人教版八年級(jí)下冊(cè)四邊形解題技巧

人教版八年級(jí)下冊(cè)四邊形解題技巧PAGEPAGE4四邊形解題技巧一、平行四邊形應(yīng)用舉例平行四邊形具有對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分等性質(zhì)，它們?cè)谟?jì)算、證明中都有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉例說(shuō)明．1．求角的度數(shù)例1如圖，ABCD中．AD=2AB，點(diǎn)E、A、B、F在一條直線上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC的度數(shù)．例2如圖，若ABCD與EBCF關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，∠ABE=90°，則∠F=______．2．求線段的長(zhǎng)例3如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A=120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的長(zhǎng)．m的取值范圍是()A．10<m<12B．2<m<22C．l<m<llD．5<m<65．綜合計(jì)算題例7如圖,ABCD的周長(zhǎng)為，BC的長(zhǎng)為，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足為DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F，AE=3．求：(1)∠D的度數(shù)；(2)AF的長(zhǎng)．6．探索題例8如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交邊AB于點(diǎn)F，∠ADC的平分線DG交邊AB于點(diǎn)G，且DG與CF交于點(diǎn)E．請(qǐng)你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說(shuō)明理由．二、添作中位線，妙證幾何題三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半．這是三角形的一條很重要的性質(zhì)，它包含了位置與數(shù)量?jī)煞N關(guān)系．在題中，若有線段的中點(diǎn)，可過(guò)中點(diǎn)作第三邊的平行線或取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線，運(yùn)用中位線定理，實(shí)現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)移，從而迅速找到解題突破口，往往會(huì)使得某些看似無(wú)法解決的幾何題化難為易，迎刃而解．例9如圖，在△ABC中，AB<AC，點(diǎn)D在AC上，且有CD=AB，E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，求證：AE=AG．例10如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N．求證：∠OMN=∠ONM.例11如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，求證：.例12如圖，△ABC的中線AD、BE相交于點(diǎn)G，求證：.三、巧算與矩形有關(guān)的面積題解答這類問(wèn)題可考慮用未知數(shù)表示某些線段，構(gòu)造方程來(lái)求解．例13如圖，矩形ABCD的面積為S，E是AB的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)，則△EFG的面積為_(kāi)_____．例14如圖，矩形ABCD中，E是BC上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，且，則等于()A.2B.3C.4D.5四、折疊問(wèn)題近幾年一些省市的中考題中出現(xiàn)了很多有關(guān)矩形紙片折疊的問(wèn)題．由于這類問(wèn)題的實(shí)踐性強(qiáng)，需要同學(xué)們通過(guò)動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法．其規(guī)律為利用折疊前后線段、角的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來(lái)求解．以下面例題加以說(shuō)明．例15矩形紙片ABCD中．AD=4cm，AB=10cm，按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE=______cm．例16將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CED'=60°，則∠AED的大小是()A．60°B．50°C．75°D．55°例17如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對(duì)角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？五、路在何方我們知道如果直線m∥n，A、B為直線n上的兩點(diǎn)，C、P為直線m上的兩點(diǎn)(如圖)，容易根據(jù)平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個(gè)三角形面積相等的知識(shí)，得到兩對(duì)面積相等的三角形，即△ABC和△ABP面積相等；△CPA和△CPB面積相等，還有一對(duì)面積相等的三角形，你知道嗎？我們進(jìn)一步看：如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在m上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)P移動(dòng)到任何位置，總有△ABP與△ABC的面積相等，理由：因?yàn)槠叫芯€間的距離相等，所以無(wú)論點(diǎn)P在m上怎么移動(dòng)，總有△ABP與△ABC的同底等高，因此，它們的面積總相等．例18如左圖，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒地，現(xiàn)已變成如右圖所示形狀，但承包土地與開(kāi)始荒地的分界小路(圖中折線CDE)還保留著，為了便于通行，張大爺想過(guò)E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，請(qǐng)你用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）．(1)寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形；(2)說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由．六、聚焦閱讀理解題閱讀綜合理解題主要考查同學(xué)們對(duì)“新事物”“新知識(shí)”的接受和理解能力，也考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決“新事物”“新知識(shí)”的能力．解決這類綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)理解題目，從而做到正確解題。例19閱讀以下短文，然后解決下列問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖⑴所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”．顯然，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)．(1)依照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；(2)如圖⑵，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖⑵中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；(3)如圖⑶，若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖⑶中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以說(shuō)明．圖⑴圖⑵圖⑶七、“FacetoFace”中點(diǎn)四邊形順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．這個(gè)中點(diǎn)四邊形有許多重要性質(zhì)，在中考試題中也屢見(jiàn)不鮮，中點(diǎn)四邊形的四個(gè)結(jié)論如下：1．任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．2．對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形．3．對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，AC⊥BD.求證：四邊形EFGH是矩形．4．對(duì)角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形因?yàn)樗倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線垂直，所以這個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，又因?yàn)檫@個(gè)四邊形的．兩條對(duì)角線相等，所以這個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形．既是矩形又是菱形的圖形就是正方形．中點(diǎn)四邊形的這四個(gè)結(jié)論應(yīng)結(jié)合以下特例靈活掌握：菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形，矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，正方形的中點(diǎn)四邊形為正方形．例20順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)四邊形，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點(diǎn)得到的圖形是()A.等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形例21如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，AC、BD相交于0點(diǎn)，且∠BOC=60°，順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長(zhǎng)是()A．24B.20C．16D.12八、“智力魔方”——一七巧板七巧板是由正方形按如圖所示的方法制作成的（沿實(shí)線剪開(kāi)），其中有五塊都是等腰直角三角形，一塊正方形，一塊平行四邊形，七巧板是一種數(shù)學(xué)玩具，有很強(qiáng)的益智性與趣味性，深受人們的喜愛(ài)．在近幾年的中考試題中，就出現(xiàn)了一些與七巧板有關(guān)的拼圖和計(jì)算題，值得關(guān)注．例22七巧板是我們祖先創(chuàng)造的一種智力玩具，它來(lái)源于勾股法．如圖(1)，整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小塊（其中：五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形）組成．如圖(2)，是由七巧板拼成的一個(gè)梯形，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，則梯形MNGH的周長(zhǎng)是______cm．（結(jié)果保留根號(hào)）例23用邊長(zhǎng)為1的正方形紙板制成一副七巧板(如圖(1))，將它拼成“小天鵝”圖案(如圖(2))，其中陰影部分的面積為()A．B．C．D．九、四邊形“聯(lián)姻”直角坐標(biāo)系中考中常把四邊形與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來(lái)考查，這類題目有利于同學(xué)們把“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)思考，提高同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．例24一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．如圖，將紙片沿CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．例25如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是(O，O)、(5，O)和(2，3)．求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)E的坐標(biāo)．例26已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，∠BAD是銳角，把它放在平面直角坐標(biāo)系之中，并且使AD邊在y軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)D的下方，這時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，10)．(1)求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)畫出符合題意的圖形．例27一個(gè)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)O和A的坐標(biāo)分別是(O，0)和(4，O)，請(qǐng)寫出另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．十、“天塹”變“通途”梯形是不同于平行四邊形的一類特殊四邊形，解決梯形問(wèn)題的基本思路是通過(guò)添加輔助線，對(duì)梯形進(jìn)行割補(bǔ)、拼接，使“天塹”變“通途”，從而轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問(wèn)題，使看似不可能的問(wèn)題得到解決，一般而言，梯形中常用的輔助線主要有以下幾種．1．平移一腰過(guò)梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)，將分散的條件集中到三角形中去，使問(wèn)題順利得解.例28如圖，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范圍．規(guī)律總結(jié)：通過(guò)作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到一個(gè)三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要條件，這種方法很重要，需切實(shí)掌握．2．延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)將梯形的兩腰延長(zhǎng)，使之交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為大、小兩個(gè)三角形，從而利用特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)解決梯形問(wèn)題．例29如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，試說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形．規(guī)律總結(jié)：延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，可把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決．3．平移一條對(duì)角線從梯形一底的一個(gè)頂點(diǎn)向梯形外作對(duì)角線的平行線，與另一底的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)成平行四邊形和特殊三角形（直角三角形、