解

差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，當(dāng)已知初始條件和激勵(lì)時(shí)可以利用迭代法求得差分方程的數(shù)值解

當(dāng)差分方程階次較低時(shí)可以使用此法

二、差分方程的解例3.1－1若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵(lì)f(k)=2k(k),求y(k)第7頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：將差分方程中除y(k)以外的各項(xiàng)都移到等號(hào)右端，得對(duì)k=2，將已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得依次迭代可得特點(diǎn)：便于用計(jì)算機(jī)求解例3.1－1第8頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若單輸入-單輸出的LTI系統(tǒng)的激勵(lì)為f(k),全響應(yīng)為y(k)，則描述系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階常系數(shù)線性差分方程，一般可寫為：

2、差分方程的經(jīng)典解

第9頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解由齊次解和特解兩部分組成：1）齊次解：齊次方程的解稱為齊次解.它的n個(gè)根λi（i=1,2,…,n)稱為差分方程的特征根令y(k)=Ck第10頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三均為單實(shí)根時(shí)的齊次解：λ1為r重根，其余(n-r)為特征單根：有一對(duì)共軛復(fù)根λ1、2=a+jbYh(k)=ρk[Ccos(βk)+Dsin(βk)]（其中β=arctan(b/a)，ρ=(a2+b2)1/2第11頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)f(t)響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解第12頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三選定特解后代入原差分方程，求出待定系數(shù)就得出方程的特解。3）全解

代入初始條件求出待定系數(shù)Ci，于是得到完全解的閉式見書P88第13頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：方程的特征方程為例3.1-2,若描述某系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件y(0)=0,y(1)=-1,激勵(lì)f(k)=2k,k0。求方程的全解特征根為1＝2＝－2，為二重根，齊次解為由題意，設(shè)特解為第14頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將yp(k)代入到原方程得全解為：將已知條件代入，得C1＝1,C2=1/4自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)第15頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、解形式

零狀態(tài)響應(yīng)，僅由激勵(lì)引起零輸入響應(yīng)，激勵(lì)為零時(shí)的響應(yīng)三、零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)第16頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)特征根均為單根時(shí)，有：czii由初始狀態(tài)決定，czsi由激勵(lì)決定，且ci=czii+czsi第17頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于yzs(k)為零狀態(tài)響應(yīng)，k<0時(shí)激勵(lì)還沒(méi)有接入，所以有：yzs(-1)=yzs(-2)=…=yzs(-n)=0而，y(k)=yzi(k)+yzs(k)，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，…，yzi(-n)=y(-n)----系統(tǒng)的初始狀態(tài)2、求初始值第18頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三初始值：y(0),y(1)…y(n-1)可由差分方程推出例3.1-4若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知f(k)=0,k<0,初始條件y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零輸入響應(yīng)解：零輸入響應(yīng)滿足初始狀態(tài)：第19頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求初始值差分方程的特征方程為：齊次解為：第20頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將初始值代入得：第21頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三作業(yè)P1103.6(2)(5)第22頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2單位序列和單位序列響應(yīng)一、離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、復(fù)習(xí)離散信號(hào)有關(guān)知識(shí)三、單位序列和單位階躍序列四、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)第23頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由激勵(lì)f(k)所產(chǎn)生的響應(yīng)。用yzs(k)表示，滿足如下方程：非齊次方程若特征根均為單根，則有Czsj為待定系數(shù)，yp(k)為特解。第24頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3.1-5，若描述離散系統(tǒng)的差分方程為注意：零狀態(tài)響應(yīng)的初始狀態(tài)yzs(-1),yzs(-2),…yzs(-n)為零，但其初始值yzs(0)，yzs(1)，yzs(2)，…,yzs(n-1)不一定為零。其中，f(k)=2k,k0,求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：零狀態(tài)響應(yīng)滿足下一步？？第25頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令k=0,1，并將初始狀態(tài)值代入，得由（1）式可求得解為：方程的特征根為1＝-1,2＝-2,所以有：將初始值代入，可求得第26頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：一個(gè)初始狀態(tài)不為零的離散系統(tǒng)，在外加激勵(lì)的作用下，其完全響應(yīng)為若特征根都為單根，則全響應(yīng)為：齊次方程解的形式？第27頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、基本離散信號(hào)定義：連續(xù)信號(hào)是連續(xù)時(shí)間變量t的函數(shù)，記為f(t)。離散信號(hào)是離散時(shí)間變量tk（k為任意整數(shù)）的函數(shù)，記為f(tk)。離散信號(hào)表示：（a）圖形表示：（tk－t(k－1)）在圖a中為變數(shù)；在圖b，c中為常數(shù)第28頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（b）解析表示：第29頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、單位序列和單位階躍序列1.單位序列（單位脈沖序列或單位樣值序列）：位移單位序列：第30頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三加：(k)

+2(k)＝3(k)運(yùn)算：乘：δ(k)?δ(k)=δ(k)延時(shí)：0取樣性質(zhì)：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)第31頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第32頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.單位階躍序列：ε(k)(1)定義：(2)運(yùn)算：第33頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3)δ(k)與ε(k)的關(guān)系：

δ(k)=▽?duì)?k)=ε(k)-ε(k-1)差分表示，對(duì)應(yīng)的微分δ(t)=dε(t)/dt

ε(k)=對(duì)應(yīng)的是連續(xù)系統(tǒng)的積分式中，令i=k-j,則當(dāng)i=-時(shí)，j=;當(dāng)i=k時(shí)，j=0,故第34頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)單位序列響應(yīng)當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位序列(k)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為單位序列響應(yīng)，用h(k)表示。和連續(xù)系統(tǒng)的h(t)相類似。求h(k)的方法：

解差分方程；z變換法（第六章）由于(k)僅在k=0時(shí)等于1，而在k>0時(shí)為零，因而在k>0時(shí)，系統(tǒng)的h(k)和系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式相同。因此，求h(k)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求差分方程的齊次解的問(wèn)題，而h(0)可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定。第35頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例題例3.2-1求下圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。見書p96第36頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）h(k)滿足h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=δ(k)h(-1)=h(-2)=0(3)求初始值：用迭代法h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+δ(k)h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1(4)k＞0時(shí),h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0h(k)=c1(-1)+c2(2)h(0)=c1+c2=1；h(1)=-c1+2c2=1得c1=1/3;c2=2/3所以（1）列寫差分方程：y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)第37頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

階躍響應(yīng)：g(k)1).定義：g(k)=T[0,ε(k)]2).h(k)與g(k)的關(guān)系：第38頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三經(jīng)典法;由h(k)求出例：同例3.2-1①經(jīng)典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=ε(k)g(-1)=g(-2)=0對(duì)k≥0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1齊次解：gn(k)=c1(-1)k+c2(2)k

特解：gp(k)=p0=-?

求g(k)的方法∴g(k)=c1(-1)k+c2(2)k-?k≥0見書P87，表3－2第39頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三g(-1)=-c1+2c2-?=0g(-2)=c1+?c2-?=0所以：c1=1/6;c2=4/3②利用h(k)求g(k):∴g(k)=[1/6

(-1)k+4/3(2)k-?]ε(k)第40頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第41頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3卷積和1.卷積和的定義:f(t)yzs(t)=h(t)*f(t)δ(t)h(t)

f(k)yzs(k)=h(k)*f(k)δ(k)h(k)第42頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三f(k）的分解：k=-2,f(-2)*δ(k+2)k=-1,f(-1)*δ(k+1)k=0,f(0)*δ(k)k=1,f(1)*δ(k-1)k=i,f(i)*δ(k-i)

第43頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.一般定義:

i:求和變量：-∞～+∞；k:參考量：-∞～+∞第44頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3卷積和1.序列的時(shí)域分解任意離散序列f(k)可表示為f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…第45頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)h(k)的定義：第46頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.卷積和的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(t)與f2(t)的卷積和，簡(jiǎn)稱卷積；記為f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。第47頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例題例1：f(k)=a

kε(k),h(k)=b

kε(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k)當(dāng)i<0,ε(i)=0；當(dāng)i>k時(shí)，ε(k-i)=0這種卷積和的計(jì)算方法稱為：解析法。第48頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2已知序列x(k)=(3)-k(k)，y(k)=1,-∞＜k＜∞,試驗(yàn)證x(k)和y(k)的卷積和運(yùn)算滿足交換律，即證:先計(jì)算x(k)*y(k)，考慮到(k)的特性，有第49頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三再計(jì)算y(k)*x(k)，同樣考慮到u(k)的特性，可得求解過(guò)程中對(duì)k沒(méi)有限制，故上式可寫為x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5-∞＜k＜∞可見，x(k)*y(k)運(yùn)算滿足交換律。所以第50頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3：求ε(k)*ε(k)解：例4：求akε(k)*ε(k?4)解：第51頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三考慮到(i)的特性，可將上式表示為例設(shè)f1(k)=e-k(k)，f2(k)=(k),求f1(k)*f2(k)。解由卷積和定義式得第52頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三顯然，上式中k≥0，故應(yīng)寫為第53頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、卷積的圖解法卷積過(guò)程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i),右移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)求和。注意：k為參變量。下面舉例說(shuō)明。第54頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？（1）換元（2）f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5第55頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：畫出f1(i),f2(i),f2(-i)第56頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三??第57頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第58頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期三列表法求卷積和f(k)=f1(k)*f2(k)=f1(i)f2