高一數(shù)學(xué)必修一

高一數(shù)學(xué)必修一第1頁(yè)/共56頁(yè)本章內(nèi)容2.1

指數(shù)函數(shù)2.2

對(duì)數(shù)函數(shù)2.3

冪函數(shù)第二章小結(jié)第2頁(yè)/共56頁(yè)本章小結(jié)本章小結(jié)知識(shí)要點(diǎn)自我檢測(cè)題復(fù)習(xí)參考題第3頁(yè)/共56頁(yè)1.

指數(shù)冪的運(yùn)算負(fù)指數(shù):分?jǐn)?shù)指數(shù):同底數(shù)冪相乘除:冪的乘方:積的乘方:am·an=am+n.(am)n=amn.(ab)n=anbn.知識(shí)要點(diǎn)返回目錄第4頁(yè)/共56頁(yè)2.

指數(shù)函數(shù)解析式:圖象特點(diǎn):y

=

ax(a>0,且a≠1).xyO1y=ax(0<a<1)xyO1y=ax(a>1)知識(shí)要點(diǎn)第5頁(yè)/共56頁(yè)3.

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義域:值域:0<a<1,負(fù)指數(shù)冪大于1,正指數(shù)冪小于1.單調(diào)性:(-∞,+∞)(0,+∞)a>1,負(fù)指數(shù)冪小于1,正指數(shù)冪大于1.0<a<1,(-∞,+∞)上是減函數(shù).a>1,(-∞,+∞)上是增函數(shù).知識(shí)要點(diǎn)第6頁(yè)/共56頁(yè)4.

對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:常用對(duì)數(shù):aN=b

N=logab.自然對(duì)數(shù):1的對(duì)數(shù)等0,底的對(duì)數(shù)等于1.以10為底,log10a=lga.以e=2.71828…為底,logea=lna.兩個(gè)特殊對(duì)數(shù)值:知識(shí)要點(diǎn)第7頁(yè)/共56頁(yè)5.

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)換底公式:(1)loga(M·N)=logaM+logaN.(3)logaMn=n·logaM(n∈R).(2)loga

=logaM-logaN.知識(shí)要點(diǎn)第8頁(yè)/共56頁(yè)6.

對(duì)數(shù)函數(shù)解析式:圖象特點(diǎn):y

=logax(a>0,且a≠1).xyo1y=logaxa>1xyo1y=logax0<a<1知識(shí)要點(diǎn)第9頁(yè)/共56頁(yè)7.

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義域:值域:單調(diào)性:(0,+∞).(-∞,+∞).底數(shù)、真數(shù)同大于1,或同小于1,對(duì)數(shù)值為正.0<a<1,(0,+∞)上是減函數(shù).a>1,(0,+∞)上是增函數(shù).底數(shù)、真數(shù)一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,對(duì)數(shù)值為負(fù).知識(shí)要點(diǎn)第10頁(yè)/共56頁(yè)8.

冪函數(shù)解析式:幾種冪函數(shù)的圖象特點(diǎn):y

=

xa(a為常數(shù)).xyoy=x11xyoy=x211xyoy=x311xyo11xyoy=x-111知識(shí)要點(diǎn)第11頁(yè)/共56頁(yè)9.

冪函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)定義域值域單調(diào)性過(guò)定點(diǎn)y=xa奇偶性(1,1)(1,1)(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(-∞,0)減(-∞,+∞)增y=x-1y=x2y=x3y=x(1,1)(1,1)(1,1)(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)[0,+∞)(-∞,+∞)(-∞,+∞)(0,+∞)減[0,+∞)增(-∞,0]減[0,+∞)增(-∞,+∞)增奇非奇偶奇偶奇第12頁(yè)/共56頁(yè)10.

反函數(shù)

由于習(xí)慣用x

表示自變量,所以將變換后函數(shù)中的字母x,y

相交換得將一個(gè)函數(shù)y=f(x)中的y

表示成x

的函數(shù)x=g(y),我們把x=g(y)叫做y=f(x)的反函數(shù).y=g(x).指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

如果兩函數(shù)互為反函數(shù),則它們的圖象關(guān)于直線y=x

即稱.知識(shí)要點(diǎn)第13頁(yè)/共56頁(yè)復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)參考題返回目錄第14頁(yè)/共56頁(yè)A組1.求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)解:(1)=11.(2)(3)(4)第15頁(yè)/共56頁(yè)2.

化簡(jiǎn)下列各式:(1)(2)(a2-2+a-2)÷(a2-a-2).解:(1)原式=(2)原式=第16頁(yè)/共56頁(yè)3.(1)

已知lg2=a,lg3=b,試用a、b

表示log125;(2)

已知log23=a,log37=b,試用a、b

表示log1456.解:(1)第17頁(yè)/共56頁(yè)3.(1)

已知lg2=a,lg3=b,試用a、b

表示log125;(2)

已知log23=a,log37=b,試用a、b

表示log1456.解:(2)由log23=a,第18頁(yè)/共56頁(yè)4.求下列函數(shù)的定義域:(1)(2)解:(1)要使函數(shù)有定義,只需2x-1≠0,即∴函數(shù)的定義域?yàn)?2)要使函數(shù)有定義,需x≥0.∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0}.第19頁(yè)/共56頁(yè)5.求下列函數(shù)的定義域:(1)(2)y=loga(2-x)(a>0,且a≠1);(3)y=loga(1-x)2(a>0,且a≠1).解:(1)要使函數(shù)有定義,需∴原函數(shù)的定義域?yàn)?2)要使函數(shù)有意義,需2-x>0,得x<2,∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<2}.第20頁(yè)/共56頁(yè)5.求下列函數(shù)的定義域:(1)(2)y=loga(2-x)(a>0,且a≠1);(3)y=loga(1-x)2(a>0,且a≠1).解:(3)要使函數(shù)有定義,需(1-x)2>0,即1-x≠0,∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧xR|x≠1}.得x≠1,第21頁(yè)/共56頁(yè)6.

比較下列各組中兩個(gè)值的大小:

(1)log67,log76;(2)log3p,log20.8.解:(1)∵log67>log66=1,log76<log77=1,∴l(xiāng)og67>log76.(2)∵3>1,p>1,∴l(xiāng)og3p>0,又2>1,0.8<1,∴l(xiāng)og20.8<0.則log3p>log20.8.第22頁(yè)/共56頁(yè)7.

已知f(x)=3x,求證:

(1)

f(x)·f(y)=f(x+y);

(2)

f(x)÷f(y)=f(x-y).證明:(1)∵f(x)=3x,∴f(x)·f(y)=3x·3y=3x+y,f(x+y)=3x+y,則

f(x)·f(y)=f(x+y)成立.(2)f(x)÷f(y)=3x÷3y=3x-y,f(x-y)=3x-y,∴f(x)÷f(y)=f(x-y)成立.第23頁(yè)/共56頁(yè)8.

已知f(x)=

a,b(-1,1),求證:證明:即成立.第24頁(yè)/共56頁(yè)9.

牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度是一種指數(shù)關(guān)系,若牛奶放在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約是192h,而在22℃的廚房中則約是42h.(1)

寫(xiě)出保鮮時(shí)間y

關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x

的函數(shù)解析式;(2)

利用(1)中結(jié)論,指出溫度在30℃和16℃的保鮮時(shí)間(精確到1h);(3)

運(yùn)用上面的數(shù)據(jù),作此函數(shù)的圖象.解:(1)設(shè)保鮮時(shí)間與溫度的指數(shù)關(guān)系為y=kax,當(dāng)x=0時(shí),y=192;當(dāng)x=22時(shí),y=42.則k=192,a≈0.93.于是得保鮮時(shí)間與溫度的函數(shù)式為y=1920.93x.第25頁(yè)/共56頁(yè)9.

牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度是一種指數(shù)關(guān)系,若牛奶放在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約是192h,而在22℃的廚房中則約是42h.(1)

寫(xiě)出保鮮時(shí)間y

關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x

的函數(shù)解析式;(2)

利用(1)中結(jié)論,指出溫度在30℃和16℃的保鮮時(shí)間(精確到1h);(3)

運(yùn)用上面的數(shù)據(jù),作此函數(shù)的圖象.解:(2)由(1)得函數(shù)式為y=1920.93x.當(dāng)x=30時(shí),y=1920.9330≈22(h);當(dāng)x=16時(shí),y=1920.9316≈60(h).

答:在30℃溫度下,可保鮮22小時(shí),在16℃溫度下,可保鮮60小時(shí).第26頁(yè)/共56頁(yè)9.

牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度是一種指數(shù)關(guān)系,若牛奶放在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約是192h,而在22℃的廚房中則約是42h.(1)

寫(xiě)出保鮮時(shí)間y

關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x

的函數(shù)解析式;(2)

利用(1)中結(jié)論,指出溫度在30℃和16℃的保鮮時(shí)間(精確到1h);(3)

運(yùn)用上面的數(shù)據(jù),作此函數(shù)的圖象.解:(3)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(30,22).(22,42),(16,60),(0,192),xyo162230224260192y=1920.93x第27頁(yè)/共56頁(yè)

10.

已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,),試求此函數(shù)的解析式,并作出圖象,判斷奇偶性、單調(diào)性.解:冪函數(shù)y=xa

經(jīng)過(guò)點(diǎn)則有得即函數(shù)解析式為定義域?yàn)?0,+∞),圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),xyo1124函數(shù)非奇非偶,在(0,+∞)上是減函數(shù).第28頁(yè)/共56頁(yè)B組1.

已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=

x>1},則A∩B=()(A)(B){y|0<y<1}(C)(D)解:當(dāng)x>1時(shí),log2x>0,∴A={y|y>0},則A第29頁(yè)/共56頁(yè)2.

若2a=5b=10,則解:2a=10,a=log210,5b=10,b=log510,則=lg(25)=1.1第30頁(yè)/共56頁(yè)3.

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-

(aR):(1)

探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)

是否存在實(shí)數(shù)a

使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?解:(1)∵2x是(-∞,+∞)上的增函數(shù),∴當(dāng)x1>x2

時(shí),則所以得f(x1)>f(x2),函數(shù)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).第31頁(yè)/共56頁(yè)3.

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-

(aR):(1)

探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)

是否存在實(shí)數(shù)a

使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?解:(2)要使f(x)為奇函數(shù),需f(-x)=-f(x)即整理得解得即當(dāng)a=1時(shí),f(x)為奇函數(shù).第32頁(yè)/共56頁(yè)4.

設(shè)求證:

(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;

(2)

f(2x)=2f(x)·g(x);

(3)

g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.證明:∴原等式成立.(1)=1,第33頁(yè)/共56頁(yè)4.

設(shè)求證:

(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;

(2)

f(2x)=2f(x)·g(x);

(3)

g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.證明:∴原等式成立.(2)又2f(x)·g(x)第34頁(yè)/共56頁(yè)4.

設(shè)求證:

(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;

(2)

f(2x)=2f(x)·g(x);

(3)

g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.證明:(3)∴g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2

成立.又[g(x)]2+[f(x)]2第35頁(yè)/共56頁(yè)

5.

把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來(lái)的溫度是q1℃,空氣的溫度是q0℃.tmin后物體的溫度q℃可由公式

q=

q0+(q1-q0)e-kt

求得,這里k

是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常量,現(xiàn)有62℃的物體,放在15℃的空氣中冷卻,1min以后物體的溫度是52℃,求上式中k

的值(精確到0.01),然后計(jì)算開(kāi)始冷卻后多長(zhǎng)時(shí)間物體的溫度是42℃,32℃.物體會(huì)不會(huì)冷卻到12℃?解:當(dāng)q1=62℃,q0=15℃,t=1時(shí),q=52℃,則得52=15+(62-15)e-k,解得≈0.24.得此物體的冷卻公式為q=15+47e-0.24t.當(dāng)q=42時(shí),解得t≈2.3(min);當(dāng)q=32時(shí),解得t≈4.2(min).當(dāng)q=12時(shí),得t

=lg0.79(-0.06),對(duì)數(shù)無(wú)意義.(答略)事實(shí)上,物體不可能冷卻到比空氣的溫度還低.第36頁(yè)/共56頁(yè)6.

某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量Pmg/L與時(shí)間th間的關(guān)系為

p=p0e-kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物,試回答:(1)10小時(shí)后還剩百分之幾的污染物?(2)

污染物減少50%需要花多少時(shí)間(精確到1h)?(3)

畫(huà)出污染物數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象,并在圖象上表示計(jì)算結(jié)果.解:當(dāng)t=5時(shí),P=90%P0,則90%P0=P0e-5k,解得k≈0.02,得P

與t

的關(guān)系式為P=P0e-0.02t.(1)當(dāng)t=10時(shí),P=P0e-0.2≈0.82P0,答:10小時(shí)后大約還剩百分之八十二的污染物.第37頁(yè)/共56頁(yè)6.

某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量Pmg/L與時(shí)間th間的關(guān)系為

p=p0e-kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物,試回答:(1)10小時(shí)后還剩百分之幾的污染物?(2)

污染物減少50%需要花多少時(shí)間(精確到1h)?(3)

畫(huà)出污染物數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象,并在圖象上表示計(jì)算結(jié)果.解:當(dāng)t=5時(shí),P=90%P0,則90%P0=P0e-5k,解得k≈0.02,得P

與t

的關(guān)系式為P=P0e-0.02t.(2)當(dāng)P=0.5P0

時(shí),答:污染物減少50%,大約需要花35小時(shí).得

0.5P0=P0e-0.02t.解得t≈35,第38頁(yè)/共56頁(yè)6.

某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量Pmg/L與時(shí)間th間的關(guān)系為

p=p0e-kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物,試回答:(1)10小時(shí)后還剩百分之幾的污染物?(2)

污染物減少50%需要花多少時(shí)間(精確到1h)?(3)

畫(huà)出污染物數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象,并在圖象上表示計(jì)算結(jié)果.解:圖象過(guò)點(diǎn)(5,0.9),(3)(10,0.82),(35,0.5).xyo510350.50.820.9第39頁(yè)/共56頁(yè)自我檢測(cè)題返回目錄第40頁(yè)/共56頁(yè)檢測(cè)題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=,x>1},則A∩B=()(A)(B){y|0<y<1}(C)(D)2.若a,b是任意實(shí)數(shù),且a>b,則()(A)a2>b2(B)(C)lg(a-b)>0(D)3.如果a>1,b<-1,那么函數(shù)f(x)=ax+b的圖象在()(A)第一、二、三象限(B)第一、三、四象限

(C)第二、三、四象限(D)第一、二、四象限4.世界人口已超過(guò)56億,若按千分之一的年增長(zhǎng)率計(jì)算,則兩年增長(zhǎng)的人口就可相當(dāng)于一個(gè)()(A)新加坡(270萬(wàn))(B)香港(560萬(wàn))(C)瑞士(700萬(wàn))(D)上海(1200萬(wàn))5.已知f(x)是偶函數(shù),它在[0,+∞)上是減函數(shù).若f(lgx)>f(1),則x的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)(0,1)∪(10,+∞)二、填空題6.1992年底世界人口達(dá)到54.8億,若人口的年平均增長(zhǎng)率為1%,經(jīng)過(guò)x年后世界人口數(shù)為y(億),則y與x的函數(shù)解析式為

.7.函數(shù)y=logx-1(3-x)的定義域是

.8.設(shè)0≤x≤2,則函數(shù)的最大值是

,最小值是

.三、解答題9.已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)討論函數(shù)f(x)的增減性.10.某電器公司生產(chǎn)A型電腦,1993年這種電腦每臺(tái)平均生產(chǎn)成本為5000元,并以純利潤(rùn)20%確定出廠價(jià),從

1994年開(kāi)始,公司通過(guò)更新設(shè)備和加強(qiáng)管理,使生產(chǎn)成本逐年降低,到1997年,盡管A型電腦出廠價(jià)是1993

年出廠價(jià)的80%,但卻實(shí)現(xiàn)了50%純利潤(rùn)的高效益.(1)求1997年每臺(tái)A型電腦的生產(chǎn)成本;(2)以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù),求1993~1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)(精確到0.01,以下數(shù)據(jù)可供參考:).第41頁(yè)/共56頁(yè)檢測(cè)題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))

1.

已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=,x>1},則A∩B=()(A)(B){y|0<y<1}(C)(D)解:化簡(jiǎn)集合得A={y|y>0},A第42頁(yè)/共56頁(yè)2.

若a,b是任意實(shí)數(shù),且a>b,則()(A)a2>b2(B)(C)lg(a-b)>0(D)分析:用函數(shù)的思想判斷A、D選項(xiàng),A選項(xiàng)看作二次函數(shù),在任意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不是一個(gè)單調(diào)區(qū)間,不能確定大小.D選項(xiàng)看作指數(shù)函數(shù),底數(shù)小于1,在(-∞,+∞)上是減函數(shù),∵a>b,D也可用具體實(shí)數(shù)檢驗(yàn):1>-2?

12>(-2)2,-1>-2

?a-b=0.1?lg(a-b)>0,A不對(duì);B不對(duì);C不對(duì).第43頁(yè)/共56頁(yè)3.

如果a>1,b<-1,那么函數(shù)f(x)=ax+b

的圖象在()(A)第一、二、三象限(B)第一、三、四象限

(C)第二、三、四象限(D)第一、二、四象限分析:f(x)的圖象是將底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)的圖象向下平移一個(gè)多單位,(如圖)xyO-11則應(yīng)選B.By=axby=ax+b第44頁(yè)/共56頁(yè)

4.

世界人口已超過(guò)56億,若按千分之一的年增長(zhǎng)率計(jì)算,則兩年增長(zhǎng)的人口就可相當(dāng)于一個(gè)()(A)新加坡(270萬(wàn))(B)香港(560萬(wàn))(C)瑞士(700萬(wàn))(D)上海(1200萬(wàn))解:增長(zhǎng)兩年后的總?cè)丝?560000(1+0.001)2.兩年增長(zhǎng)的人口:560000(1+0.001)2-560000≈1121(萬(wàn))即兩年增加的人口將超過(guò)1121萬(wàn)人,相當(dāng)于一個(gè)上海人口.D第45頁(yè)/共56頁(yè)

5.

已知f(x)是偶函數(shù),它在[0,+∞)上是減函數(shù).若f(lgx)>f(1),則x

的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)(0,1)∪(10,+∞)分析:由f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),且是偶函數(shù),則大概圖象如圖:xyO1-1f(1)=f(-1),要使f(lgx)>f(1),需-1<lgx<1lg10-1==lg10,C第46頁(yè)/共56頁(yè)二、填空題

6.1992年底世界人口達(dá)到54.8億,若人口的年平均增長(zhǎng)率為1%,經(jīng)過(guò)x

年后世界人口數(shù)為y(億),則y

與x

的函數(shù)解析式為

.y=54.8(1+0.01)x第47頁(yè)/共56頁(yè)7.

函數(shù)y=logx-1(3-x)的定義域是

.解:x-1>0,x-1≠1,3-x>0,解得1<x<3,且x≠2.(1,2)∪(2,3)第48頁(yè)/共56頁(yè)

8.

設(shè)0≤x≤2,則函數(shù)的最大值是

,最小值是

.分析:原函數(shù)變?yōu)閥=22x-1-32x+5設(shè)2x=t(1≤t≤4),則函數(shù)變?yōu)楫?huà)出圖象:tyO314當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)取得最大值,當(dāng)t=3時(shí),函數(shù)取得最小值,第49頁(yè)/共56頁(yè)三、解答題

9.

已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)

求f(x)的定義域;

(2)

討論函數(shù)f(x)的增減性.解:(1)要使對(duì)數(shù)有意義,需ax-1>0,即ax>1,①當(dāng)0<a<1時(shí),x<0,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0).②

當(dāng)a>1時(shí),x>0,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞).第50頁(yè)/共56頁(yè)三、解答題

9.

已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)

求f(x)的定義域;

(2)

討論函數(shù)f(x)的增減性.解:(2)①當(dāng)0<a<1時(shí),x<0,ax是(-∞,0)上的減函數(shù).取x1<x2<0時(shí),∵logau是(0,+∞)上的減函數(shù),∴l(xiāng)ogau1<logau2,則當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù).第51頁(yè)/共56頁(yè)三、解答題

9.