第四篇多元函數(shù)微分學

第四篇多元函數(shù)微分學第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三多元函數(shù)微分法

在前面各章的學習中，我們討論的函數(shù)都只限于一個自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù)．在更多的問題中所遇到的是多個自變量的函數(shù)．一.多元函數(shù)的概念第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例如：矩形的面積s=xy，描述了面積s與長x、寬y這兩個量之間的函數(shù)關系。又如，燒熱的鐵塊中每一點的溫度T與該點的位置之間有著密切的函數(shù)關系，即當鐵塊中點的位置用坐標(x,y,x)表示時，溫度T由x、y、z這三個變量確定，如果進一步考慮到冷卻過程，那么T還和時間t有關，即T由x、y、x、t四個變量所決定。以上例子中兩個、三個、四個變量，分別稱為二元、三元、四元函數(shù)，一般稱為多元函數(shù)。第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三ff定義1：的非空子集D到R的映射f，稱為D上的一個點函數(shù)或n元函數(shù)。D稱為這個函數(shù)的定義域。由以上定義，任意pD，p為()yR,記為y=f(p)，稱為函數(shù)f的第i個變量。Y稱為f的因變量或y的自變量的函數(shù)。又有：多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它仍然保留了一元函數(shù)的許多性質。一元函數(shù)y=f(x)定義D：Rx：D中的一個點p的坐標將P擴大到平面或幾何空間或n維抽象n維空間的點，所以稱n元有序實數(shù)組()是n維空間的一個點。由此可有第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三定義2：如果獨立變量在它們的變化范圍內任取一組值時，變量y按照一定的法則，總有一個實數(shù)與之對應，則y叫做的n元函數(shù)，記為y=f().叫做自變量，y叫做因變量，自變量的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。當n=1時，y=f(p)即為一元函數(shù)。n2時，n元函數(shù)稱為多元函數(shù)。若強調一組對應唯一的函數(shù)值時，函數(shù)稱為單值函數(shù)。否則稱為多元函數(shù)，今后一般的多元函數(shù)均為單值函數(shù)。

第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二：二元函數(shù)的幾何表示二元函數(shù)z=f(x,y)，定義域D為XOY面上的某一區(qū)域D。對P(x,y)D,空間中有點M(x,y,z)與P(x,y)中的(x,y)對應，其中z=f(x,y)。這樣，p在D中變動時，M也在空間中變動。M形成軌跡就是z=f(x,y)的圖像，一般來說，它是一曲面。例如：z=為半球面。第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三三：點函數(shù)的極限將一元函數(shù)微分法推廣到多元函數(shù)，首先要將一元函數(shù)的極限推廣到多元函數(shù)。一元函數(shù)的極限：y=f(x),f(x)=A,即對>0,>0,當0<|x-|<時，|f(x)-A|<成立。稱f(x)=A或對>0,的一個去心鄰域N(,)當xN(,)時，f(x)N(A,)。因此有，定義3：設函數(shù)f(p)在點集D上有定義，為D的聚點，A是一個定常數(shù)，如果>0,>0，當pN(,)時，恒有

|f(p)-A|<成立則稱A是點函數(shù)f(p)當p時的極限，記為f(p)=A或記為f(p)A(p)多元函數(shù)的極限經常遇到的形式為n=2的情形。n=2，p=(x,y).f(p)記為z=f(x,y),(,)N(,)={(x,y)|0<<}，記p＝極限記為f(x,y)=A或f(x,y)A(p)第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)的極限也稱為二重極限。多元函數(shù)的極限經常遇到的形式為n=2的情形。n=2，p=(x,y).f(p)記為z=f(x,y),(,)N(,)={(x,y)|0<<}，記p＝極限記為f(x,y)=A或f(x,y)A(p)第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三§例題分析：1.求證:證明：對,要證因為只須令即可對當時，有

第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三對于二重極限，務必注意：二重極限存在，是指以任何方式趨近于時，函數(shù)都無限接近于,故若是以某一特定方式趨近于；即使無限接近于A,也不能斷定的極限存在。反過來，若當以不同方式趨近于時，的極限不同，則可斷定的極限不存在。同理，當取某一特定路徑時，的極限不存在，則可確定的極限不存在。這與一元函數(shù)的極限存在一定是左右極限存在且相等的道理相同。第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例2：證明：，當時極限不存在。證明：取時的路徑。極限不存在。得證。例3：以知第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三求解：沿沿極限不存在。四。多元函數(shù)的連續(xù)性：1。一元函數(shù)的連續(xù)性：在點連續(xù)

多元函數(shù)的連續(xù)性：在點連續(xù)第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)在連續(xù):若在D上每一點均連續(xù)，稱在D內連續(xù).2。間斷點：在不連續(xù)，稱為的間斷點。以下情形的為間斷點：1）在處極限不存在2）在處無定義3）第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三3。連續(xù)函數(shù)的性質。定理1（最值定理）：在有界閉區(qū)域D上有定義，且在D上連續(xù)，則,使得,稱為在D上的最小值和最大值.定理2（介值定理）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且m,M分別為在D上的最小值，最大值。若數(shù)u滿足，則使得4.運算：多元連續(xù)函數(shù)的和，差，積均連續(xù)。分母不為零時，連續(xù)函數(shù)的商是連續(xù)的，多元連續(xù)函數(shù)的復合第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)也是連續(xù)的。多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域上連續(xù)。五：本節(jié)例題1.已知，若當y=1，z=x時，求及z.解：y=1，z=x有{又第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三2.求極限.1)2)3)解:1)2)3)第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三§2.全微分與偏導數(shù)一。偏導數(shù)回憶y=f(x)在x0的導數(shù)：f‘(x0)=對于多元函數(shù)來說，由于有n個變量，其偏導數(shù)即是對于某一個自變量的導數(shù)，其它的自變量看成是不變的量的導數(shù)，故有定義1：設z=f(x,y)在P0的某一領域上有定義，當自變量x取增量，，y不變，z取得偏增量第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三若當時，極限

存在，此極限值稱為z=f(x,y)在

P0處對x的偏導數(shù),記為f’x(x0,y0)

第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三若z=f(x,y)在D上任意一點P(x,y)

均對x存在偏導，則在P上形成

對x的偏導函數(shù)，即

第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三從定義看，求z=f(x,y)對x的偏導數(shù)的偏微分法，實際上與一元函數(shù)的微分法是一致的。同理，可以得到其他的多元函數(shù)的偏導數(shù)，u=f(x1,x2,…xn)給x1以增量第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例1。F(x,y)=x3+2x2y-y3在點（1，3）關于x與y的偏導。解：第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例2。第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例3。u=ln(1+x+y2+z3).求（ux’+uy’+uz’)l(1,1,1)第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形是一曲面，將y固定為b，則

f(x,b)就是z=f(x,y)與平面y=b的交線，故

為交線在（a,b)處對x軸的斜率二。全微分1。全微分的概念：一元函數(shù)y=f(x),給x以增量第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三類似的多元函數(shù)也有(以二元函數(shù)為例)(1).全增量,z=f(x,y)在點P(x,y)的某領域上有定義.對自變量x給增量增量,y給則稱為z=f(x,y)在點P(x,y)對(2)定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的全增量可表示為其中A,B與△x,△y無關△z=A△x+B△y+o(p)第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三dz,或df(x,y),即dz=同理可定義其他多元函數(shù)的全微分.第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例:考察f(x,y)=xy在點(處的可微性第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三處可微時，在處一定連續(xù)。故有以下結論：

f(x,y)在點（x,y）可微，則一定在(x,y)連續(xù)。

若f(x,y)在D沒一點處均可微，則說在D上可微。

2。可微的條件：（以二元函數(shù)z=f(x,y)為例）

由y=f(x)可微大家知道，，即

那么z=f(x,y)的微分中的A=?,B=?

定理1：(可微的必要條件)若z=f(x,y)在p(x,y)處可微，那么，z=f(x,y)在點（x,y）處的偏導數(shù)一定存在，且

證明：z在p(x,y)處可微第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三故①

當①中，

所以

所以

類似多元函數(shù)可微，則

由以上定理知，可微則偏導數(shù)存在，若偏導數(shù)存在，是否一定可微呢？答案是否定的。

第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三舉例：在原點（0，0）

顯然

同理

若f(x,y)在（0，0）可微，則

應是的高階無窮子。

而不存在

所以，雖然f(x,y)在（0，0）處的偏導數(shù)存在，但f(x,y)在（0，0）處不可微。故有:第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三定理2：(可微的充分條件)z=f(x,y)的偏導

在點p(x,y)的某一領域內存在，且在點p處連續(xù)，則z=f(x,y)在p(x,y)處可微

證明：

應用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理有：

又由在p(x,y)連續(xù)，所以有

同理：

第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三而

所以z=f(x,y)在p(x,y)可微。

經常地，記

的微分同樣可記為：

第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例題分析：

1。

解：

2。

解：

3

解：

第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三ξ3.復合函數(shù)微分法

一。連鎖法則：

定理1：設函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)在點(x,y)的偏導數(shù)存在，函數(shù)z=f(u,v)在相應于（x,y）的點(u,v)可微，則有：

證明：

第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三f(u,v)在（u,v）可微，故

均存在，故上式當時的極限為

第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例1：z=,x=rcos,y=rsin.求，.解：=

=2xcos+2ysin=2rcos+2rsin=2r.

=

=2x(-rsin)+2yrcos=-2rcossin+2rsincos=0.第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三以上規(guī)則稱為連鎖規(guī)則。如下圖所示：對于復合函數(shù)的微分法，注意以下幾點：1.z=f(u.v),u=u(x).v=v(x).則：，這時z實際上是x的一元函數(shù)。

2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y).則：3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y).則：（令w=x）第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三=.這里的

是z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y),x)中將y看成是常量，對x的偏導。而是z=f(u,v,x)中將u,v看成常量對x的偏導。這二者意義不一樣。所以：4.實際上,也可以將u=u(x,y),v=v(x,y)代入到z=f(u,v)中，變成z是x,y的函數(shù)，再對求偏導，效果應是一致的，只是用連鎖規(guī)則會更簡潔一些．例題解析：１．Z=arcsin,y=x.求，，．

解：＝第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三＝＝

＝＋２x=2.z=uv+sinx,u=e，v=cosxy.求．解：＝＋cosx

=v+u[-sin(xy)]y+cosy

第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三=cosxy+e(-ysinxy)+cosx3.y=x.求．解：令y=u,u=x,v=x,則：＝

＝vu１＋ulnu

1

=xx+xlnx=x(1+lnx)4.z=,f為可微函數(shù),驗證:解:令v=x–y,z==F(y.v)第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三所以==2x,=

=故+=2-+=而=上式.得證.二.一階微分形式不變性:在一元函數(shù)中,y=f(x),dy=f’(x)dx,y=f(u),u是自變量時,dy=f’(u)du.u是中間變量時,u=u(x),dy=f’(u)du

第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三即不論u是中間變量還是自變量,dy=f’(u)du,這就是一元函數(shù)二階微分形式具有不變性.對于多元函數(shù)(以二元函數(shù)為例).z=f(u,v).u,v為自變量時,dz=du+dv而當z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)時,因dz=dx+dy

=()dx+()dy=[dx+dy]+[dx+dy]=du+dv.所以不論u,v是自變量,還是中間變量,z=f(u,v),均有dz=du+dv多元函數(shù)一階全微分形式只有不變性.第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三

§4隱函數(shù)微分法一.一元函數(shù)隱函數(shù)微分法設y=f(x)是由方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù),求=f’(x).對F(x,y)=0兩邊對x求導,將y看成是中間變量,=0.例:e-xy=0,確定y是x的函數(shù).求.解:e-y-x=0=.二.由方程確定的隱函數(shù)Th1.(隱函數(shù)存在定理)設(n+1)元函數(shù)F(x,x,……,x,u)在點p()的某一鄰域上具有偏導數(shù),且F()=0,F’()0,則在P的某個鄰域上,由方程F(x,x,……,x,u)=0確定的唯一單值連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)偏導的n元函數(shù).u=f(x,x,……,x),它滿足條件:

第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三u=f()

F[,f()]=0而且有:=-事實上:將F(x,x,……,x,u)看成是復合函數(shù),則兩邊對x求偏導:+=0=-=這就是隱函數(shù)的求導公式.例1:設,決定z=z(x,y),求,.解:=,F(x,y,z)=,=2x,=2z-4.故=-=.第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例2:2sin(x+2y-3z-u)-4x+siny=0決定u=u(x,y,z).求.解:令F(x,y,z,u)=2sin(x+2y-3z-u)-4x+siny所以==4cos(x+2y-3z-u)+cosy

=2cos(x+2y-3z-u)2u所以=-

例3:siny+e–xy=0,決定y=f(x).求.解:=-=e–y,=cosy-2xy所以=第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三同時對上述各題,也可直接對方程兩邊求偏導,但必須注意到其中一個變量是中間變量.例如:=ln,決定z=z(x,y),求.解:兩邊對求x偏導.有:=故=三.由方程組確定的隱函數(shù)一般情況下:當只有量x,y獨立變化時,這方程組就可以確定兩個二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y).定理2:(隱函數(shù)存在定理)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v),在p(x,y,u,v)的某一鄰域上是有連續(xù)的偏導

第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三并且F(p)=0,G(p)=0,若由偏導組成的方程雅可比行列式J==,當J時,則在p的N(p,)上唯一確定單值連續(xù)且只有連續(xù)的偏導的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),且u=u(x,y),v=v(x,y)=-=-=-=-第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三

2.確定了解:兩邊對x求導四;反函數(shù)微分法則:若在區(qū)間I上嚴格單調,可導且則的反函數(shù)也可導,且對于二元函數(shù)來說有定理３：（反函數(shù)微分法）設

第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三在點(u,v)的某一鄰域上連續(xù)且有連續(xù)偏導，又則由決定唯一一組連續(xù)單值函數(shù)函數(shù)u,v連續(xù)，且偏導也連續(xù)，且推導如下：上式兩邊對x求偏導第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三例：由確定的反函數(shù)

求

解：方程組兩邊對x求偏導，解：第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三由對x求偏導第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三５．高階偏導數(shù)在一元函數(shù)中：是x的函數(shù)，在可導的情況下，f對x的二階導數(shù)．n階導數(shù)．對于二元函數(shù)來說，仍是x,y的二元函數(shù)．因而考慮二階偏導數(shù)，乃至高階的偏導數(shù)（在可導的情況下）．第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三若仍可導，