高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)立體幾何中的向量方法一證明平行與垂直理蘇教版

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)立體幾何中的向量方法一證明平行與垂直理蘇教版第1頁/共108頁基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分第2頁/共108頁1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一

向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為非零第3頁/共108頁2.用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?

.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?

.(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?

.(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?

.v1∥v2存在兩個實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1

∥u2第4頁/共108頁3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?

?

.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?

.(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?

?

.v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0第5頁/共108頁思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)平面的單位法向量是唯一確定的.(

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.(

)(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.(

)(5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行.(

)(6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行.(

)××√√××返回第6頁/共108頁題號答案解析1234

Enterl∥α或l

α①2∶3∶(－4)第7頁/共108頁解析第8頁/共108頁解析思維升華思維點(diǎn)撥題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.第9頁/共108頁證明線面平行，可以利用判定定理先證線線平行，也可利用平面的法向量.題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第10頁/共108頁題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.證明方法一如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0,0).解析思維升華思維點(diǎn)撥第11頁/共108頁題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第12頁/共108頁題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.方法二在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連結(jié)OF，同證法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y0,0).解析思維升華思維點(diǎn)撥第13頁/共108頁題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第14頁/共108頁題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第15頁/共108頁用向量證明線面平行的方法有(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.題型一證明平行問題例1

(2013·浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第16頁/共108頁跟蹤訓(xùn)練1(2014·湖北)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2).(1)當(dāng)λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.第17頁/共108頁方法一(1)證明如圖(1)，連結(jié)AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知BC1∥AD1.當(dāng)λ＝1時，P是DD1的中點(diǎn)，又F是AD的中點(diǎn)，所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.圖(1)第18頁/共108頁(2)解如圖(2)，連結(jié)BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四邊形PQBD是平行四邊形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，圖(2)第19頁/共108頁在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因?yàn)锽Q＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝

，所以四邊形EFPQ是等腰梯形.同理可證四邊形PQMN是等腰梯形.分別取EF，PQ，MN的中點(diǎn)為H，O，G，連結(jié)OH，OG，則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90°.第20頁/共108頁連結(jié)EM，F(xiàn)N，則由EF∥MN，且EF＝MN，知四邊形EFNM是平行四邊形.連結(jié)GH，因?yàn)镠，G分別是EF，MN的中點(diǎn)，所以GH＝ME＝2.由OG2＋OH2＝GH2，第21頁/共108頁方法二以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖(3)所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.圖(3)第22頁/共108頁由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0)，P(0,0，λ)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，第23頁/共108頁而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.第24頁/共108頁(2)解設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，于是可取n＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN的一個法向量為m＝(λ－2,2－λ，1).第25頁/共108頁若存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角，則m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，第26頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第27頁/共108頁證明線面垂直可以利用線面垂直的定義，即證線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直；也可以證線與面的法向量平行.題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第28頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.證明方法一設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，解析思維升華思維點(diǎn)撥第29頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第30頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.方法二如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.解析思維升華思維點(diǎn)撥第31頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，解析思維升華思維點(diǎn)撥第32頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第33頁/共108頁題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.故AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第34頁/共108頁用向量證明垂直的方法：(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第35頁/共108頁(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?題型二證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.解析思維升華思維點(diǎn)撥第36頁/共108頁跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角.(1)求證：CM∥平面PAD；第37頁/共108頁證明以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.第38頁/共108頁令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，第39頁/共108頁∴CM∥平面PAD.第40頁/共108頁(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.第41頁/共108頁題型三解決探索性問題例3如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；思維點(diǎn)撥解析第42頁/共108頁題型三解決探索性問題例3如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；思維點(diǎn)撥解析第43頁/共108頁題型三解決探索性問題例3如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；解設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，則BD⊥AC，連結(jié)A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O⊥AO.思維點(diǎn)撥解析第44頁/共108頁思維點(diǎn)撥解析題型三解決探索性問題例3如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第45頁/共108頁思維點(diǎn)撥解析題型三解決探索性問題例3如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；第46頁/共108頁思維點(diǎn)撥解析例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；第47頁/共108頁例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；思維點(diǎn)撥解析第48頁/共108頁例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；解由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的一個法向量為n1＝(1,0,0).設(shè)n2＝(x，y，z)為平面DAA1D1的一個法向量，思維點(diǎn)撥解析第49頁/共108頁思維點(diǎn)撥解析例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；取n2＝(1，

，－1)，則〈n1，n2〉即為二面角D－A1A－C的平面角，第50頁/共108頁思維點(diǎn)撥解析例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；所以，二面角D－A1A－C的余弦值為.第51頁/共108頁思維點(diǎn)撥解析思維升華例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.第52頁/共108頁例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.思維點(diǎn)撥解析思維升華第53頁/共108頁例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.思維點(diǎn)撥解析思維升華第54頁/共108頁解假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.思維點(diǎn)撥解析思維升華第55頁/共108頁例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.設(shè)n3⊥平面DA1C1，思維點(diǎn)撥解析思維升華第56頁/共108頁例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.取n3＝(1,0，－1)，因?yàn)锽P∥平面DA1C1，思維點(diǎn)撥解析思維升華第57頁/共108頁例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.即點(diǎn)P在C1C的延長線上，且C1C＝CP.思維點(diǎn)撥解析思維升華第58頁/共108頁例3

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證.另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.思維點(diǎn)撥解析思維升華第59頁/共108頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：AC⊥SD.證明連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.第60頁/共108頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：AC⊥SD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所在直線分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.第61頁/共108頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：AC⊥SD.第62頁/共108頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：AC⊥SD.故OC⊥SD.從而AC⊥SD.第63頁/共108頁(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.解棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE∥平面PAC.理由如下：第64頁/共108頁(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.第65頁/共108頁(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC.第66頁/共108頁思想與方法系列14利用向量法解決立體幾何問題典例：(14分)(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB∥平面AEC；溫馨提醒規(guī)范解答第67頁/共108頁證明連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB.因?yàn)镋O?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.2分

4分

溫馨提醒規(guī)范解答第68頁/共108頁(1)利用向量法證明立體幾何問題，可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量；(2)建立空間直角坐標(biāo)系時，要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線；(3)利用向量除了可以證明線線平行、垂直，線面、面面平行、垂直外，還可以利用向量求夾角、距離，從而解決線段長度問題、體積問題等.溫馨提醒規(guī)范解答第69頁/共108頁溫馨提醒規(guī)范解答(2)設(shè)二面角D－AE－C為60°，AP＝1，AD＝

，求三棱錐E－ACD的體積.第70頁/共108頁解因?yàn)镻A⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.6分

溫馨提醒規(guī)范解答第71頁/共108頁設(shè)B(m,0,0)(m>0)，7分

設(shè)n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，溫馨提醒規(guī)范解答第72頁/共108頁又n2＝(1,0,0)為平面DAE的一個法向量，9分

11分

溫馨提醒規(guī)范解答第73頁/共108頁14分

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，三棱錐E－ACD的體積溫馨提醒規(guī)范解答第74頁/共108頁(1)利用向量法證明立體幾何問題，可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量；(2)建立空間直角坐標(biāo)系時，要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線；(3)利用向量除了可以證明線線平行、垂直，線面、面面平行、垂直外，還可以利用向量求夾角、距離，從而解決線段長度問題、體積問題等.返回溫馨提醒規(guī)范解答第75頁/共108頁方法與技巧1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.2.兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷.(2)建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題.第76頁/共108頁失誤與防范用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.返回第77頁/共108頁234567891011.設(shè)平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，h，k)，若α∥β，則h＋k的值為________.∴h＝－4，k＝4，∴h＋k＝0.0第78頁/共108頁23456789101∴AB與平面CDE平行或在平面CDE內(nèi).平行或在平面內(nèi)第79頁/共108頁234567891013.已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________.所以x＝5，y＝13，z＝－3，即D(5,13，－3).(5,13，－3)第80頁/共108頁234567891014.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝________.解析由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，第81頁/共108頁234567891015.如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝

，AD＝2，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn).則AM與PM所成的角為________.解析以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，第82頁/共108頁23456789101答案90°第83頁/共108頁345678910126.已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是________.解析設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.平行第84頁/共108頁345678910127.設(shè)點(diǎn)C(2a＋1，a＋1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)確定的平面上，則a＝________.則(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，第85頁/共108頁34567891012答案16第86頁/共108頁345678910128.設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量，若α⊥β，則t＝________.解析∵α⊥β，∴u⊥v，∴u·v＝0，∴－12－8＋4t＝0，t＝5.5第87頁/共108頁345678910129.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA、DP、DC分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.第88頁/共108頁34567891012又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.第89頁/共108頁10.如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB；34567891012證明以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第90頁/共108頁34567891012則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，第91頁/共108頁34567891012又AB?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.第92頁/共108頁34567891012(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.第93頁/共108頁1.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為________.解析設(shè)