第四章根軌跡法

第四章 根軌跡法一、根軌跡的定義開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)某一參數(shù)從變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面（根平面）上的變化曲線稱為根軌跡。二、繪制根軌跡的基本條件根軌跡方程為 （4-1）或?qū)懗? （4-2）上式中：； 繪制根軌跡的兩個(gè)基本條件幅角條件 （4-3）幅值條件或?qū)懗? （4-4）三、繪制根軌跡的基本規(guī)則常規(guī)根軌跡（又稱根軌跡）的繪制根軌跡的分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)，每一條根軌跡分支起始于一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。其中條根軌跡終止于個(gè)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)，其余條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)限零點(diǎn)處）。根軌跡與實(shí)軸對(duì)稱實(shí)軸上根軌跡右邊的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)和實(shí)數(shù)極點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)。根軌跡的漸近線：當(dāng)條根軌跡的終點(diǎn)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處（趨向漸近線）。漸近線的傾角為 （4-5）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 （4-6）根軌跡的分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)），可通過(guò)解方程的根的方法求出。或可用下式求出。 （4-7）式中：為分離點(diǎn)坐標(biāo)說(shuō)明：由上式計(jì)算出的分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)），應(yīng)檢驗(yàn)并舍去不在根軌跡上的點(diǎn)。根軌跡復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角和復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角可分別由下述兩式計(jì)算確定:出射角 （4-8）入射角 （4-9）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可用勞斯判據(jù)或令特征方程中的來(lái)求得。根軌跡上任一點(diǎn)的值可由下式求得 （4-10）式中：； 。參數(shù)根軌跡（又稱廣義根軌跡）的繪制系統(tǒng)中除了根軌跡增益以外，其它參數(shù)變化時(shí)（例如時(shí)間常數(shù)）對(duì)應(yīng)的軌跡。繪制參數(shù)根軌跡要利用等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的概念。1）等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的求取將系統(tǒng)的特征方程 中含與不含可變參數(shù)的各項(xiàng)分開(kāi)。 （4-11）即，將特征方程（4-11）式改寫成 再將上式兩項(xiàng)除以，即改寫成 （4-12）由上式即可得等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) （4-13）再根據(jù)繪制根軌跡的基本規(guī)則，可畫(huà)出以為參變量的廣義根軌跡。2）要注意：等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的“等效”，是指與原系統(tǒng)有相同的閉環(huán)極點(diǎn)。等效傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不一定是原系統(tǒng)的零點(diǎn)。當(dāng)確定系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)時(shí)，必須由原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定。2．補(bǔ)根軌跡圖（又稱根軌跡）的繪制。補(bǔ)根軌跡圖是指開(kāi)環(huán)增益時(shí)的根軌跡圖。即滿足方程 （4-14）上式實(shí)際上是對(duì)應(yīng)正反饋系統(tǒng)的特征方程，故根軌跡又常指正反饋系統(tǒng)的根軌跡。繪制根軌跡時(shí)，只需將常規(guī)根軌跡法規(guī)則中與相角條件有關(guān)的規(guī)則加以修改即可。即常規(guī)的規(guī)則中將有三處需要加以修改：實(shí)軸上的根軌跡是指實(shí)軸上的某線段右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)時(shí)，該線段為實(shí)軸上的根軌跡。根軌跡