學(xué)科競賽網(wǎng)卞數(shù)學(xué)講座幾何專題講義答案

幾何講義答案1證明：首AQAADOEQBFCPT由角平分線性質(zhì)知：ADPACEPC 又

SBTF

BTFTsinBTFCTFTsin

PTsinACBPCsin=PAABPAPB=PB PC ADBFCEDB QATOPAQ必要性：設(shè)BAC=60，在△ADE中ADE=ABP+BPD=PAC+APD=∴△ADE是等邊三角形又ADPAPC DEEC，且BDE ∴DBE=∴EDC+BED=DBE+BED=ADE=∴BQC=DQE=又BOC=2∴OQD=OBC=30，DQA=DEA=∴OQAQAQOPO、P、Q充分性：設(shè)O、P、Q共線，則OAP=OQA=∴PA2=PQ·PO，從而CQPC，且有AQPA ∴CQPCCE ∴QE平分AQC，即AQECQE①另一方面由O、B、C、Q四點共圓知OQD=OBC=OCB=OQB=結(jié)合OQA=PQA知DQA= 由①、②知DQAAQECQE從而BQCBOC2即有BACAFEOQBDC【證明】如圖，連接AQ，延長后交BC于DAFEOQBDCPTBFAE由△PAB∽△PCA及角平分線定理，知 bBDCEAF在△ABC中，由Ceva定理，DCEA

BDc2 b2。由此知AD是類似中線

AD b2c2

。b，，AQDBCE，，

AQ c b2

QDBCb2

QDc2b2 AQ ∴ 。 b2c2 AT AT又取中線AM，由 AM， ma。AABMCTO、Q、P共線QATAQ 2 m21b2c21 將①、②、③代入得4mabcbc，而 ，得a2b2c2bccosA由余弦定理 2，∴A120。證作出△ABC的外接圓，并取中點N。NAABDCO不難證明A、N、O、O1、O2五點共圓顯然NO⊥BC。為使B、O′、C共線，即N、O關(guān)于BC軸對稱，必須且只需滿而 （注：O與頂點A位于BC邊異側(cè)，∴3∠A＝360°，即∠A＝120記△AEF的外心為O′。可以證明OIO′N是平行四邊形。NNAFEOIDBCM必須也只需滿足DM1OI。2而DMatanA OINOR（外接圓半徑 A 代入 atanR，而由正弦定理2sinA

∴2sinAcot，即4sincos 2，

， 2∴A60

sin2

證明：自F分別作BC、AD的垂線，垂足記為S、T，聯(lián)ST、PQRt△FCS∽Rt△EAQ，Rt△FDT∽Rt△EBP，得(FS/EQ)＝(FC/EA)＝(FD/EB)＝(FT/EP)，又∠SFT＝∠PEQ，∴△FTS∽△EPQ。得∠FTS＝∠EPQ，于是∠QPS＋∠STQ＝180°，從而P、S、T、Q四點共圓。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中點，MP、S、T、Q四點所共圓的圓心。∴MP＝MQ。求證：EB為⊙M的切線，當(dāng)且僅當(dāng)BD=DF。證明：贇先生解答<充分性.若ADEMK。由∠AKO=90°,OE=OD知 SABDBD2AD

BE2AE

BE AEADDKEAEKBEM<必要性.若EBM的切線>設(shè)ADEMK。由∠AKO=90°,OE=OD知ABM=>△ABM∽△BEOD,K是對應(yīng)點，又由于∠OKE=90°，故∠MDB=90°。證明設(shè)AE交⊙M于H,可知AF×BO=BD×AM(1),因為∠MBO=∠BOM=∠AFD,BEEBH=∠BAH,等價于∠BHD=∠BDH,所以∠AFD=∠ADFBEEBM于△BOM∽△DFA,等價于AF×BO=BM×DF,因為BM=AM,根據(jù)（1）可知6AB、ACOB、CCD平分ACBAB求證BC， I、K分別是，BC、BEA、H、I、O共線，根據(jù)陪位中線知識可知ECDBCKECAHCBBECBHCEKCHBCHCBECBBE2KE2EC,又ECFBFEBF2EF4CF3CF證明（二）ED2DHDCDKDO所以DKEDCODKHDCOHKEHBC,所以HKEHBCHCEACHACEBCHCBCHBCCBE于是BKHCEH,得到CEBKKE,下面同證法（一ADBC于GAE、HCF求證GF直線AGONH、O、NCHAB于點M,A、M、H、D四點共圓，所以BADDHCANCABCNBNAC,ABNC是平行四邊形，得到GBC、ANAFOJ,BEAFB、O、J共線，所以O(shè)G是AHN、BJC中位線，AH、CJ平行且相等，所以FHC中點，可知GF//BH8、如1，在ABC中，點DEF分別11-1ABC的平行線分DFDEDPMNLFBC由平行線性質(zhì)， LNLGPDPDHHK E欲證GPHK，需證MLAN. E因 FTDFBF 所以ML FT

H 圖1- DCCE 所 AN DC 所 MLBACEFTBACEFP BFEA BFEA

MLAN，也即HK

H 1點評聯(lián)想平行線中的基本圖形（平行線束由平行線的性HKDHANMPANMPAE MA又GP 式①除以HKMPAEFCSBPCSABPSABC MAEC S S S因此GPHK點 在直線型問題中，運用面積方法消去復(fù)雜的比例是常用的方法，這其中選擇合的三角形的面積轉(zhuǎn)化比例是關(guān)93，在銳角ABCDBC的中點，BEACECFABFH為垂心DH的延長線分別交ACBA的PQ，點GBH上，且GHHEK在CH上，KHHFQGHFMPKHEN.《中等數(shù)學(xué)》2010年第5期高271號問題）1如圖3-1，聯(lián)結(jié)GKDEDF. BDDC知SBDHSCDH HFSFDHSFDHQF QBFB1FB

1

CH

CH 同理可 = 式①除以PCFB=CKBHQB BG注意 BHF∽所 FB=BH 因 又QCB=PCK，所以QGBPCK， 因此M,N,K,G由BHFCHEBHHE=CHHF，即BHHG=CHHK因此B,G,K,C于是Q MN∥BC證法2如圖3-1，聯(lián)結(jié)PB,PG,QK,QC,GK,GC,BK P因為BD=DC，所以SBHQ=SCHQ H H又KHHF

于

- -

B1 SKQC=SBHF1所以 BQ

圖3同理可

1CP2所 易證QBG=PCK QGB∽PCK以下證明同證法1.10、如圖5ABC的外接圓為，圓1與AB,BC相切，且內(nèi)切于圓，切點為D，圓2與邊ACBC相切，且內(nèi)切于圓EBD與CE相交于點PO,I分別是ABC外心和內(nèi)心.求證OIP先證如下引理lAEMINB引理ABC的外接圓為，圓1ABBCMN，且內(nèi)切于圓,切DI是ABCMlAEMINB證法1如圖5-1，延長CI,AI交ABC的外接 EFE作ABC的外接圓的切線l由三角形內(nèi)心E,F分別的中點.所以lAB.

CF圖5因為圓1與圓位似，點D為位似中心，E,M為對應(yīng)點，所以E,M,D三點共線. F,N,D三點共線.由帕斯卡定理知M,I,N三點共線DG,如圖聯(lián)接相應(yīng)線段ADGADMGDMAMDABDGMINB ADGGMINB所以ADMMDB， BDNNDC.D因同

AM,I,D;A,BC,D四點分別共圓DIM180MADDCNDNCDMIDCN∽DIMDAM∽DINMAIMDINDC1BDC1BAC NCI1BCA2

CMOOGHNBMOOGHNBC圖5因此I是ABC的內(nèi)心.即MIN三點共線.記圓RrGMNGHBCH于是GHONcos2Brcos2B1因為BO1

rB,BOR,OO1Rr，OBO1 rsin在OBO1中應(yīng)用余弦定理，cosA rB)2R22Rr (Rr)2，sin

sin sinAsinBsin化簡， r 2cos22GH 于 4RsinsinsinB B所以BHGHcot4R

于是tanGCB BC4RsinAsinBsin 2RsinA4Rsin