2021-2022學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析

2021-2022學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

2

1．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為a，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（）

nn21

1111

A．B．C．D．

361326

答案：C

直接根據(jù)通項(xiàng)公式，求a；

5

21

解：a，

552113

故選：C

2．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）

A．a(chǎn)1n1B．a(chǎn)221n1

nn

n1n1

C．a(chǎn)2cosD．a(chǎn)2cos

n2n2

答案：D

舉特例排除ABC，分n2k,kZ和n2k1,kZ討論確定D.

解：A.當(dāng)n1時(shí)，a0，不符；

1

B.當(dāng)n1時(shí)，a0，不符；

1

C.當(dāng)n3時(shí)，a2，不符；

3

2k1

D.當(dāng)n2k,kZ時(shí)，a2cos2cosk2cos0，

n222

2k11

當(dāng)n2k1,kZ時(shí)，a2cos2cosk2，符合.

n2

故選：D.

3

3．以F1,0，F(xiàn)1,0為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

122

x2y2x2y2x2y2x2

A．1B．1C．1D．y21

3243344

答案：B

3

根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，c=1，且過(guò)點(diǎn)1,，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)

2

橢圓定義求2a可得.

3x2y2

解：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以C不正確；又因?yàn)閏=1，故排除D；將1,代入1

232

1313

得21，故A錯(cuò)誤，所以選B.

3212

故選：B

4．若方程mx2(2m)y21表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

（）

A．m0B．m2C．0m2D．m2且m0

答案：A

根據(jù)雙曲線定義，且焦點(diǎn)在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.

解：若方程mx2(2m)y21表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則必有：2m0，且m0

解得：m0

故選：A

5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之

為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第十層

球的個(gè)數(shù)為（）

A．45B．55C．90D．110

答案：B

根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達(dá)出來(lái)，第n層有123n個(gè)球.

解：根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有1個(gè)球；第二層有12個(gè)球；第三層有123個(gè)

球，則根據(jù)規(guī)律可知：第n層有123n個(gè)球

nn1

設(shè)第n層的小球個(gè)數(shù)為a，則有：a123n

nn2

故第十層球的個(gè)數(shù)為：a55

10

故選：B

x2y2

6．已知F，F(xiàn)為橢圓1的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若PFPF5，則P

129512

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

A．2B．3C．4D．9

答案：B

設(shè)Px,y，F(xiàn)(2,0),F(2,0)，根據(jù)向量的數(shù)量積得到x2y29，與橢圓方程聯(lián)立，即

12

可得到答案；

解：設(shè)Px,y，F(xiàn)(2,0),F(2,0)，

12

PFPF(2x,y)(2x,y)4x2y25

12，

x2y2

x2y29與橢圓1聯(lián)立，解得：x3，

95

故選：B

x2y2

7．已如雙曲線1（a0，b0）的左右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過(guò)F的直線交

a2b2122

雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若AFAB，且4AF3AB，則該雙曲線的離心率為

11

（）

10

A．B．10C．5D．5

22

答案：A

先作輔助線，設(shè)出邊長(zhǎng)，結(jié)合題干條件得到AF3a，AFa，利用勾股定理得到關(guān)

12

于a,c的等量關(guān)系，求出離心率.

解：連接FB，設(shè)AF3x，則根據(jù)4AF3AB可知，AB4x，因?yàn)锳FAB，由

1111

勾股定理得：FB5x，由雙曲線定義可知：AFAF2a，BFBF2a，解

11212

得：AF3x2a，BF5x2a，從而3x2a5x2a4x，解得：xa，所以

22

c10

AF3a，AFa，由勾股定理得：9a2a24c2，從而，即該雙曲線的離

12a2

10

心率為.

2

故選：A

8．記不超過(guò)x的最大整數(shù)為x，如0.51，3.已知數(shù)列a的通項(xiàng)公式

n

8

alog，則使a0的正整數(shù)n的最大值為（）

n2nn

A．5B．6C．15D．16

答案：C

根據(jù)取整函數(shù)的定義，可求出a,a,,a的值，即可得到答案；

1215

解：alog83，alog42，

1222

88

alog1,,alog1，

323727

8

alog10，,,alog0，

8215215

1

alog1，

1622

8188

當(dāng)n17時(shí)，log1alog0，

n22nn2n

使a0的正整數(shù)n的最大值為15，

n

故選：C

二、多選題

9．已知公差為d的等差數(shù)列a中，a7，a35，其前n項(xiàng)和為S，則

n29n

（）

A．a(chǎn)19B．d3C．a(chǎn)4n1D．S2n2n

5nn

答案：ACD

根據(jù)題意求出基本量首項(xiàng)和公差，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式即可求解.

ad7a3

解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，由題意得，1，解得1，

1a8d35d4

1

所以a3n144n1

n

所以a19，S2n2n

5n

故選：ACD.

1

10．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為yx，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則

2

（）

A．該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為22B．該雙曲線的焦距為25

C．該雙曲線的離心率為5D．直線xy20與該雙曲線有兩個(gè)公

共點(diǎn)

答案：BD

由已知條件求出雙曲線方程，然后逐個(gè)分析判斷即可

x2y2

解：由題意設(shè)雙曲線方程為1(a0,b0)，

a2b2

1

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為yx，實(shí)軸長(zhǎng)為4，

2

b1

x2

所以a2，解得a2,b1，雙曲線方程為y21，

4

2a4

所以ca2b25，

對(duì)于A，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，該雙曲線的焦距為2c25，所以B正確，

c5

對(duì)于C，該雙曲線的離心率為e，所以C錯(cuò)誤，

a2

x2

y21

對(duì)于D，由4，得3x216x200，因?yàn)?624320160，所以方

xy20

程3x216x200有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以直線xy20與該雙曲線有兩個(gè)公共

點(diǎn)，所以D正確，

故選：BD

11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列a滿足a3，aa144，其前n項(xiàng)和為S.數(shù)列

n124n

a

b的通項(xiàng)公式bn1，設(shè)b的前n項(xiàng)和為T(mén)，則下列說(shuō)法正確的是

nnSSnn

nn1

（）

A．?dāng)?shù)列a的通項(xiàng)公式為a32n1B．S32n1

nnn

21

C．T隨n的增大而增大D．T

n9n3

答案：ACD

先根據(jù)等比中項(xiàng)求出a12及公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式和求和公式，判斷AB選項(xiàng)，裂

3

項(xiàng)相消求出b的前n項(xiàng)和為T(mén)，判斷其單調(diào)性及取值范圍，判斷CD選項(xiàng).

nn

a

解：又題意得：aaa2144，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以a12，q234，q2，

2433a

1

所以數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a32n1，A正確；

nn

312n

S32n3，B錯(cuò)誤；

n12

a32n11

bn1，所以

nSS32n332n1332n332n13

nn1

111111

Tbbb

n12n32332233223323332n332n13

1111

，T隨n的增大而增大，C正確；

32332n13332n13n

111221

T，且由于T隨n的增大而增大，所以TT，故T，D

n332n133nn199n3

正確.

故選：ACD

y2

12．已知雙曲線C:x21，則下列說(shuō)法正確的是（）

3

A．雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為2

B．若F為C的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則滿足FM2MP的點(diǎn)M的軌跡方程為

(3x2)23y24

C．若A，B在C上，線段AB的中點(diǎn)為2,2，則線段AB的方程為3xy40

1

D．若P為雙曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)2,0和到直線x的距離之比恒為2

2

答案：BCD

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求頂點(diǎn)到其漸近線的距離，判斷A，根據(jù)曲線軌跡方程的求法求

出點(diǎn)M的軌跡方程，判斷B，由點(diǎn)差法判斷C，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式和點(diǎn)到直線的距離公

1

式計(jì)算點(diǎn)P到點(diǎn)2,0和到直線x的距離由此判斷D.

2

y2

解：雙曲線C:x21的頂點(diǎn)為(1,0)，(1,0)，漸近線方程為3xy0，

3

33

頂點(diǎn)(1,0)到漸近線3xy0的距離d，

312

33

頂點(diǎn)(1,0)到漸近線3xy0的距離d，A錯(cuò)，

312

y2

雙曲線C:x21的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)M(x,y)，P(x,y)，

3

∵FM2MP，∴(x2,y)2(xx,yy)，

3x23y

∴x，y，又P(x,y)在雙曲線C上，

22

3y2

∴3x+222，

1

23

∴(3x2)23y24，B對(duì)，

設(shè)A(x,y)，B(x,y)，

1122

∵線段AB的中點(diǎn)為2,2，∴xx4,yy4，

1212

y2

x211

13

由已知可得，所以3(xx)(x-x)-(yy)(y-y)=0，

y212121212

x221

23

y-y

∴12=3，∴直線AB的斜率為3，

x-x

12

∴線段AB的方程為y23(x2)，即3xy40，

聯(lián)立3xy40與雙曲線C的方程可得3x2(3x-2)23，化簡(jiǎn)得6x212x70，

方程6x212x70有兩解，所以直線3xy40與雙曲線相交，滿足要求，C對(duì)，

設(shè)P(x,y)，點(diǎn)P到點(diǎn)2,0的距離d(x2)2y2x24x43x23，

0000000

∴d4x24x1=|2x1|，

1000

11

又點(diǎn)P到到直線x的距離d|x|，

2202

1

∴點(diǎn)P到點(diǎn)2,0和到直線x的距離之比恒為2，D對(duì)，

2

故選：BCD.

三、填空題

1

13．在數(shù)列a中，a1，a2，則a___________.

n1n1a4

n

173

答案：2.

77

由遞推關(guān)系取n1可求a，再取n2求a，取n3求a.

234

1111

解：由a2分別取n1，2，3可得a2，a2，a2，

n1a2a3a4a

n123

717

又a1，∴a3，a，a，

123347

17

故答案為：.

7

14．過(guò)拋物線x22y焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，

則線段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.

答案：9

由焦點(diǎn)弦公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.

yy

解：設(shè)A(x,y),B(x,y)，則124，即yy8，AByyp819.

112221212

故答案為：9

15．將連續(xù)的正整數(shù)1,2,...,n2填入n行n列的方陣中，使得每行?每列?每條對(duì)角線上的

數(shù)之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對(duì)角線上的數(shù)之和為N，如圖：N15，

n3

那么N的值為_(kāi)__________.

4

答案：34

根據(jù)每行數(shù)字之和相等，四行數(shù)字之和剛好等于1到16之和可得.

16(116)

解：4階幻方中，4行數(shù)字之和4N123...16136，

42

得N34.

4

故答案為：34

四、雙空題

3

16．已知直線l是拋物線C:y22px（p0）的準(zhǔn)線，半徑為的圓過(guò)拋物線的頂點(diǎn)

4

O和焦點(diǎn)F，且與l相切，則拋物線C的方程為_(kāi)__________；若A為C上一點(diǎn)，l與C

的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，在ABF中，sinAFB2sinABF，則AB的值為_(kāi)__________.

答案：y22x2

13

（1）由題意得：圓的圓心橫坐標(biāo)為p，半徑為，列方程，即可得到答案；

44

（2）由正弦定理得|AB|2|AF|，從而求得直線AB的方程，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可

得到答案；

13

解：由題意得：圓的圓心橫坐標(biāo)為p，半徑為，

44

33

pp1，

44

拋物線C的方程為y22x；

設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，

sinAFB2sinABF，|AB|2|AF|，

d2

cosABF，ABF45，

|AB|2

11

l:yx代入y22x，解得：x,y1，

AB2A2A

P

|AF|x1d，

A2

|AB|2，

故答案為：y22x；2

五、解答題

17．已知等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，a4，S30，若S8n對(duì)任意的正整

nn25n

數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案：,12

ad4

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題意得1，解方程得a2，d2，進(jìn)而得

a2d61

1

n22n

Snn1，故n27n恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)n3或4

n2

時(shí)，f(n)取得最小值12，進(jìn)而得答案.

解：解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

54

由已知aad4，S5ad5a10d30.

215121

ad4

聯(lián)立方程組1，解得a2，d2.

a2d61

1

n22n

所以a2n，Snn1，

nn2

由題意Sn2n8n，即n27n.

n

7

令f(x)x27x，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x，

2

所以當(dāng)n3或4時(shí)，f(n)取得最小值12，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是,12.

x2y2

18．雙曲線C:1（a0，b0）的離心率e5，且過(guò)點(diǎn)M2,23.

a2b2

(1)求a，b的值；

(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過(guò)點(diǎn)P3,25的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

答案：(1)a1，b2

y2x2

(2)1

82

（1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于a、b、c的方程組可解；

x2y2

（2）巧設(shè)與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.

a2b2

(1)

ca2b2b2

因?yàn)殡x心率e15，所以b24a2.

aaa2

412

又因?yàn)辄c(diǎn)M2,23在雙曲線C上，所以1.

a2b2

聯(lián)立上述方程，解得a21，b24，即a1，b2.

(2)

y2

設(shè)所求雙曲線的方程為x20，

4

20

由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P3,25，得3，即2.

4

y2y2x2

所以雙曲線的方程為x22，其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

482

19．已知數(shù)列a的首項(xiàng)a1，前n項(xiàng)和為S，且滿足Sna1.

n1nnn1

(1)求證：數(shù)列a1是等比數(shù)列；

n

(2)設(shè)balog(a1)，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和T.

nn2nnn

答案：(1)證明見(jiàn)解析

n2n

(2)T2n12

n2

（1）當(dāng)n2時(shí)，由Sna1，得Sn1a1，兩式相減化簡(jiǎn)可得

nn1n1n

a2a1，再對(duì)等式兩邊同時(shí)減去1，化簡(jiǎn)可證得結(jié)論，

n1n

（2）由（1）得b2nn1，然后利用分組求和可求出T

nn

(1)

由已知得，Sna1.

nn1

當(dāng)n2時(shí)，Sn1a1.

n1n

兩式相減得，a2a1.

n1n

a1

于是a12(a1)，即n12，

n1na1

n

a1

又a3，a14，a120，所以22滿足上式，

221a1

1

a1

所以n12對(duì)nN都成立，故數(shù)列a1是等比數(shù)列.

a1n

n

(2)

由（1）得a2n1，b2nn1，

nn

n2n

T222232n123n12n12.

n2

20．已知點(diǎn)F為拋物線：y22px（p0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P(1,t)在拋物線上且在x軸

上方，PF2.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知直線l:xmy1與曲線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線PA與

x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線PB與x軸y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN

的面枳最小時(shí)，求直線l的方程.

答案：(1)y24x；

(2)yx1或yx1.

(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出p即可作答.

(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點(diǎn)A，B坐標(biāo)表示出點(diǎn)C，D，M，N的坐標(biāo)，

列出四邊形CDMN面枳的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計(jì)算得解.

(1)

pp

拋物線的準(zhǔn)線：x，由拋物線定義得PF12，解得p2，

22

所以拋物線的方程為y24x.

(2)

因?yàn)辄c(diǎn)P(1,t)在:y24x上，且t0，則t2，即P(1,2)，依題意，m0，設(shè)A(x,y)，

11

B(x,y)，

22

y24x

由消去x并整理得y24my40，則有yy4m，yy4，

xmy11212

y2y24

k114

直線PA的斜率是PAx1y2y2，方程為y2x1，

1111y2

41

y2yy2y

令y0，則x1，令x0，則y1，即點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)D(0,1)，

2y22y2

11

y2y

同理點(diǎn)M(2,0)，點(diǎn)N(0,2)，

2y2

2

yy4(yy)

則CM12，DN12，四邊形CDMN的面積S有：

2y2y2

12

11yy4(yy)yy2yy24yy

SCMDN1212121212

222y2y2y2y2yy2yy4

12121212

16m2162m2222

2m4，當(dāng)且僅當(dāng)2m，即m1時(shí)取“=”，

8mmmm

所以當(dāng)m1時(shí)四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為yx1或yx1.

21．已知等比數(shù)列a的公比q1，且aaa14，a1是a,a的等差中項(xiàng).數(shù)列

n123213

11

b的前n項(xiàng)和為S，滿足Sn2n，nN.

nnn22

(1)求a和b的通項(xiàng)公式；

nn

b

n,n為奇數(shù)

a

(2)設(shè)cn，求c的前2n項(xiàng)和T.

nb24b22n2n

nn,n為偶數(shù)

a

n

答案：(1)a2n，bn（nN*）

nn

1018n26n5

(2)T

2n9184n1

（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，根據(jù)條件列出方程，并解方程即可；

（2）數(shù)列c根據(jù)n的奇偶分段表示，奇數(shù)項(xiàng)通過(guò)乘公比錯(cuò)位相減法克求得前n項(xiàng)和，

n

偶數(shù)項(xiàng)則是通過(guò)裂項(xiàng)求和.

(1)

aaa14

由123得，a4.

2a1aa2

213

44

又a，a4q，所以44q14，即2q25q20，

1q3q

1

解得q2或q（舍去）.所以a2n（nN*），當(dāng)n1時(shí)，bS1，

2n11

1111

22

當(dāng)n2時(shí)，bSSnnn1n1n，

nnn12222

經(jīng)檢驗(yàn)，n1時(shí)，b1適合上式，

1

故bn（nN*）.

n

綜上可得：a2n，bn

nn

(2)

n

,n為奇數(shù)

a

由（1）可知，cn

nn24n22

,n為偶數(shù)

a

n

n

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，c，

n2n

n2n22

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，c，

n2n2n2

1352n1

由題意，有Tcccc①

奇1352n12232522n1

11352n32n1

T②

4奇23252722n122n1

11

3122222n112n1

①-②得：T44n

奇3372n12n112n1

4222222212

4

542n156n5

，

634n24n664n

106n5

則有：T.

奇9184n1

2202422262422n22n22

Tcccc

偶2462n

22202422262422n22n2

2n2024n2n2

.

22n204n4n1

106n5n21018n26n5

故T.

2n9184n14n19184n1

x2y22

22．設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓E:1（ab0）的左右焦點(diǎn)，E的離心率為.

12a2b22

短軸長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓E的方程：

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得ABtAFBF恒

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