第六章一概率與概率分布

第六章一概率與概率分布第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)實世界中，我們說遇到的許多現(xiàn)象都存在著不確定性。為了描述不確定性現(xiàn)象的規(guī)律性，就需要應(yīng)用概率論說提供的理論和方法。當(dāng)我們不能獲得總體的數(shù)據(jù)而只有樣本數(shù)據(jù)時，必須根據(jù)樣本信息來推斷總體數(shù)量特征。顯然這種推斷說依據(jù)的信息是不完全的，推斷結(jié)果具有不確定性，因此推斷統(tǒng)計是建立在概率論基礎(chǔ)之上的。這一章既是溝通描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計的橋梁，也是學(xué)習(xí)后面幾章統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。在一章中，將簡要介紹概率論的基本知識，著重介紹概率及其有關(guān)的概念、常見的幾種概率分布及其主要特征、大數(shù)定律和中心極限定理。第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三引入故事——從賭博中發(fā)展的

概率理論概率問題的歷史可以追溯到遙遠(yuǎn)的過去，很早以前，人們就用抽簽、抓鬮的方法解決彼此間的爭端，這可能就是概率最早的應(yīng)用。而真正研究隨機現(xiàn)象的概率論出現(xiàn)在15世紀(jì)之后，當(dāng)時的保險業(yè)已在歐洲蓬勃發(fā)展起來，不過，當(dāng)時的保險業(yè)非常不成熟，只是一種完全靠估計形勢而出現(xiàn)的賭博性事業(yè)，保險公司要承擔(dān)很大的不確定性風(fēng)險，保險業(yè)的發(fā)展渴望能有指導(dǎo)保險的計算工具的出現(xiàn)。第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三這一渴望戲劇性地因15世紀(jì)末賭博現(xiàn)象的大量出現(xiàn)而得到解決。當(dāng)時的主要賭博形式有玩紙牌、擲骰子、轉(zhuǎn)銅幣等。參加賭博的人，特別是那些專門從事以贏利為生的職業(yè)賭徒，天長日久就逐漸悟出了一個道理：在少數(shù)幾次賭博中無法預(yù)料到輸贏的結(jié)果，如果多次進行下去，就可能有所預(yù)料，這并不是完全的碰巧。這無意中就給學(xué)者們提供了一個比較簡單而又非常典型的概率研究模型。第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三1654年，有一個法國賭徒梅勒遇到了一個難解的問題：梅勒和他的一個朋友每人出30個金幣，兩人誰先贏滿3局誰就得到全部賭注。在游戲進行了一會兒后，梅勒贏了2局，他的朋友贏了1局。這時候，梅勒由于一個緊急事情必須離開，游戲不得不停止。他們該如何分配賭桌上的60個金幣的賭注呢？第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三梅勒的朋友認(rèn)為，既然他接下來贏的機會是梅勒的一半，那么他該拿到梅勒所得的一半，即他拿20個金幣，梅勒拿40個金幣。然而梅勒爭執(zhí)道：再擲一次骰子，即使他輸了，游戲是平局，他最少也能得到全部賭注的一半——30個金幣；但如果他贏了，并可拿走全部的60個金幣。在下一次擲骰子之前，他實際上已經(jīng)擁有了30個金幣，他還有50%的機會贏得另外30個金幣，所以，他應(yīng)分得45個金幣。第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三賭本究竟如何分配才合理呢？后來梅勒把這個問題告訴了當(dāng)時法國著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡，這居然也難住了帕斯卡，因為當(dāng)時并沒有相關(guān)知識來解決此類問題，而且兩人說的似乎都有道理。帕斯卡又寫信告訴另一個著名的數(shù)學(xué)家費馬，于是在這兩位偉大的法國數(shù)學(xué)家之間開始了具有劃時代意義的通信，在通信中，他們最終正確地解決了這個問題。第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三他們設(shè)想：如果繼續(xù)賭下去，梅勒（設(shè)為甲）和他朋友（設(shè)為乙）最終獲勝的機會如何呢？他們倆至多再賭2局即可分出勝負(fù)，這2局有4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，所以賭注應(yīng)按3：1的比例分配，即甲得45個金幣，乙15個。雖然梅勒的計算方式不一樣，但他的分配方法是對的。第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯把這一問題置于更復(fù)雜的情形下，試圖總結(jié)出更一般的規(guī)律，結(jié)果寫成了《論擲骰子游戲中的計算》一書，這就是最早的概率論著作。正是他們把這一類問題提高到了理論的高度，并總結(jié)出了其中的一般規(guī)律。同時，他們的研究還吸引了許多學(xué)者，由此把賭博的數(shù)理討論推向了一個新的臺階，逐漸建立起一些重要概念及運算法則，從而使這類研究從對機會性游戲的分析發(fā)展上升為一個新的數(shù)學(xué)分支。從賭徒的問題引起，概率逐漸演變成一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三在自然界和人類社會中有著各種各樣的現(xiàn)象,從概率論的觀點可分為兩類：一是確定性現(xiàn)象，指在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃就會沸騰；任意大小的圓，其周長等于其直徑乘以派；在勻速運動的條件下，物體移動的距離與時間成正比。以上這些現(xiàn)象有一個共同特點：它們的變化規(guī)律是確定的，一定的條件必然導(dǎo)致某一結(jié)果，這種關(guān)系可以用公式或定律在表示，這類現(xiàn)象我們稱之為確定性現(xiàn)象，也叫必然現(xiàn)象。第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三另一類是隨機現(xiàn)象，指在一定條件下可以發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象都有一個共同點：在一定條件下可以重復(fù)試驗或觀察，在每次觀察或試驗進行之前無法確切知道出現(xiàn)的結(jié)果，但是可以肯定是某些結(jié)果中的一個，而且重復(fù)進行一系列這種試驗或觀察出現(xiàn)的結(jié)果不盡相同。第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例如，拋出一枚硬幣得到正面還是反面，下屆奧運會上我國運動員獲得金牌的數(shù)量，商場每天的顧客數(shù)和銷售額，某城市每天交通事故的件數(shù)，等等。這些現(xiàn)象的一個共同特點是它們的不確定性或偶然性，即一定條件下可能出現(xiàn)這種結(jié)果，也可能出現(xiàn)那種結(jié)果，出現(xiàn)哪種結(jié)果“純屬偶然”，完全是“隨機會而定”，人們事先不能確切知道哪種結(jié)果會出現(xiàn)，我們稱這種現(xiàn)象為隨機現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象。第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三對于隨機現(xiàn)象，就個別的觀察或試驗來說，出現(xiàn)的結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是在大量重復(fù)試驗或觀察下，其結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性，我們稱這種規(guī)律性為統(tǒng)計規(guī)律性，概率論就是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)事件與概率一、隨機現(xiàn)象與隨機事件1．隨機現(xiàn)象：指事先不能精確預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象有下特點：（1）結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性；（2）在相同條件下進行大量重復(fù)試驗時，其試驗結(jié)果呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性—頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。2、隨機事件：隨機現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合體稱為隨機事件。簡稱事件，通常用A、B、C等來表示。隨機事件也可以通過隨機試驗來定義。第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3、隨機試驗：我們把能反復(fù)進行的，對隨機現(xiàn)象的觀測或試驗，稱為隨機試驗；它必須符合以下三個條件：（1）它可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）試驗的所有結(jié)果事先已知；（3）每次試驗只出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但不能預(yù)先斷定會出現(xiàn)哪個結(jié)果。隨機事件的每一個可能的結(jié)果，稱為基本事件（即不能再分的事件）也稱為樣本點。所有樣本點的集合，稱為樣本空間，用Ω表示。在

每次試驗中，可能發(fā)生的事件，稱為隨機事件，隨機事件如果僅包含一個樣本點，該事件為簡單事件；如果包含樣本空間中的一個以上的樣本點，該事件稱復(fù)合事件。隨機事件有兩種極端的情況：在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為必然事件，用S表示。在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，用Φ表示。第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三二、概率（一）概率的定義研究隨機試驗，需了解各種隨機事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計規(guī)律性。能夠刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱之為概率(probability)。事件A的概率記為P（A）。第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

1．概率的古典定義（先驗概率）隨機試驗具有以下特征，稱為古典概型。1.試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個；2.各試驗的結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；3.試驗的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三對于古典概型，概率的定義：設(shè)樣本空間由n個等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個基本事件，則事件A的概率為m/n，即P（A）=m/n這樣定義的概率稱為古典概率。因為這樣的概率是以在“相似的條件下進行無數(shù)次試驗”的觀點來思考問題,并以對象本身所具有的對稱性而事先得到的,故被稱為先驗概率。第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三【例】編號1、2、3、…、10的十名學(xué)生中隨機抽取1名，求下列隨機事件的概率。（1）A=“抽得一個編號≤4”；（2）B=“抽得一個編號是2的倍數(shù)”。因為該試驗樣本空間由10個等可能的基本事件構(gòu)成，即n=10。所以P(A)=mA/n=4/10=0.4

P(B)=mB/n=5/10=0.5第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例：設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有5件次品?，F(xiàn)從這50件中任選2件，求抽到的兩件均為合格品的概率是多少？抽到的兩件均為次品的概率是多少？第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三在古典概率中，只要通過邏輯分析，就可以求得事件的概率，不必進行真實的隨機試驗。但在許多情況下，古典概率的兩個假定條件并不能完全滿足，甚至人們對事件出現(xiàn)的可能性一無所知。例如，一個射擊選手命中0環(huán)、1環(huán)、2環(huán)……10環(huán)的可能性是不相等的，如何得知他在30次射擊中全部命中10環(huán)的概率？推出某種新藥來治療肺病，治愈的概率是多大？這些概率就需要其他方法來估計。第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2．概率的統(tǒng)計定義（經(jīng)驗概率）在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，如果隨機事件A發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機事件A的頻率；當(dāng)試驗重復(fù)數(shù)n逐漸增大時，隨機事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機事件A的概率(probability)。第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三拋擲一枚硬幣正面朝上的試驗記錄隨機事件的概率p通常以試驗次數(shù)n充分大時隨機事件A的頻率作為該隨機事件概率的近似值。即P（A）=limf(A)=m/n（n→∞）實驗者投擲次數(shù)正面次數(shù)頻率蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3、主觀概率有些隨機事件發(fā)生的可能性，既不能通過等可能事件個數(shù)來計算，也不能根據(jù)大量重復(fù)試驗的頻率來估計，但決策者又必須對其進行估計從而做出相應(yīng)的決策，那就需要應(yīng)用主觀概率。例如，航天飛機發(fā)射是否成功，某公司開發(fā)新產(chǎn)品能否盈利，我國明年通貨膨脹率可能會有多高，等等，這些隨機事件發(fā)生的可能性大小只能依據(jù)人們的主觀估計。第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例如，某企業(yè)營銷部經(jīng)理認(rèn)為，新廣告播出后，其產(chǎn)品市場占有率將會上升的可能性是60%，不變的可能性是30%，下降的可能性只有10%。凡是依據(jù)人們的主觀判斷而估計的隨機事件發(fā)生的可能性大小都稱為主觀概率。第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三古典概率和統(tǒng)計概率屬于客觀概率，它們的確定完全取決于對客觀條件的理論分析，或是大量重復(fù)試驗的事實，不以個人的意志為轉(zhuǎn)移。而主觀概率的確定是很靈活的，它依賴于個人的主觀判斷，不同的人對同一事件給出的概率值往往有一定差異。例如：股票的成交通常就是因為有人預(yù)計股票價格很可能上升而買進。同時又有人預(yù)計股票價格很可能下跌而賣出。當(dāng)然，主觀概率也并非由個人隨意猜想和編造的，人們的經(jīng)驗、專業(yè)知識對事件發(fā)生的眾多條件或影響因素的分析等都是確定主觀概率的依據(jù)。第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三1．非負(fù)性：對于任何事件A，有0≤P(A)≤1；2．規(guī)范性：即P(Ω)=1；3．可列可加性：即對任意兩兩互斥的事件Ai(i=1,2,3…),AiAj=Φ,滿足：P（∪Ai）=∑Aii=1,2,3…∞。（二）概率的性質(zhì)第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（三）概率的計算1．事件的相互關(guān)系（1）和事件：事件A和事件B至少有一個發(fā)生構(gòu)成的新事件稱事件A和事件B的和事件。記作A∪B。（２）積事件：事件A和事件B同時發(fā)生構(gòu)成的新事件，又叫變事件，記作A∩B。（3）事件的包含與相等：當(dāng)事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生，則稱Ｂ包含Ａ，若Ａ與Ｂ相互包含則稱兩事件相等。（4）互斥事件：A和B不可能同時存在（或發(fā)生）即AB為不可能事件，那么稱事件A和事件B是互斥事件。A∩B=Φ第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（5）對立事件(逆事件)：事件A和B不可能同時發(fā)生，但必然發(fā)生其一，即A+B為必然事件，AB為不可能事件，這樣A、B互為對立事件B是A的對立,記為A（6）完全事件系：n個事件兩兩互斥，且每次試驗必有其一出現(xiàn)。則這n個事件構(gòu)成完全事件系。（7）事件的獨立性（獨立事件）：事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的可能性，反之亦然，那么就稱事件A對于事件B是獨立的。簡稱獨立事件。第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三事件相互獨立的三個定義：1.兩個事件A與B，若其中任何一個事件發(fā)生的概率不受另外一個事件發(fā)生與否的影響，則稱事件A與B是相互獨立的，簡稱A與B獨立。2.若兩個事件A與B，P(B)>0，且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨立。3.若兩個事件A與B滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B相互獨立。此定義可以推廣到有限個事件。第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三事件獨立性的五個結(jié)論1.事件A與B獨立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B)。2.下列四對事件：A與B；中，只要有一對事件獨立，其余三對也獨立。3.設(shè)兩個事件A與B的概率都大于0且小于1，則下面等式等價，即其中任何一個成立，其它三個也一定成立：第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三4.若事件相互獨立，則有5.若事件相互獨立，則有第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三注意：獨立與互不相容是不同的。

第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2．概率的運算法則加法法則：互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和事件B的概率之和。即P(A+B)=P(A)+P(B)。加法定理對于多個兩兩互斥的事件也成立。P(A+B+…+N)=P(A)+P(B)+…P(N)第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三推理1：完全事件系的和事件概率等于1。P(A+B+…N)=P(A)+P(B)+…P(N)=1推理2：對立事件（互補事件）A的概率P（A）為P(A)+P(A)=1因為P(A)=1－P(A)第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三推廣：相容事件的加法公式－如果A和B是任何事件，加法規(guī)則可表示為：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三乘法法則：如果A事件和B事件為獨立事件，則事件A與B事件同時發(fā)生的概率等于兩獨立事件概率的乘積，即：

P(AB)=P(A)?P(B)乘法定理對于n個相互獨立的事件也成立，即P(A1A2?

?

?

An)=P(A1)P(A2)?

?

?P(An)第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三推理1：若n個事件A、B、…N彼此獨立，且當(dāng)P(A)=P(B)=…P(N)時，則P(AB…N)=[P(A)]n。推理2：非獨立事件的乘法（條件概率）：如果事件A和B是非獨立的，那么事件A與B同時發(fā)生的概率為事件A的概率P(A)乘以事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率P(B/A)，即：P(AB)=P(A)P(B／A)=P(B)P(A／B)第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三３、用古典法求復(fù)合事件的先驗概率首先在一樣本空間中，就一樣本點或基本事件計算其實現(xiàn)的概率，這由乘法規(guī)則來解決；然后就一特定的復(fù)合事件，列出它所包含的樣本點。列出所有的樣本點，就是要確定給定復(fù)合事件含有的排列方式數(shù)，也就是考慮使用加法規(guī)則。第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三組合（Combination）:從個n元素中抽取x個元素組成一組（不考慮其順序）的組合方式個數(shù)記為:(n!為的階乘,n!=1*2*……*n,0!=1)復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)概念

第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（四）小概率事件實際不可能原理隨機事件的概率表示了隨機事件在一次試驗中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗中出現(xiàn)的可能性很小，以至于實際上可以看成是不可能發(fā)生的。第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三在統(tǒng)計學(xué)上，把小概率事件在一次試驗中看成是實際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實際不可能性原理是統(tǒng)計學(xué)上進行假設(shè)檢驗（顯著性檢驗）的基本依據(jù)。第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三三、概率分布隨機事件及其概率回答的是隨機現(xiàn)象某一局部結(jié)果出現(xiàn)的概率問題。要知道試驗的全部可能結(jié)果發(fā)生的概率，必須知道隨機試驗的概率分布。注意：概率分布是就隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的宏觀結(jié)果而言的。所謂宏觀結(jié)果，是指可以在宏觀層次加以識別的而與特定排列次序無關(guān)的樣本空間的子集。隨機現(xiàn)象的某個宏觀結(jié)果，如果是簡單事件，將只對應(yīng)于一個微觀結(jié)果（基本事件），如果是復(fù)合事件將對應(yīng)于多個微觀結(jié)果。因此哪個宏觀結(jié)果包含的基本事件越多，其概率就越大，概率分布實際上是要解決隨機現(xiàn)象有多少種宏觀結(jié)果，及每一種宏觀結(jié)果出現(xiàn)的概率為多大的問題。為了研究概率分布，我們先要引入隨機變量。第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三隨機變量的概念如果隨機試驗的每個結(jié)果（事件）都用數(shù)量來表示，一個可能的結(jié)果對應(yīng)一個數(shù)值，那么所有可能結(jié)果就可以用一個變量來描述。這種變量的取值是隨機的，試驗前不能事先確定取哪一個值，這種變量稱為隨機變量。例如，從一批產(chǎn)品中隨機抽取3件進行檢驗，出現(xiàn)次品的次數(shù)有可能是0、1、2、3件。在此項試驗中，“出現(xiàn)次品的件數(shù)”就是我們所關(guān)心的一個隨機變量，它有4中可能取值，分別對應(yīng)著試驗的4個事件。第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三隨機變量代表的是所有可能出現(xiàn)的數(shù)值。要把它與在一次具體觀察中得到的具體數(shù)值區(qū)別開來。為了便于區(qū)別，隨機變量通常同大寫字母如XYZ等來表示，而它們的具體取值則通常用相應(yīng)的小寫字母如xyz等來表示。如上述抽檢產(chǎn)品的試驗中，用X表示“出現(xiàn)次品的件數(shù)”，它的4個具體取值則分別記為x1=0,x2=1,x3=2,x4=3，隨機變量X取值為x的概率用P（X＝x）表示。第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（一）隨機變量及其分類1、隨機變量：隨機變量的基本思想是把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，即用一個變量X來描述試驗的結(jié)果。先看下面的例子：[例]

投擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面的情形。試驗有兩個可能結(jié)果：我們引入一個變量如下：—出現(xiàn)正面—出現(xiàn)反面這個變量可以看作是定義在樣本空間上的函數(shù)，稱其為隨機變量。實際上此變量是依試驗結(jié)果的不同而隨機地取值1或0。第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三[例]

擲一枚骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)。這個試驗結(jié)果本身就是一個數(shù)

當(dāng)時，，這里Ｘ是隨機變量，它是依試驗結(jié)果的不同而隨機地取值1，2，3，4，5，6。我們引入一個變量第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三每天從武漢站下火車的人數(shù)出現(xiàn)次品的件數(shù)到超市購物的人數(shù)產(chǎn)品是否合格等類似的例子：七月份恩施的最高溫度；第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三定義設(shè)隨機試驗為,其樣本空間為如果對于每個，都有一個實數(shù)和它對應(yīng)，于是就得到一個定義在上的實值單值函數(shù)，稱為隨機變量。第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2、隨機變量的分類通常分為兩類：隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉。全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間。第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三【例】對100個病人用某種藥物進行治療，其可能結(jié)果是“0人治愈”、“1人治愈”、“2人治愈”、“…”、“100人治愈”。若用x表示治愈人數(shù)，則x的取值為0、1、2、…、100?！纠繙y定嬰兒初生重，表示測定結(jié)果的變量x所取的值為一個特定范圍(a,b)，如1.5-6.5kg，x值可以是這個范圍內(nèi)的任何實數(shù)。第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三如果表示試驗結(jié)果的變量x，其可能取值至多為可列個，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機變量；如果表示試驗結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時，其概率是確定的，則稱x為連續(xù)型隨機變量。第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件。引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究。第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（二）離散型隨機變量的概率分布要了解離散型隨機變量x的統(tǒng)計規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。如果我們將離散型隨機變量x的一切可能取值xi

(i=1,2,…)，及其對應(yīng)的概率pi，記作P(X=xi)=pi

i=1,2,…第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三則稱上式為離散型隨機變量x的概率分布或分布。常用分布列來表示離散型隨機變量：（x為變量，p為概率）x1x2…xn….p1p2…pn….顯然離散型隨機變量的概率分布具有pi≥0和Σpi=1這兩個基本性質(zhì)。第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例題在5件產(chǎn)品中有2件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取3件。試求抽出產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品件數(shù)的概率分布。第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三求解解：“抽出產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品件數(shù)”是本例中所關(guān)心的隨機變量X，其可能取值只有0，1，2這三個。因此，可通過計算得到該隨機變量X的概率分布為：P（X=0）=?P（X=1）=?P（X=2）=?離散型隨機變量的概率分布可以用列表方式表現(xiàn)，稱為分布列。第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（三）連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布不能用分布列來表示，因為其可能取的值是不可數(shù)的。我們改用隨機變量x在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率P(a≤x<b)來表示。下面通過頻率分布密度曲線予以說明。

第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三如果樣本取得越來越大(n→+∞)，組分得越來越細(xì)(i→0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個穩(wěn)定值，即概率。(概率與頻率關(guān)系)即，當(dāng)n→+∞、i→0時，頻率分布折線的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù)。第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)性隨機變量的概率密度連續(xù)型隨機變量的取值無法一一列舉，因此其概率分布不能用分布列表示，而只能用數(shù)學(xué)函數(shù)和圖形來表示。用來表示連續(xù)型隨機變量概率分布的函數(shù)有概率密度函數(shù)（簡稱概率密度）和分布函數(shù)。概率密度函數(shù)f(x)的函數(shù)值并不是隨機變量取值的概率。實際上，連續(xù)型隨機變量的取值是無數(shù)多的（如產(chǎn)品的使用壽命，某地區(qū)糧食產(chǎn)量等），它取某個特定值的概率等于0，我們只能計算隨機變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率，而這一概率是由其概率密度曲線與x軸在這個區(qū)間內(nèi)圍成的面積大小來表示的。也就是說，已知概率密度函數(shù)f(x)，就可用定積分的方法來得到隨機變量X在一定區(qū)間（a,b）上的概率。第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

對于連續(xù)型隨機變量如果存在非負(fù)可積函數(shù)，對任意的都有

則稱為的概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度。

連續(xù)型隨機變量的概率密度具有如下性質(zhì)：第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)具備的性質(zhì)：這是因為概率具有非負(fù)性，概率密度也必然是非負(fù)函數(shù)。這表示整個概率密度曲線與x軸圍成的面積為1，即連續(xù)性隨機變量在所有區(qū)域上取值的概率總和為1。第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三概率分布密度曲線x取值于區(qū)間[a,b）的概率為曲邊梯形ABba的面積baBAxf(x)第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)型隨機變量概率分布的性質(zhì)：1．分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)≥0；2．當(dāng)隨機變量x取某一特定值時，其概率等于0；即

(c為任意實數(shù))因而，對于連續(xù)型隨機變量，僅研究其在某一個區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個值的概率。第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3．在一次試驗中隨機變量x之取值必在-∞＜x＜+∞范圍內(nèi)，為一必然事件。所以

上式表示分布密度曲線下、橫軸上的全部面積為1。

第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三為了對離散型的和連續(xù)型的隨機變量以及更廣泛類型的隨機變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進了分布函數(shù)的概念。（四）分布函數(shù)定義：設(shè)

是一個隨機變量，對任意的實數(shù)，隨機變量取值落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三稱為隨機變量的分布函數(shù).

因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述。顯然，對任意第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三分布函數(shù)：設(shè)X為隨機變量,x為任意實數(shù)，稱函數(shù)F(x)=P(X≤x)為X的累計分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。

離散型隨機變量的分布函數(shù)為

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為

隨機變量落在一定區(qū)間（a,b）上的概率可用分布函數(shù)表示為：P(a<X<b)=F(b)-F(a)第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三離散型分布函數(shù)的圖形一般是一個階梯型圖形，而連續(xù)型分布函數(shù)的圖形是一條遞增的連續(xù)曲線第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三分布函數(shù)的性質(zhì)：第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三隨機變量的數(shù)字特征知道了隨機變量的概率分布，就掌握了它取值的概率規(guī)律。依據(jù)這種規(guī)律，就可以推斷各種情況出現(xiàn)的概率。但是有些隨機變量的概率分布是很難確定的，而且在實際應(yīng)用中，有時人們并不需要掌握隨機變量概率分布的全貌，而只關(guān)心它的某些主要分布特征。例如，超市每天的營業(yè)額時多時少，要確切清楚其概率分布并非易事，但只要了解某段時間內(nèi)平均營業(yè)額等特征，就能夠?qū)@段時