第一章 數(shù)學(xué)模型與建模概論

第一章數(shù)學(xué)模型與建模概論第1頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三/book-show/flex/book.html?courseNumber=12514477課程網(wǎng)址第2頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、數(shù)學(xué)的重大作用計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和普及，大大增強(qiáng)了數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)向社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和自然界各個(gè)領(lǐng)域的滲透，擴(kuò)展了數(shù)學(xué)與實(shí)際的接觸面。產(chǎn)生了如數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)等邊緣學(xué)科第3頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代——信息社會(huì)國(guó)家的繁榮富強(qiáng)，關(guān)鍵在于高新的科學(xué)技術(shù)和高效率的經(jīng)濟(jì)管理。高新技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，而應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)。第4頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定量化與數(shù)學(xué)當(dāng)代社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)特點(diǎn)就是定量化和定量思維的不斷加強(qiáng)事物之間的聯(lián)系規(guī)律和事物本身的變化規(guī)律,必蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，而數(shù)學(xué)正是反映這些關(guān)系的學(xué)科，是對(duì)其中有關(guān)的空間結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系的共性不斷地抽象、升華。第5頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)：思維的抽象性推理的嚴(yán)謹(jǐn)性結(jié)論的明確性應(yīng)用的廣泛性第6頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)代科技人員所應(yīng)具備工作素質(zhì)直觀思維邏輯推理精確計(jì)算結(jié)論明確等如果沒(méi)有一定的數(shù)學(xué)訓(xùn)練和數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)是難以具備的。第7頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

如何應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段和橋梁。第8頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)模型的廣泛應(yīng)用生理醫(yī)藥學(xué)家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥城市規(guī)劃工作者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)根據(jù)廠長(zhǎng)經(jīng)理們要是能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯存費(fèi)用等信息，掌握了他們的工廠、企業(yè)的生產(chǎn)與銷(xiāo)售的數(shù)學(xué)模型，他們就可以用計(jì)算機(jī)控制生產(chǎn)、銷(xiāo)售以獲取盡可能高的經(jīng)濟(jì)收益，增強(qiáng)他們的經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力第9頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三科學(xué)史上成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)的典范十七世紀(jì)偉大的科學(xué)家Newton在研究受迫運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)明了微積分，并以此為工具建立了以三大運(yùn)動(dòng)定律與萬(wàn)有引力定律為核心的一個(gè)完整的力學(xué)理論體系，給出了地球表面和太陽(yáng)系里一切宏觀物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。第10頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型第11頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．原型與模型我們經(jīng)常使用模型的思想來(lái)認(rèn)識(shí)世界和改造世界，而模型是針對(duì)原型而言的。原型是指人們?cè)谏鐣?huì)活動(dòng)和生產(chǎn)實(shí)踐中所關(guān)心和研究的實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域常常用系統(tǒng)或過(guò)程等術(shù)語(yǔ)，如機(jī)械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等;如導(dǎo)彈飛行過(guò)程、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、人口增長(zhǎng)過(guò)程、污染擴(kuò)散過(guò)程等等。第12頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型模型是人們對(duì)原型的近似抽象和描述。它是為了某個(gè)特定目的將原型的其一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)造的原型替代物。航空模型城市交通模型—城市交通圖第13頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型與原型的關(guān)系模型來(lái)源于原型，但它不是對(duì)原型簡(jiǎn)單的模仿，它是人們?yōu)榱苏J(rèn)識(shí)和理解原型而對(duì)它所作的一個(gè)抽象、升華。它就可以使我們通過(guò)對(duì)原型的分析研究加深對(duì)原型的理解和認(rèn)識(shí)。第14頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．模型的形式模型有各種形式用模型替代原型的方式來(lái)分類，模型可以分為物質(zhì)模型(形象模型或具體模型）直觀模型（縮尺模型）物理模型（模擬模型）等理想模型(抽象模型)思維模型符號(hào)模型數(shù)學(xué)模型等。第15頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是指通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的一個(gè)近似刻劃，以便于人仰更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息通過(guò)提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果。通過(guò)數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析求解，使得我們能夠深化對(duì)所研究的實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。第16頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)模型舉例力學(xué)中著名的牛頓第二定律F=ma描述受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律描述人口增長(zhǎng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型dN(t)/dt=rN(t)揭示人口成等比級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)的規(guī)律第17頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)數(shù)學(xué)是人們掌握和使用數(shù)學(xué)模型這個(gè)工具的必要條件和重要的基礎(chǔ)。廣博的數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)格數(shù)理邏輯思維數(shù)學(xué)模型本身的數(shù)學(xué)特征等數(shù)學(xué)+計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)+應(yīng)用專業(yè)知識(shí)+數(shù)模分析第18頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三“用數(shù)學(xué)”與“學(xué)數(shù)學(xué)”數(shù)學(xué)模型是使用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的橋梁。對(duì)它的分析和研究的目的是解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型并不就是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，更不是套公式的問(wèn)題。掌握使用數(shù)學(xué)去建立模型以解決實(shí)際問(wèn)題所需的技能與理解數(shù)學(xué)概念、證明定理、求解方程所需的技巧也是迥然不同的。第19頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三廣義數(shù)學(xué)這里的數(shù)學(xué)是廣義數(shù)學(xué)，不僅包括經(jīng)典數(shù)學(xué)P，還包括統(tǒng)計(jì)學(xué)S、應(yīng)用數(shù)學(xué)A、計(jì)算數(shù)學(xué)N等。P

ASN第20頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程可分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)

第21頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第22頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第23頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.建立數(shù)學(xué)模型的方法機(jī)理分析方法（演繹推理）是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義測(cè)試分析方法（歸納總結(jié)）內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，可以測(cè)量系統(tǒng)的有關(guān)數(shù)據(jù)，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析等方法，按照事先確定的準(zhǔn)則求出數(shù)據(jù)擬合得最好的模型常將這兩種方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行建模用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用測(cè)試分析確定模型的參數(shù)·第24頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.數(shù)學(xué)建模的一般步驟

模型準(zhǔn)備↓模型假設(shè)↓模型構(gòu)成↓模型求解↓模型分析↓no模型檢驗(yàn)↓yes模型應(yīng)用第25頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型準(zhǔn)備首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等盡量弄清對(duì)象的特征，由此初步確定用哪一類模型

第26頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型假設(shè)根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，是建模的關(guān)鍵作假設(shè)的依據(jù)出于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析

第27頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型構(gòu)成根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相似類比法，即根據(jù)不同對(duì)象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，來(lái)構(gòu)造模型方法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

第28頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型求解采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法特別是應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)

第29頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型分析對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等·

第30頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型檢驗(yàn)把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。這一步對(duì)于建模的成敗是非常重要的模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合實(shí)際，問(wèn)題通常出在模型假設(shè)上

第31頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型應(yīng)用

應(yīng)用的方式取決于問(wèn)題的性質(zhì)建模的目的

第32頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用建模方法解決實(shí)際問(wèn)題首先是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問(wèn)題即構(gòu)造模型其次才是用數(shù)學(xué)工具求解構(gòu)成的模型第33頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問(wèn)題，包括模型假設(shè)、模型構(gòu)造等，需要廣博的知識(shí)(包括數(shù)學(xué)知識(shí)和各種實(shí)際知識(shí))足夠的經(jīng)驗(yàn)豐富的想象力敏銳的洞察力直覺(jué)和靈感第34頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三五、數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類第35頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科，如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)藥數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)等·第36頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分類初等數(shù)學(xué)模型幾何模型微分方程模型統(tǒng)計(jì)模型圖論模型馬氏鏈模型規(guī)劃論模型等第37頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三按照模型的表現(xiàn)特性分類確定性模型和隨機(jī)性模型取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化·線性模型和非線性模型取決于模型的基本關(guān)系離散模型和連續(xù)模型取決于模型中變量(主要是時(shí)間變量)的取值第38頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三按照建模目的分類描述模型分析模型預(yù)報(bào)模型優(yōu)化模型決策模型控制模型等第39頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)了解程度分類白箱模型:通常是指一些機(jī)理已較為清楚的問(wèn)題，如力學(xué)、電學(xué)、機(jī)械等學(xué)科所研究的問(wèn)題。這類模型模型大多已基本確定，主要研究的是如何優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制的問(wèn)題。灰箱模型:于白箱模型和黑箱模型之間的是灰箱模型，主要是指經(jīng)濟(jì)、氣象、生態(tài)、地質(zhì)等領(lǐng)域的問(wèn)題。黑箱模型:主要是指生命、醫(yī)學(xué)、心理、社會(huì)等領(lǐng)域機(jī)理不清楚的問(wèn)題。第40頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三六、數(shù)學(xué)模型課與能力培養(yǎng)第41頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)建模課的開(kāi)設(shè)目的是為了把學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)的和將在本課程中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法和知識(shí)與周?chē)默F(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)，甚至和少數(shù)真正的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，不僅使學(xué)生知道數(shù)學(xué)有用、怎樣用，更知道在真正的應(yīng)用中還要繼續(xù)學(xué)習(xí)。第42頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三努力培養(yǎng)學(xué)生的有關(guān)能力1.培養(yǎng)“翻譯”的能力，即把經(jīng)過(guò)一定抽象簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)