等比數(shù)列求和公式及性質(zhì)

等比數(shù)列求和公式及性質(zhì)第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等差數(shù)列等比數(shù)列定義

通項(xiàng)公式等差（等比）中項(xiàng)下標(biāo)和公式SnSn=？an－an-1=d(n≥2)(n≥2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1·qn-1(q≠0)an=am·qn-mA=G=若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apaq復(fù)習(xí)第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三問題提出小林和小明做“貸款”游戲，規(guī)定：在一月（30天）中小明第一天貸給小林1萬元，第二天貸給小林2萬元……以后每天比前一天多貸1萬元.而小林按這樣方式還貸：第一天支付1分錢，第二天還2分錢，第三天還4分錢……以后每天還的錢是前一天的2倍，試計(jì)算30天后兩人各得的錢數(shù).設(shè)小林30天得到的錢數(shù)T30設(shè)小明30天得到的錢數(shù)S30第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三引入新課同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？≈1073.741萬元這種求和的方法,就是錯(cuò)位相減法!第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三推導(dǎo)公式等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式已知：等比數(shù)列{an}，a1，q，n求：Sn解：Sn=a1+a2

+a3

+a4

+…+an

qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23…a1qn-1=a1+a1q++++作減法若：q≠1若q=1,Sn={na1(1-q)1-q(q=1)(q=1)n·a1∴第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q=1時(shí)Sn=na1因?yàn)樗?第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q(二）公式推導(dǎo)7第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三于是等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式通項(xiàng)公式:an=a1?qn-1第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和例題解:

例5（1）

求等比數(shù)列的前10項(xiàng)的和.第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三（2）已知等比數(shù)列{an}中，a1=2,q=3,求S3例6五洲電扇廠去年實(shí)現(xiàn)利稅300萬元，計(jì)劃在5年中每年比上年利稅增長10%，問從今年起第5年的利稅是多少？這5年的總利稅是多少？（結(jié)果精確到萬元）第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和例題第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)11.根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列的第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)2-32.求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和:3.求等比數(shù)列從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)的和.從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)的和:第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)：P30.A組8（寫在課本）9.10（寫在作業(yè)本）第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三2、求數(shù)列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n項(xiàng)和。1、等比數(shù)列1，2，4，8，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為或3、求和：15第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第一章《數(shù)列》等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式第二課時(shí)第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等比數(shù)列復(fù)習(xí)第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三（2）（1）（3）若數(shù)列是等比數(shù)列，則

也是等比數(shù)列（4）等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三等比數(shù)列判定方法：（1）定義法：（2）遞推公式法：（3）看通項(xiàng)法：（4）看前n項(xiàng)和法：第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度,都是它在前一分鐘上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125m嗎？解用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得

an+1=4/5an因此，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=25,公比q=4/5的等比數(shù)列熱氣球在n分時(shí)間里上升的總高度第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例做邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)做內(nèi)接正三角形，然后再做新三角形的內(nèi)切圓.如此下去求前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和.第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三解設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為rn從第二個(gè)三角形開始，每一個(gè)正三角形的邊長是前一個(gè)正三角形邊長的1/2，每一個(gè)正三角形內(nèi)切圓的半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的1/2，故第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積之和為Sn，則：第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)3：一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是，公比是，那么答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別為與8消元第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)、求和分析：公比是字母，分q=1和q≠1兩種情況討論解：（1）該數(shù)列為等比數(shù)列，記為{an}，其中a1=a,q=a當(dāng)q=1時(shí),Sn=na當(dāng)q≠1時(shí),Sn=第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三（1）如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10，前10項(xiàng)的和等于50，那么它前15項(xiàng)的和等于多少？練習(xí):第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三思考：求和：.為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.）設(shè)，其中為等差數(shù)列，（提示：第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三你能登上月球嗎?能?!

只要你把你手上的紙對折38次我就能沿著它登上月球。哇…M=1+2+4+8+…+2

（頁）37列式：第28頁，共29