第九章 導(dǎo)行電磁波

第九章導(dǎo)行電磁波第1頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三①無(wú)界媒質(zhì)中麥克斯韋方程的解均勻平面電磁波波導(dǎo)中麥克斯韋方程的解導(dǎo)行電磁波廣義：用來(lái)導(dǎo)引電磁波進(jìn)行定向傳輸?shù)难b置。②波導(dǎo)③導(dǎo)行電磁波問(wèn)題仍然是電磁場(chǎng)的邊值問(wèn)題，即求解滿足波導(dǎo)邊界條件的波動(dòng)方程，然后分析沿波導(dǎo)的傳播特性。習(xí)慣上按結(jié)構(gòu)分： 平行雙線傳輸線、同軸線、帶線和微帶線等按橫截面形狀分： 矩形波導(dǎo)、圓形波導(dǎo)和橢圓波導(dǎo)等按使用頻段分： 介質(zhì)波導(dǎo)和光纖{第2頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§9.1導(dǎo)行波的電磁場(chǎng)1、均勻波導(dǎo)中的假定 ①由理想導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)波裝置沿z方向均勻； ②并且置于線性、均勻、各向同性的理想媒質(zhì)中； ③電磁波在媒質(zhì)中沿導(dǎo)體向方向傳播。此時(shí)電磁場(chǎng)的復(fù)矢量為：稱為導(dǎo)行電磁波的傳播常數(shù)

將這兩個(gè)表達(dá)式代入理想媒質(zhì)無(wú)源區(qū)域的麥克斯韋方程中，即第3頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三考慮到各分量都有的關(guān)系，則在直角坐標(biāo)系中有電磁場(chǎng)共有六個(gè)分量，但其中四個(gè)橫向分量可以用兩個(gè)縱向分量導(dǎo)出②①③⑤④⑥第4頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中因此可以得到由縱向分量表示的橫向分量表達(dá)式可見，若求得了和，則電磁場(chǎng)的各分量就可求得。第5頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三電場(chǎng)、磁場(chǎng)都滿足齊次亥姆霍茲方程由此可求得電磁場(chǎng)縱向分量滿足以下方程則以上兩式可以寫成令求解這兩個(gè)縱向分量的方程，就可以得到波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)解。第6頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、波導(dǎo)中電磁波解的分類①TE波和TM波的組合疊加橫電波或TE波，也稱為磁波或H波

橫磁波或TM波，也稱為電波或E波

②只有當(dāng)時(shí)，才可能有不等于零的橫向場(chǎng)分量導(dǎo)行電磁波的電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量都垂直于傳播方向，故稱為橫電磁波或TEM波。第7頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)?，所以只需求解方程?.2矩形波導(dǎo)管中的電磁波矩形波導(dǎo)管軸線與z軸方向一致，內(nèi)壁坐標(biāo)分別為假設(shè)波導(dǎo)管材料為理想導(dǎo)體，內(nèi)部為理想介質(zhì)。一.矩形波導(dǎo)內(nèi)的TE電磁波

可利用分離變量法求解，令第8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則有分離變量其中寫成標(biāo)準(zhǔn)形式兩方程的解分別為第9頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以利用橫向分量與縱向分量的關(guān)系可得兩個(gè)電場(chǎng)分量在波導(dǎo)壁上，電場(chǎng)切向分量滿足零邊界條件，即①②③④根據(jù)條件①可得C=0，根據(jù)條件③可得A=0，所以其中，由初始條件確定。第10頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三兩個(gè)電場(chǎng)分量再利用邊界條件②和④可得若對(duì)任意的xy都成立，則必須至此，除了常數(shù)H0將由激勵(lì)強(qiáng)度決定外，其它常數(shù)均已確定。第11頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因此，TE波的5個(gè)場(chǎng)分量的表達(dá)式為以上各式乘以傳播因子，并作矢量相加后就得到矩形波導(dǎo)內(nèi)TE波的電磁場(chǎng)復(fù)矢量其中第12頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三★關(guān)于TE波的說(shuō)明：1、物理圖像①每一組m、n值對(duì)應(yīng)一種分布，稱為一種TEmn模。②每個(gè)TEmn模的場(chǎng)分量沿x方向呈m／2個(gè)周期的正弦或余弦變化，沿y方向呈n／2個(gè)周期的正弦或余弦變化，所以m和n分別表示場(chǎng)分布沿x和y方向變化的半周期數(shù)。③m和n最多只能有一個(gè)為零，否則將使橫向分量都為零。而僅有一個(gè)周期性變化的縱向磁場(chǎng)分量，不滿足麥克斯韋方程，電磁波不復(fù)存在。④當(dāng)m(或n）等于零時(shí)，TEm0模：只有E0y，H0x，H0z TE0n模：只有E0x，H0y，H0z第13頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三TE10波的場(chǎng)分布圖⑤電磁場(chǎng)的瞬時(shí)分布（以TE10為例）第14頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、TEmn波的參數(shù)①傳播常數(shù)a.當(dāng)γ為虛數(shù)（即βmn是實(shí)數(shù)）時(shí)電磁場(chǎng)瞬時(shí)表達(dá)式具有的形式，形成沿z方向傳播的電磁波，βmn稱為導(dǎo)行波的相位常數(shù)。b.當(dāng)γ為實(shí)數(shù)（即βmn

是虛數(shù)）時(shí)電磁場(chǎng)瞬時(shí)表達(dá)式變成的形式，場(chǎng)幅度沿z衰減，并且沒有了等相位面的移動(dòng)，失去電磁波的傳輸特征，稱之為截止。第15頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②截止頻率βmn=0時(shí)的頻率稱為截止頻率，記作fmn其中為波導(dǎo)填充介質(zhì)中的光速。決定截止頻率fmn的因素：波導(dǎo)尺寸（a,b） 模式（m,n） 介質(zhì)參量（ε,μ）③截止波長(zhǎng)第16頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三④傳輸條件用fmn和λmn表示的相位常數(shù)為βmn是實(shí)數(shù)時(shí)，電磁波可以在波導(dǎo)中傳輸，即或（TEmn波的）傳輸條件可見，波導(dǎo)具有高通特性。第17頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三⑤基模和高次模利用高通特性，可以通過(guò)選擇波導(dǎo)尺寸和充填介質(zhì)的參數(shù)來(lái)抑制m、n較大的模式，使波導(dǎo)內(nèi)只存在一種或少數(shù)幾種m、n較小的傳輸模式。一般選取波導(dǎo)尺寸a>b，此時(shí)TE10模具有最低的截止頻率和最長(zhǎng)的截止波長(zhǎng)，TE10模稱為基模，其他模通稱為高次模。除基模TE10以外，其它高次模一般不能實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這是因?yàn)楫?dāng)工作頻率高于某種高次模的截止頻率時(shí)，也一定高于TE10模和一些較低模的截止頻率，從而使波和這些較低模也滿足傳輸條件。若工作頻率f滿足或則波導(dǎo)內(nèi)只有TE10波單模傳輸?shù)?8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三⑥相速度⑦導(dǎo)波波長(zhǎng)⑧波阻抗是同種介質(zhì)中均勻平面電磁波的波阻抗當(dāng)時(shí)，，相當(dāng)于波導(dǎo)開路；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，成為虛數(shù)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相位相差π/2，沒有平均電磁場(chǎng)能量的傳輸，電磁能量只是在波導(dǎo)與信號(hào)源之間來(lái)回反射振蕩。第19頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二.矩形波導(dǎo)內(nèi)的TM電磁波對(duì)于TM波，意味著利用分離變量法可以得到TM波電磁場(chǎng)的各分量表達(dá)式第20頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以，矩形波導(dǎo)內(nèi)TE波的電磁場(chǎng)復(fù)矢量為其中★TM波與TE波的異同點(diǎn)：①矩形波導(dǎo)內(nèi)的TM波也有無(wú)窮多個(gè)解，稱為TMmn模。TM波的m和n都不能為零，因而，TM波的最低模是TM11。②TMmn模的傳播常數(shù)γ、相位常數(shù)βmn、截止頻率fmn、截止波長(zhǎng)

λ

mn

、相速度vp、導(dǎo)波波長(zhǎng)λg和傳播條件的表達(dá)式與TEmn模對(duì)應(yīng)量的表達(dá)式完全相同。★m、n值相同的TMmn模和TEmn模稱為簡(jiǎn)并模

★TM波一般不能單模傳輸!第21頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三③TMmn模的波阻抗與TEmn模不同當(dāng)時(shí)，，相當(dāng)于波導(dǎo)短路；當(dāng)時(shí)，★矩形波導(dǎo)中的各種傳輸模式第22頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例9.1一空氣填充的矩形波導(dǎo)傳輸TE10模波，工作頻率為f=3GHz。若要求工作頻率至少比TE10模的截止頻率高20%，而比距TE10模最近的高次模的截止頻率低20%。試決定波導(dǎo)尺寸a和b。

解:由截止頻率表達(dá)式可得一般傳輸波導(dǎo)a略大于2b，可選擇a=70mm，b=34mm根據(jù)要求有可得第23頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§9.3TE10模電磁波TE10模（a>2b）的優(yōu)點(diǎn)：①截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)（截止頻率最低）在同一頻帶內(nèi)要求波導(dǎo)尺寸最小③具有最小的衰減1、TE10模的參數(shù)第24頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、TE10模的特征TE10模電磁波的復(fù)矢量為 ①電磁場(chǎng)分布電場(chǎng)： 只有一個(gè)分量且極化在y方向上 其振幅沿x方向呈正弦分布 在x=0及x=a處為零，x=a/2處有最大值

yz平面稱為電場(chǎng)平面或E面磁場(chǎng)： 兩個(gè)分量均在xz平面內(nèi)

xz平面稱為磁場(chǎng)平面或H面第25頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②TE10模的波阻抗

③波導(dǎo)內(nèi)壁上的表面電荷和表面電流根據(jù)邊界條件，上、下底面的面電荷密度復(fù)振幅為由邊界條件，可得波導(dǎo)內(nèi)壁上的電流面密度復(fù)矢量為第26頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三面電流的瞬時(shí)值為其分布圖形如圖所示：第27頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、部分波以TE10模為例，將其電場(chǎng)表達(dá)式改寫成其中TE10?？梢钥醋鲀蓚€(gè)平面電磁波的迭加：①兩個(gè)x分量迭加等效于垂直入射到導(dǎo)體平面的平面波在導(dǎo)體外形成全駐波；②兩個(gè)z分量迭加形成傳輸?shù)男胁?。?8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三沿傳播方向看，兩個(gè)波峰之間距離就是導(dǎo)行波的導(dǎo)波波長(zhǎng)相速度為沿z方向能量的傳播速度為并且有當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于電磁波平行于導(dǎo)體平面?zhèn)鞑ギ?dāng)時(shí)，相當(dāng)于電磁波垂直入射到導(dǎo)體表面上，形成全駐波，z方向沒有能量傳播，稱為截止。第29頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§9.4波導(dǎo)中的能量傳輸與損耗一.波導(dǎo)中的傳輸功率

波導(dǎo)傳輸?shù)墓β蕿槠掠⊥⑹噶科骄祵?duì)波導(dǎo)橫截面的積分對(duì)于TE10模式中Em是x=a/2處的幅值，即電場(chǎng)最大幅值，是TE10波的波阻抗。第30頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二.波導(dǎo)的衰減

1、衰減的原因①表面電流的存在將引起電磁波能量的損耗。②媒質(zhì)的非理想狀態(tài)也將引起損耗。2、衰減的計(jì)算將損耗看成是一種微擾，則傳播常數(shù)可以寫作其中α稱為導(dǎo)行波的衰減常數(shù)，即電磁場(chǎng)的振幅將按e-αz規(guī)律衰減，而傳輸功率將按e-2αz規(guī)律衰減。z處截面通過(guò)的功率可以寫成兩邊對(duì)z求導(dǎo)，得由此得到第31頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從圖中可以看出：①在截止頻率附近的衰減很大，隨著頻率升高衰減迅速下降，達(dá)到一個(gè)最小值后再緩慢增大。②衰減隨著b／a比值的增大而減小，但b／a＞1/2后，減小已經(jīng)比較緩慢。兼顧衰減和最大單模傳輸頻帶的要求，一般取b／a略小于1/2

α的單位為奈培每米(NP／m)。α＝1NP/m時(shí)，電磁波傳輸1米距離的功率將下降到初值的1/e2。第32頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§9.5圓形波導(dǎo)中的電磁波

圓波導(dǎo)中，向z方向傳播的電磁場(chǎng)復(fù)矢量表示為在圓柱坐標(biāo)系下，代入麥克斯韋方程可得第33頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此可求得用縱向分量表示的橫向分量為求解這兩個(gè)縱向分量的方程，就可以得到波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)解。利用波動(dòng)方程，可以得到縱向分量所滿足的二維亥姆霍茲方程第34頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一.TE模場(chǎng)量的一般表達(dá)式

利用分離變量法可得

其中qmn表示m階貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的第n個(gè)根，每給定一組m和n的值，就決定一種場(chǎng)結(jié)構(gòu)。第35頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一.TM模場(chǎng)量的一般表達(dá)式

利用分離變量法可得其中pmn表示m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，每給定一組m和n的值，就決定一種場(chǎng)結(jié)構(gòu)。第36頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質(zhì)，可得到不同模式的工作波長(zhǎng)，排序后如圖所示可以看出TE11模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)，它是圓波導(dǎo)中的基模。TE11模單模傳輸?shù)墓ぷ鞑ㄩL(zhǎng)范圍是第37頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三.傳播特性

圓波導(dǎo)中的傳輸參量為第38頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§9.6傳輸線上的TEM波對(duì)于TEM波，而都不為零所以即TEM波的場(chǎng)分量表達(dá)式為（i=x,y）TEM波的相速度和導(dǎo)波長(zhǎng)分別為1、TEM波的電磁場(chǎng)第39頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三TEM波與自由空間的均勻平面電磁波相比較：①傳輸特性及電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系與十分類似。②差別僅在于TEM波的振幅E0i和H0i是坐標(biāo)x、y的函數(shù)。根據(jù)無(wú)源理想介質(zhì)區(qū)域中的復(fù)Maxwell方程可得（9-3a）對(duì)于TEM波，H0z=0，將帶入得同理第40頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、傳輸TEM波時(shí)傳輸線上的電位分布將TEM波的電場(chǎng)二維復(fù)矢量記作取旋度得于是并且對(duì)于TEM波，有H0z=0，所以由于無(wú)旋，故可以表示為標(biāo)量位函數(shù)的梯度，令第41頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三取散度得對(duì)于電場(chǎng)有而代入后消去，得到因此電位的微分方程是此電位與靜電場(chǎng)中無(wú)電荷區(qū)域的電位都滿足Laplace方程，時(shí)變場(chǎng)的導(dǎo)體邊界與靜電場(chǎng)的導(dǎo)體邊界一樣也是等電位邊界。根據(jù)唯一性定理，兩個(gè)位函數(shù)應(yīng)有相同的表達(dá)式。因此，對(duì)于同軸線和平行雙線這類典型問(wèn)題，只需將相同邊界形狀的靜電位或靜電場(chǎng)的解直接使用即可。

第42頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例9.5已知同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)徑為b。求：①同軸線傳輸TEM波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的表達(dá)式。②用單位長(zhǎng)度的電感和電容表示相速度。電場(chǎng)瞬時(shí)矢量為對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)復(fù)矢量為解：①靜電場(chǎng)中同軸線的解為上式乘以，并記為復(fù)常數(shù)，得到TEM波的電場(chǎng)復(fù)矢量磁場(chǎng)瞬時(shí)矢量為第43頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②根據(jù)同軸線單位長(zhǎng)度上的電感和電容

TEM波的相速度可以表示為

優(yōu)點(diǎn)： ①?zèng)]有截止頻率的限制，原則上可以傳輸任意頻率的電磁波； ②TEM波為非色散波，不會(huì)產(chǎn)生寬帶信號(hào)的變形。缺點(diǎn)： ①開放的雙線系統(tǒng)其輻射損耗大； ②同軸線系統(tǒng)在頻率較高時(shí)存在著較大的介質(zhì)損耗； ③功率容量比較小。第44頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§9.7諧振腔一、諧振腔簡(jiǎn)介諧振腔：在微波波段用封閉的金屬空腔來(lái)實(shí)現(xiàn)諧振回路的功能，稱為空腔諧振器（簡(jiǎn)稱諧振腔）。應(yīng)用：①波長(zhǎng)表②回波箱③振蕩器中的選頻和穩(wěn)頻回路……諧振腔的種類：①封閉式②開放式（損耗小、Q值高）③介質(zhì)諧振腔（體積?。┑?5頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、矩形諧振腔內(nèi)的電磁場(chǎng)1、利用邊界條件求解波動(dòng)方程xzyOabd在直角坐標(biāo)系內(nèi)，每個(gè)場(chǎng)分量滿足同樣形式的標(biāo)量方程在腔內(nèi)電場(chǎng)方程為并且三個(gè)電場(chǎng)分量在6個(gè)內(nèi)壁上滿足Et=0的導(dǎo)體邊界條件，所以第46頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將電場(chǎng)表達(dá)式代入，得到對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)分量復(fù)振幅則得到Hi0與Ei0的關(guān)系若記2、利用導(dǎo)行波的結(jié)論分析求解將諧振腔視為a×b的矩形波導(dǎo)的一段，當(dāng)其傳輸TEmn或TMmn波時(shí)，用兩塊金屬板在相距的地方短路，電磁波在短路壁上全反射形成駐波。由于此時(shí)兩個(gè)短路壁處恰好是切向電場(chǎng)的零點(diǎn)，滿足導(dǎo)體的邊界條件，所以這樣的駐波可以在兩板之間存在。將入射導(dǎo)行波和反射導(dǎo)行波的表達(dá)式相加，即可得到腔內(nèi)的電磁場(chǎng)表達(dá)式。第47頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、矩形諧振腔的性質(zhì)：①腔內(nèi)的電磁場(chǎng)以駐波的形式存在m、n、p