第七講19世紀(jì)的分析

第七講

19世紀(jì)的分析分析的算術(shù)化分析的拓展19世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)5/3/20231寧德師范高等專科學(xué)校分析的算術(shù)化分析：關(guān)于函數(shù)的無窮小分析問題：第二次數(shù)學(xué)危機(jī)核心：函數(shù)、無窮小貢獻(xiàn)：柯西(法,1789-1857)

《分析教程》(1821)《無窮小分析教程概論》(1823)《微分學(xué)教程》(1829)

魏爾斯特拉斯(德,1815-1897)

ε-δ語言“現(xiàn)代分析之父”5/3/20232寧德師范高等?？茖W(xué)校函數(shù)初等函數(shù)狄里克雷函數(shù)處處不可微的連續(xù)函數(shù)解析函數(shù)1837年狄里克雷(德,1805-1859)5/3/20233寧德師范高等?？茖W(xué)校1817年波爾查諾(捷,1781-1848)定義了導(dǎo)數(shù)、連續(xù)1821年柯西(法,1789-1857)《分析教程》定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)算術(shù)化1854年黎曼(德,1826-1866)定義了有界函數(shù)的積分19世紀(jì)60年代魏爾斯特拉斯(德,1815-1897)提出ε-δ語言

1875年達(dá)布(法,1842-1917)提出了大和、小和5/3/20234寧德師范高等?？茖W(xué)校1817年波爾查諾(捷,1781-1848)提出“確界原理”1817年波爾查諾和19世紀(jì)60年代魏爾斯特拉斯(德,1815-1897)提出“聚點(diǎn)定理”1821年柯西(法,1789-1857)提出“收斂準(zhǔn)則”19世紀(jì)60年代魏爾斯特拉斯提出“單調(diào)有界原理”1872年海涅(德,1821-1881)和1895年波萊爾(法,1871-1956)提出“有限覆蓋定理”實(shí)數(shù)理論1872年戴德金(德,1831-1916)提出“分割理論”1892年巴赫曼(德,1837-1920)提出“區(qū)間套原理”5/3/20235寧德師范高等?？茖W(xué)校1874年起康托(德,1845-1918)一系列論文建立康托三等分集集合論

希爾伯特：數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最優(yōu)美的表現(xiàn)之一。

我看到了它，但我簡直不能相信它。一一對應(yīng)關(guān)系確定集合的基數(shù)。

實(shí)直線是不可數(shù)集合?？低卸ɡ?對集合X,|X|<|P(X)|=2|X|.5/3/20236寧德師范高等?？茖W(xué)校分析的拓展復(fù)變函數(shù)論解析數(shù)論微分方程5/3/20237寧德師范高等?？茖W(xué)校1747年達(dá)朗貝爾(法,1717-1783)斷言復(fù)數(shù)表示為a+ib1752年和1777年獲得了達(dá)朗貝爾-歐拉條件(柯西-黎曼條件)復(fù)變函數(shù)論1811年高斯(德,1777-1855)討論了復(fù)數(shù)幾何表示1797年威塞爾(挪,1745-1818)、1806年阿甘德(瑞,1768-1822)討論了復(fù)數(shù)幾何表示1782-1812年拉普拉斯(法,1749-1827),1815年泊松(法,1781-1840)討論了復(fù)函數(shù)的積分泊松5/3/20238寧德師范高等?？茖W(xué)校奠基人復(fù)變函數(shù)論柯西(法,1789-1857)黎曼(德,1826-1866)魏爾斯特拉斯(德,1815-1897)5/3/20239寧德師范高等專科學(xué)?？挛?法,1789-1857):建立復(fù)變函數(shù)的微分和積分理論復(fù)變函數(shù)論1814年,1825年的論文詳細(xì)討論了復(fù)函數(shù)的積分《關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報(bào)告》,建立了柯西積分定理1826年提出留數(shù)概念1846年發(fā)現(xiàn)積分與路徑無關(guān)定理1831年獲得柯西積分公式5/3/202310寧德師范高等?？茖W(xué)校黎曼(德,1826-1866):黎曼面復(fù)變函數(shù)論1851年博士論文《單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)》黎曼映射定理5/3/202311寧德師范高等專科學(xué)校魏爾斯特拉斯(德,1815-1897)19世紀(jì)40年代建立了冪級數(shù)基礎(chǔ)上的解析函數(shù)理論解析開拓復(fù)變函數(shù)論5/3/202312寧德師范高等?？茖W(xué)校解析數(shù)論1837年狄里克雷(德,1805-1859)解決素?cái)?shù)問題

1859年黎曼(德,1826-1866)《論不超過一個給定值的素?cái)?shù)個數(shù)》:π(x)與ζ(s)1896年阿達(dá)瑪(法,1865-1963)和瓦萊?普桑(比利時,1866-1962)證明了素?cái)?shù)定理π(x)~x/lnx1737年歐拉恒等式:解析數(shù)論5/3/202313寧德師范高等專科學(xué)校黎曼猜想(1859)解析數(shù)論5/3/202314寧德師范高等?？茖W(xué)校偏微分方程斯托克斯(英,1819-1903)麥克斯韋(英,1831-1879)位勢方程1828年格林(英,1793-1841)《關(guān)于數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于電磁學(xué)理論的一篇論文》提出求解方法斯托克斯麥克斯韋5/3/202315寧德師范高等?？茖W(xué)校熱傳導(dǎo)方程偏微分方程1822年傅里葉《熱的解析理論》熱傳導(dǎo)問題的求解及新的普遍性數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造傅里葉(法,1768-1830)1807年傅里葉(法,1768-1830)提出5/3/202316寧德師范高等?？茖W(xué)校傅里葉級數(shù)偏微分方程“傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩”5/3/202317寧德師范高等專科學(xué)校常微分方程解的存在性1820-1830年柯西獲得第一個解的存在性定理柯西(法,1789-1851)李普希茨(德,1832-1903)

1869年李普希茨條件皮卡(法,1856-1941)1890年皮卡逐步逼近定理5/3/202318寧德師范高等?？茖W(xué)校常微分方程解的定性與穩(wěn)定性理論1881-1886年龐加萊在《由微分方程定義的曲線》創(chuàng)建了微分方程的定性理論龐加萊(法,1854-1912)(法,1952)李雅普諾夫(俄,1857-1918)(俄,1957)1892年李雅普諾夫在《運(yùn)動穩(wěn)定性的一般問題》開創(chuàng)了微分方程的穩(wěn)定性理論5/3/202319寧德師范高等專科學(xué)校

“嗚呼！今歐羅巴各國日益強(qiáng)盛，為中國之邊患。推源其故，制器精也，推源制器之精，算學(xué)明也?！?/p>

“人人習(xí)算，制器日精，以威海外?！崩钌铺m(清,1811－1882年)

《垛積比類》(1850)19世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)李善蘭恒等式5/3/202320寧德師范高等專科學(xué)校李善蘭(清,1811－1882年)翻譯部分西方學(xué)術(shù)著作

徐光啟等譯《幾何原本》后250年《幾何原本》(1857)

《談天》(1858)

萬有引力定律及天體力學(xué)《重學(xué)》(1859)

牛頓運(yùn)動定律《代微積拾級》[美,羅密士](1859)

《代數(shù)學(xué)》[英,德·摩根](1859)19世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)5/3/202321寧德師范高等?？茖W(xué)校19世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)李善蘭:天文算學(xué)館數(shù)學(xué)教習(xí)(1868-1882)

小學(xué)略通書數(shù),大隱不在山林

京師同文館

代表19世紀(jì)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高峰5/3/202322寧德師范高等專科學(xué)校中國近代科學(xué)事業(yè)的先行者

華蘅芳(清,1833－1902年)19世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)

《代數(shù)術(shù)》(1872)《微積溯源》(1874)《決疑數(shù)學(xué)》(1