第一講極限與連續(xù)(講稿)

廈門(mén)大學(xué)第八屆“景潤(rùn)杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院林建華第一講極限與連續(xù)1一、單調(diào)數(shù)列的極限在學(xué)習(xí)數(shù)列極限過(guò)程中，有一類(lèi)數(shù)列是由遞推式，，xf(x)(n1,2)n1n確定的。對(duì)這類(lèi)數(shù)列經(jīng)常用“單調(diào)有界的數(shù)列，必有極限”的數(shù)列極限存在準(zhǔn)則來(lái)判斷其極限的存在性，然后再利用極限的運(yùn)算法則求出它的極限值。2

xf(x)，單1.遞推數(shù)列n1n調(diào)性的判斷：(i)若,則數(shù)列{x}f(x)0n(n1,2，)是單調(diào)的（或上升或下降），當(dāng),數(shù)列單調(diào)不減，xx{x}n12當(dāng),數(shù)列單調(diào)不增；{x}nxx123

(ii)若,則數(shù){x}f(x)0n不是單調(diào)的，但它的兩個(gè)子列：奇子列(n1,2，)和偶子{x}2n-1xn，列{}(1,2)卻是單調(diào)的，2n并具有相反的單調(diào)性，亦即當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)不xx{x}2n-113{x}減，單調(diào)不增，2n{x}當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)不xx2n-113{x}增，就單調(diào)不減。2n2.遞推數(shù)列，，xf(x)(n1,2)nn14

有界性的證明常借助于均值不等式xxxnxxx12n12n和數(shù)學(xué)歸納法，或利用函數(shù)極值的求法，求出f(x)的最大值或最小值。此最值就是數(shù)列的上界和下界。3.求極限(i)若數(shù)列的單調(diào)有界，利用極限運(yùn)算法則，在遞推式的兩端5取極限，解nAlimxlimf(x)n1nn方程Af(A)，即可求得極限A。limx2n-1，(ii)若兩子列的極限nlimxn2n-1存在且相等，則數(shù)列l(wèi)imxn存在。n例1設(shè)a1x，，(1,2)x0，xnn1xn11n其中a是不超過(guò)2的常數(shù)，求{x}na使數(shù)列收斂的值，并計(jì)6limx算此時(shí)的.nnAa1A,即1A解：假設(shè),則令n對(duì)遞推式兩邊取極限得limxAnn才能存在。下面考慮1a2的情況。A2a1，所以當(dāng)a1時(shí)，limxnna1xn1a2顯然對(duì)任意的正整數(shù)有n,即數(shù)列{x}有界。0xn111xn1xnn2a(1x)2f(x)a1x(0x1)1x令0，所以{x}單調(diào)且有界，故,由于f(x)nAa1limx存在，其極限.即當(dāng)時(shí)，{x}收斂，且lim1.1a2xannnnn例2設(shè)且x0，x0，a0，12，，xx(2ax)(n1,2)n1nnlimx1證明數(shù)列{x}收斂且.annn1解：記f(x)x(2ax),這是一條拋物線(xiàn)，它的最大值為，由數(shù)學(xué)歸納法a70xx(2ax)，(n2,3，)，即{x}有界。又因?yàn)閒(x)2a(1x)0，1知n1nnaan1得數(shù)列收斂。記{}n,令n對(duì)遞推式兩邊取極限得limxA00x，xann1，所以limx1.aAA(2aA),即Aannxa(0a1),例3設(shè)21，求.nax2n，(n1,2，)limxnxn1220xa(n1,2，),ax2),且()(fx22解：易知即數(shù)列有界。又因?yàn)閧}nx2nax2x22,知數(shù)列不是單調(diào)的，但n0,所以奇子f(x)()x0{x}xx32221列{x}是單調(diào)不增的，偶子列{x}是單調(diào)不減的。故limlimx都存在。x，2n-12n2n2n-1nnalimx22aAaB2，分別記其極限為,，令A(yù)Blimxnn得B2,同時(shí)又成立An22n122,故limx存在.且滿(mǎn)足AaA所以AB，則limxA1a-1.22nnnn二、用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限1.常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。簒08時(shí)，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,,,,e-1~xxxln(1)~arctanx~xx,。1(1x)-1~x(0)xx1cos~22推廣：當(dāng)在某種趨近方式下，x有時(shí)，將上面八個(gè)式子(x)0中的全部替換成(x),等價(jià)式x子仍然全部成立。2cosx()x1例1求極限.3limx0sin(1x31)9解：當(dāng)x0時(shí)，2cosx)1ex;x36xln[11(1cosx)]1~xln[11(1cosx)]~(1cosx)~(3x333sin(1x31)~1x31~1x3，22cosx)1x3lim6x3(故1.3limx0sin(1x31)x0x326n22n2(sin1arccotn)n例2求極限.nlimn1lnnln(1)nlnn解：利用等價(jià)無(wú)窮小，lnnln(1)~lnn1~1(n)，而nlnnn1lim2n21，所以nnnlnn6(sinxarccot1)x原式lim6n3(sin1arccotn)令1nxlim(利用洛比達(dá)法則)nnx0x31(cosx1x2)2lim(1x2)cosx1limx2(1x2)2xcosx(1x)sinx1.x22limx0x2x0x0將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，然后利用洛比達(dá)法則這是求數(shù)10列極限的常用方法。2.在等價(jià)無(wú)窮小代換求極限過(guò)程中，乘積的因子可以任意代換,加減的因子代換要慎用.但在下列情況時(shí)，加減的因子就可以整體代換.若.且(x)~(x)，(x)~(x)11lim(x)1,則1(x)1.(x)(x)~(x)(x)1111例3求極限.lim61xsinx6cosxcosxcosx34x0解：當(dāng)x0時(shí)，xxx61xsinx6cos[1sin1][1(cosx1)1]66而[61xsinx1][61(cosx1)1]~16xsinx1(cosx1)~16x2112x214x26;3cosx4cosx[31(cosx1)1][41(cosx1)1]~()(cosx1)241x211,3414x2故原式lim6.拉格朗日中值定理1xx0三、利用224求極限命題：若，lim(x)lim(x)cxxucxx00f(u)在的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且f(c)0，則當(dāng)xx0f[(x)]f[(x)]~f(c)[(x)(x)]12cosxcos2x3cos3x1lncosx例1求limx0解：原式limln[cosxcos2x3cos3x]ln1limlncosxlncos2xln3cos3xlncosxlncosxx0x0limlncosx1limlncos2x1limlncos3xx0lncosx2lncosx3lncosxx0x0cos2x11limcos3x111limcosx132cosx1x0x01(2x)21(3x)211lim2x01lim2x01236121223x2x2tan[xlncosx]3x22x2例2設(shè)lim.x0解：原式limtan[xlncosx]tan0limxlncosxlimx(cosx1)2ln3x2ln2x2(ln3ln2)x0ln(3x2)ln(2)x0xx0x21x.1limln612x2ln6x013(11)xelimx例3求x.x4arctan1xe[ln(11)xlne][ln(11)xlne]解：原式limelimxxxxtan(arctan1xx)11xx11xx4tantan上式利用elim[ln(11)x1](2x1))x(tan()1tantanxelim2x[xln(11)1]elim[ln(11)x1]elim2x[xln(11)1]xxxxxx12elimx2[ln(11)1]t1x2elimln(1t)t2elim1t1e。2tt2xxxt0t0四、利用廣義洛比達(dá)法則求極限命題：若g(x)0，limg(x)，xa14g(x)f(x)limA(A為有限數(shù)或且xaf(x)limAxa為)，則有g(shù)(x)(其中將xa換成結(jié)論仍然成立)xa，x通常形象地稱(chēng)此為型的*()未定式極限。與傳統(tǒng)的洛比達(dá)法則相比，對(duì)分子上的函數(shù)f(x)不做任何假設(shè)（可以有極限，也可以無(wú)極限），只要可導(dǎo)15就行。例1設(shè)在上可導(dǎo),f(x)(a,)1數(shù)，求limf(x)，limf(x).且,為正lim[f(x)f(x)]Axxxexf(x)e()fxlim()lime()fxxx解：fxlimxAexexxx1lim[f(x)()]fxA,limf(x)0xx例2設(shè)在a[,)f(x)上連續(xù)，且，lim[()(t)dt]fxfAxxa16證明：limxf(t)dtA，limf(x)0xxae(t)dtfe(t)dte()ffxxA.xxxxlim(t)dtlimflimx證明：xaexaexxxalim[f(x)xf(t)dt]A，顯然有l(wèi)imf(x)0。x再由已知條件xa四、利用夾逼定理、定積分定義和(Stolz)定理求極限13(2n1)limn例1求.24(2)nx13(2n1),y24(2n)解：令35(2n1),n1,2,24(2n)nn由(2n1)(2n1)(2n)(2n)(2n1)(2n)xy,n1,2,(2n)(2n1)nn17，所以，故limx012n11。0x2xxxy0xn2n1nnnnnnn12n例2設(shè)I[]，求limIn33n13nnn11nnnnn212n12n解：因?yàn)?33nI333nnnnnn1nnnn11Inn1k3nknn3nnk1k1又2，所以由夾逼定理得，ln3lim3n113xdx2。ln3knlimInnnnk10例3設(shè)3(2n1)S[coscoscos]，n4n4n4nn求limSnn18解：(2i1)2cos[(2i1),nnScos]n4n2n22nni1i1f()cos[(2i1)],(2i1)，xi1,2,,n其中i2n22n2i2ni這可看作將[0，]等分成n份，每個(gè)小區(qū)間為[(k1),]，1,2，，n，k,22n2n](2i1)1(i1)i取為每個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)，[，i1,2,,n，22n2n4niicos[(2i1)]2，故f()xi.limS22cosxdx2于是nnS2n2n22ni