第一節(jié)：二重積分的概念與性質(zhì)

第一節(jié)：二重積分的概念與性質(zhì)第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體1、引例：曲頂柱體的體積一、二重積分的基本概念第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三曲頂柱體（1）底是xoy

面上的有界閉區(qū)域；（2）側(cè)面是以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z

軸的柱面；（3）頂是曲面z=f(x,y)，第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三計算曲頂柱體體積的一般方法：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三1：用一組曲線網(wǎng)將D

任意分成n個小閉區(qū)域：將曲頂柱體分成n

個小曲頂柱體以表示以為底的第i

個小曲頂柱體的體積第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三2：近似計算3：取極限求V

的精確值以和V

的體積表示內(nèi)任意兩點間距離的最大值，稱為的直徑第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊（n），取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，薄片總質(zhì)量的近似值為每個小塊的質(zhì)量近似為薄片總質(zhì)量的精確值為第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

定義：設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D

上的有界函數(shù)：（1）：分割：用一組曲線網(wǎng)將D

任意分成n

個小區(qū)域（2）：作和：在每個小區(qū)域并作和（3）：取極限：令上任取一點作乘積為的直徑，并記第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三如果當(dāng)則稱此極限為f(x,y)在D

上的二重積分，記為時，上述和的極限存在，且與小區(qū)域的分法及點的取法無關(guān)，積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三（1）如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D

上連續(xù)，則

f(x,y)在D

上一定可積。（2）如果

f(x,y)在

D

上可積，則該積分與D

因此，在直角坐標(biāo)系中，用平行于x

軸和y

軸的兩組直線分割D

，如圖所示的分法和分點的取法無關(guān)，幾點說明第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三（3）幾何意義：當(dāng)f(x,y)0時，二重積分表示曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x,y)0時，此時曲頂柱體位于x0y

平面的下方，且二重積分的值也為負(fù)，故二重積分表示的是曲頂柱體體積的相反數(shù)。如果f(x,y)在D

上有正有負(fù)，此時將xoy

面上方的曲頂柱體體積取為正，xoy

面下方的曲頂柱體體積取為負(fù)，則f(x,y)在

D

上的二重積分即為這些曲頂柱體體積的代數(shù)和。第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三（3）幾何意義：當(dāng)f(x,y)0時，二重積分表示曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x,y)0時，此時曲頂柱體位于x0y

平面的下方，且二重積分的值也為負(fù)，故二重積分表示的是曲頂柱體體積的相反數(shù)。（4）二重積分的物理意義：平面薄片的質(zhì)量第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三（二）二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1：常數(shù)因子可以提到積分號外面，即性質(zhì)2：和或差的積分等于積分的和或差，即（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)3：二重積分的可加性：如果積分區(qū)域

D

被性質(zhì)4：如果在區(qū)域D

上總有，f(x,y)1,

是

D

的面積，則一曲線分成兩部分和，則幾何意義：高為1的平頂柱體的體積第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)5：如果在D

上總有則有不等式特殊地，由于所以又有不等式第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三解第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)6：設(shè)M

、m

分別是f(x,y)在D

上的最大值和最小值，是D

的面積，則因為所以由性質(zhì)5有由性質(zhì)1有由性質(zhì)4有（二重積分估值不等式）第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三解第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三解第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)7：二重積分的中值定理：設(shè)f(x,y)在

D上連續(xù)，是D

的面積，則在D

上至少存在一點(,)

，使得因為當(dāng)

0時，由性質(zhì)6有由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在D上至少存在一點(,)

，使得第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（和式的極限）四、小結(jié)第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三思考題

將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)第九章:重積分習(xí)題91:4