等差數(shù)列前項求和公式

等差數(shù)列前項求和公式第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三教學(xué)目標(biāo)

探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，學(xué)會用公式解決一些實際問題.第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三重點、難點

等差數(shù)列前n項公式推導(dǎo)思路的獲得，及對公式的熟練應(yīng)用。第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三導(dǎo)入1+2+3+……+100=？（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三用下面方法計算1,2,3……n的前n項和倒序相加法第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三公式的推導(dǎo)所以即sn=a1+(a1+d)+……+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]sn=an+(an-d)+……+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三公式把代入上式可得公式一：公式二：第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)：根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn。⑴a1=－4，a8=－18，n=8

sn=－88⑵a1=14.5，d=0.7，an=32sn=604.5第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三典型例題例1：2、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的通知》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元，所以可以建立一個等差數(shù)列{an}，表示從2001年起各年投入的資金，其中

a1=500，d=50．

那么，到2010年(n=10)，投入的資金總額為s10=10×500+10×(10－1)×50/2=7250（萬元）答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程的總投入是7250萬元。

審題—抽象出數(shù)學(xué)模型—解答第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2：已知一個等差數(shù)列｛an｝前10項的和是310，前二十項的和是1220。由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三解：由題意知:s10=310，s20=1220將它們代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2，得到:10a1+45d=31020a1+190d=1220解這個關(guān)于a1與d的方程組，得到：a1=4，d=6所以Sn=4n+n(n-1)×6/2=3n2+n.第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三a1=11,an=231、等差數(shù)列｛an｝中⑴a1=20,an=54,sn=999求d及n⑵d=1/3,n=37,sn=629求a1及and=17/13,n=27針對訓(xùn)練第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：Sn實質(zhì)是一個關(guān)于a1

，n，d或a1

，an

，d的方程。因此對于等差數(shù)列的相關(guān)量a1

，n，d，an，Sn，已知其中任意三個量，根據(jù)通項公式與求和公式便可確定其他量。第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例3：已知數(shù)列｛an｝前n項的和為sn=n2+(1/2)n求這個數(shù)列的通項公式。這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三所以數(shù)列｛an｝的通項公式為an=2n－1/2.由此可知，數(shù)列｛an｝是一個首項為3/2，公差為2的等差數(shù)列。解：根據(jù)sn=a1+a2+…+an-1+an與sn-1=a1+a2+…+an-1（n＞1）可知，當(dāng)n＞1時，

an=sn－sn-1=n2+1/2n－〔（n－1)2+1/2（n－1）〕=2n－1/2……①當(dāng)n=1時，

a1=s1=12+1/2×1=3/2，也滿足①式。第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三已知數(shù)列an的前n項和為，求這個數(shù)列的通項公式。針對練習(xí)第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三解：當(dāng)n=1時，當(dāng)n>1時又n=1時所以第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三⑴當(dāng)n=1時a1=S1⑵當(dāng)n>1時，an=Sn-Sn-1⑶如果當(dāng)n=1時an=Sn-Sn-1與a1的值相等，那么得到數(shù)列an

的通項公式為an=Sn-Sn-1，當(dāng)n=1時an=Sn-Sn-1與a1的值不相等，那么數(shù)列an的通項公式要分段表示為an=S1n=1Sn-Sn-1n>1思考：已知前n項和Sn如何求通項an？第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三探究P+q+r(n=1)2pn-p+q(n>1)an=解：由上題思路可得：只有r=0時，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列首項為：a1=p+q,公差為：d=2p如果數(shù)列{an}的前n項和是常數(shù)項為0，且是關(guān)于n的一元二次關(guān)系式，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列。第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三