工程力學(xué)材料力學(xué)第章動(dòng)量矩定理華蕊

第12章動(dòng)量矩

定理本章重點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩的概念及計(jì)算，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用。1．質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩(角動(dòng)量)質(zhì)點(diǎn)Q對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的定義§12-1質(zhì)點(diǎn)和剛體的動(dòng)量矩單位：kg·m2/s質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的動(dòng)量矩是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量在Oxy平面的投影(mv)xy對(duì)O點(diǎn)的矩。是代數(shù)量，從z軸正向看，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)坐標(biāo)軸的矩對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)軸的動(dòng)量矩即

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩(1)剛體平移的動(dòng)量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算。2.剛體的動(dòng)量矩(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg·m2

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。質(zhì)量是剛體移動(dòng)時(shí)慣性的度量。2.剛體的動(dòng)量矩教材P213表12－1列出了簡(jiǎn)單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1)回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）的概念

或3.剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2)平行軸定理式中：zC軸為過(guò)質(zhì)心且與z軸平行的軸，d為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。3.剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO；一高為h、質(zhì)量為m1的均質(zhì)矩形板沿軸x以速度v平移，并推動(dòng)桿OA繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)；一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)E以相對(duì)速度vr在板上運(yùn)動(dòng)。試求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)對(duì)軸O（軸z）的動(dòng)量矩。例12-1解：1

、LZ(OA)2、LZ(板)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)求ω例12-1續(xù)3、LZ(E)結(jié)果：例12-1續(xù)鐘擺簡(jiǎn)化如圖所示。已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量都為m，圓盤(pán)半徑R，桿長(zhǎng)3R，求擺對(duì)通過(guò)懸掛點(diǎn)O并垂直于圖面的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

例12-2解：

查表得：

根據(jù)平行軸定理

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)O為定點(diǎn)，有：其中：

(O為定點(diǎn))

§12-2動(dòng)量矩定理投影式：因此稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得由于對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)有：對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)有：2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理投影式：注意：內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的矢量和。2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力分析如圖例12-3求：彈簧被拉長(zhǎng)s時(shí)，重物m2的加速度a2

。設(shè)塔輪該瞬時(shí)的角速度為ω，則解得：若，則常矢量；若，則常量。3．動(dòng)量矩守恒定律主動(dòng)力：約束力：即：或或與相似§12-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程已知：，求。解：由上式可見(jiàn)，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但可忽略J時(shí)，F(xiàn)1、F2才相等。例12-5已知：用，求選：1.ω；2.Mf解：因?yàn)橄道y(tǒng)外力薦對(duì)z軸的矩為執(zhí)零，故系牲統(tǒng)對(duì)z軸動(dòng)量矩沉守恒。例12-61.選系統(tǒng)為駕研究對(duì)象2.選輪2為研究對(duì)固象積分1．對(duì)質(zhì)心卵的動(dòng)量矩由于得其中如圖，巖以質(zhì)心C為原點(diǎn)，腦取平移坐測(cè)標(biāo)系Cx’營(yíng)y’z直’。質(zhì)點(diǎn)系獅相對(duì)質(zhì)哀心C為的動(dòng)從量矩為巡壽：§12-杠4質(zhì)點(diǎn)系相補(bǔ)對(duì)于質(zhì)心嚼的動(dòng)量矩假定理質(zhì)點(diǎn)系截相對(duì)質(zhì)廳心的動(dòng)代量矩，限無(wú)論是當(dāng)以相對(duì)魚(yú)速度計(jì)播算還是警以絕對(duì)覺(jué)速度計(jì)你算，其例結(jié)果都厚相同。質(zhì)點(diǎn)系洲對(duì)任一兼點(diǎn)O的動(dòng)量矩戀：質(zhì)點(diǎn)系下相對(duì)于助任意定像點(diǎn)的動(dòng)量量矩結(jié)論質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩，與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心動(dòng)量矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系相癢對(duì)于任意逗定點(diǎn)的動(dòng)樹(shù)量矩由于即2相對(duì)質(zhì)心報(bào)的動(dòng)量矩臭定理質(zhì)點(diǎn)系相務(wù)對(duì)于質(zhì)心猶的動(dòng)量矩縣定理：質(zhì)點(diǎn)蠢系相對(duì)勞于質(zhì)心貴的動(dòng)量沾矩對(duì)時(shí)埋間的一泥階導(dǎo)數(shù)灶，等于等作用于抽質(zhì)點(diǎn)系累的外力蔥對(duì)質(zhì)心頭的主矩窗。該定理謎在形式度上與質(zhì)敵點(diǎn)系相胞對(duì)于固戰(zhàn)定點(diǎn)的寧動(dòng)量矩?fù)?jù)定理完怖全一樣忍。提就示質(zhì)點(diǎn)系慘相對(duì)于碰質(zhì)心的惡動(dòng)量矩與定理或剛體的平悟面運(yùn)動(dòng)選隊(duì)質(zhì)心為基被點(diǎn)，可分購(gòu)為隨質(zhì)心腸的平移和霉相對(duì)質(zhì)心庭的轉(zhuǎn)動(dòng)，頸則剛體平骨面運(yùn)動(dòng)微統(tǒng)分方程是乎質(zhì)心運(yùn)動(dòng)淡定理和相激對(duì)于質(zhì)心宮的動(dòng)量矩轎定理。§12雕-5剛體的平發(fā)面運(yùn)動(dòng)微造分方程以上各婚組均稱(chēng)砌為剛體威平面運(yùn)薄動(dòng)微分煤方程。應(yīng)用時(shí)徑一般用碑投影式松：剛體的平拳面運(yùn)動(dòng)微炸分方程例12-擺8已知：l，m，θ=60°。求：1.αAB；2.FA解：繩子剛缸被剪斷潮，桿AB作平面運(yùn)跌動(dòng)，受力船如圖，根齒據(jù)平面運(yùn)灣動(dòng)微分方弱程補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)方灶程在y軸方向投單影例12-刺9已知：氧如圖r，m，m1。求：1.aA；2.曲FAB；3.FS2解：分別以A、B、C為研究持對(duì)象例12-那9