專題03高一學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽函數(shù)與性質(zhì)專題訓(xùn)練

第3講高一學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽函數(shù)與性質(zhì)專題訓(xùn)練【題型目錄】模塊一：易錯(cuò)試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【典例例題】模塊一：易錯(cuò)試題精選【例1】若函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，相?dāng)于當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，由的圖象可得的取值范圍是為【例2】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】先由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域得到在R上恒成立，再由判別式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】根據(jù)條件可知在R上恒成立，則，且，解得，故a的取值范圍是.故答案為：.【例3】函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】分析可知為函數(shù)的值域的子集，分和兩種情況討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?，由題意可知為函數(shù)的值域的子集.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，若為函數(shù)的值域的子集，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【例4】函數(shù)不恒為零，且滿足，若，則A．0 B．-2 C．2D．4【答案】A【詳解】令，則原式變?yōu)椋曰蛘?，?dāng)時(shí)，令得到，所以，不滿足題意舍去，所以令，可得，所以令，可得，所以所以【例5】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且，則f（x）＝（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】在原等式中把與互換后用解方程組的方法求得．【詳解】∵，①，∴，②①②聯(lián)立方程組可解得（）．故選：B．【例6】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且則【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以【例7】已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則___________，在上的解析式為___________.【答案】，【詳解】設(shè)，則，所以又因是定義域上的奇函數(shù)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以【例8】已知函數(shù)，則=（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】D【詳解】，設(shè)，則為奇函數(shù)，所以，所以，，因，所以【例9】設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，在上是單調(diào)遞增的，，又因在上遞增，所以，解得【例10】已知函數(shù)，當(dāng)，，且時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楫?dāng)，，且時(shí)，，所以在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，因此，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【例11】若是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)遞減函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有無理數(shù)，則（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以為定值，設(shè)，由題意知，又因，令，得，所以，所以，所以【例12】設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，則f（x）（）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增【答案】B【分析】先求出的定義域結(jié)合奇偶函數(shù)的定義判斷的奇偶性，設(shè)t＝||，則y＝lnt，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，即可求出答案.【詳解】解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．可得內(nèi)層函數(shù)t＝||的圖象如圖，在（﹣∞，），（，+∞）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增，又對(duì)數(shù)式y(tǒng)＝是定義域內(nèi)的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f（x）在（，）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，），（，+∞）上單調(diào)遞減．故選：B．【例13】函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【詳解】令，則，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，由題意知在內(nèi)遞減，所以在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上恒大于0，所以，即．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：．故答案為：.【例14】已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，若都有成立，則關(guān)于的不等式的解為_________【答案】【詳解】對(duì)任意，若都有成立，所以設(shè)，則在上為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，因，所以，所以，即，解得【例15】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______.【答案】1【分析】先將函數(shù)化簡(jiǎn)變形得，然后構(gòu)造函數(shù)，可判斷為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故答案為：1模塊二：培優(yōu)試題精選【例1】定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，由圖可知，若對(duì)，都有，則.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.【例2】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，方程的所有根從小到大記為，則取值的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為與直線的交點(diǎn)，并可知與均關(guān)于對(duì)稱，作出的圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定不同取值時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合對(duì)稱性可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由得：，則方程的根即為與直線的交點(diǎn)，作出圖像如圖所示，①當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；②當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；③當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；④當(dāng)時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；⑤當(dāng)，即時(shí)，如圖中和所示時(shí)，與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，.綜上所述：取值的集合為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)對(duì)稱性、函數(shù)圖像求解方程根的個(gè)數(shù)問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).【例3】已知函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)，在利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為含參的二次函數(shù)問題，再通過討論參數(shù)來處理二次函數(shù)軸動(dòng)區(qū)間定的問題進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，其中，所以，解得，所以，所以，故函數(shù)的最小值為．令，則，故函數(shù)的最小值為等價(jià)于的最小值為，等價(jià)于或，解得．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B．【例4】已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件分，和三種情況討論，由，求出的取值范圍．【詳解】解：顯然當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，，于是，而由，可得，即，所以也不滿足條件，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，若，則在上，函數(shù)的圖象應(yīng)在函數(shù)的圖象的下方，如圖所示，要使在上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，只要即可，即，化簡(jiǎn)可得，解得，所以的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.故選：C.【例5】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

②在區(qū)間單調(diào)遞減③的極大值為0

④有3個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計(jì)算判斷①；探討在上單調(diào)性判斷②；探討在和上單調(diào)性判斷③；求出的零點(diǎn)判斷④作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于①，，則，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，②不正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在單調(diào)遞增，因此在處取極大值，③正確；對(duì)于④，由得：，即或，解得或，于是得有3個(gè)零點(diǎn)，④正確，所以所有正確結(jié)論的編號(hào)為①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.【例6】已知函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時(shí)，，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】利用賦值法求得，判斷A；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)，可判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷B;利用，可求得C中式子的值，判斷C；求出，將轉(zhuǎn)化為，即可解不等式組求出其解集，判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，得，所以，故A正確；對(duì)于B，令，得，所以，任取，且，則，因?yàn)椋?，所以，所以在上是減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，且，所以，所以，所以等價(jià)于，又在上是減函數(shù)，且，所以，解得，故D正確,故選:ABD．【例7】函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)同時(shí)滿足①在上是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)椋瑒t稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性判斷a、b的存在性，即可得答案.【詳解】A：為增函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”，則，結(jié)合及的圖象知，方程無解，故不存在“3倍值區(qū)間”，A錯(cuò)誤；B：為減函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”，則有，得，又，，所以可取，，所以存在“3倍值區(qū)間”，B正確；C：為增函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”，則，得，所以存在“3倍值區(qū)間”，C正確；D：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可得在上單調(diào)遞增，若存在“3倍值區(qū)間”且，則有，解得，不符合題意，所以不存在“3倍值區(qū)間”，D錯(cuò)誤．故選：BC【例8】已知，函數(shù)的值域是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】CD【分析】先對(duì)分段函數(shù)去絕對(duì)值討論單調(diào)性，作出，和，的圖象，時(shí)，由圖可得m的范圍，可判斷A；當(dāng)時(shí)先求出，的值域，進(jìn)而可判斷時(shí)，必有解，即可得m的范圍，可判斷B，C；當(dāng)時(shí)，先計(jì)算在上的值域，即可得，的范圍，進(jìn)而可得m的范圍，可判斷D．【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，為．作出與在上的圖象如圖所示：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋Y(jié)合圖象知，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋瑒t時(shí)，必有解，即，解得，由圖知，故B不正確，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為，的最大值為，要使的值域?yàn)椋蓤D知，故D正確．故選：CD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分段函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出的圖象，結(jié)合圖象逐個(gè)分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題【例9】給出定義：若，則稱為離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)锽．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】根據(jù)的定義知函數(shù)的定義域?yàn)?，，即，所以，函?shù)的值域?yàn)?，A正確；函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；由圖象知函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；由圖象知D不正確．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于理解的含義，然后寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式作出函數(shù)的圖象，進(jìn)而通過圖象判斷函數(shù)的性質(zhì).【例10】已知，函數(shù)，若存在最小值，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性及最值求解即可.【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故無最小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，又在上的最小值為，要使存在最小值，還需，解得，故；當(dāng)時(shí)，要使存在最小值，還需：，因?yàn)椋詿o解綜上的取值范圍為.故答案為：.【例11】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】將不等式的解集為轉(zhuǎn)化為的解為及當(dāng)時(shí)，恒成立，從而可求得.【詳解】不等式等價(jià)于或，而的解集為，故的解為且對(duì)任意的恒成立.又即為，若，則即為，這與解為矛盾；若，則即為，這與解為矛盾；若，則即為，因?yàn)榈慕鉃椋?當(dāng)時(shí)，恒成立即為恒成立，令，則，故在為增函數(shù)，故，故.綜上，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與分段函數(shù)有關(guān)的不等式解的問題，應(yīng)該就不同解析式對(duì)應(yīng)的范圍分類討論，討論時(shí)注意結(jié)合解析式的形式確定分類討論還是參變分離.【例12】已知函數(shù)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，總有成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】1【分析】分、、、依次討論的范圍，進(jìn)而判斷是否恒成立，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則不成立；當(dāng)，，取，，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)于任意，有，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以總有成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)取最大值1，當(dāng)時(shí)取最小值0，則，對(duì)于任意，有，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以總有成立；綜上可得，故實(shí)數(shù)的最大值為1.故答案為：1.【例13】已知函數(shù)，若（且），則a的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷為偶函數(shù)，由解析式判斷的單調(diào)性，再討論a的范圍，并利用偶函數(shù)和單調(diào)性求參數(shù)的范圍.【詳解】由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，綜上，由，即或，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，所以a的取值范圍為.故答案為：【例14】已知函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)，且在上的值域?yàn)椋瑒tm的取值范圍為______．【答案】【分析】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則由題意可得或，然后分和兩種情況結(jié)合函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以或．若，則，故．當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，則，即，不符合題意．若，則，故．當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知，，則．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由在上單調(diào)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得或，從而得或，然后分析求解，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題【例15】定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的x，，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)求證：在上是減函數(shù)；(3)若，對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3).【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明.（2）根據(jù)已知條件，利用單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明.（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行處理，利用單調(diào)性、一次函數(shù)進(jìn)行處理.（1）令，，得，所以．令，得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)．（2）設(shè)，則，所以．因?yàn)椋?，，所以，即，所以．又，所以，所以，所以，即．所以在上是減函數(shù)．（3）由（2）知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，所以對(duì)任意，恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．設(shè)，是關(guān)于a的一次函數(shù)，，要使對(duì)任意恒成立，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是．【例16】已知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，把方程稱為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根，稱為函數(shù)的特征根.(1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)求的表達(dá)式；(3)把函數(shù)在上的最大值記作，最小值記作，令，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；(2)(3)【分析】（1）分和兩種情況討論，結(jié)合奇偶性的定義判斷即可；（2）依題意方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，利用韋達(dá)定理可得，，再計(jì)算即可；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到在上的單調(diào)性，從而得到恒成立，參變分離，再結(jié)合基本不等式計(jì)算可得.(1)解：當(dāng)時(shí)，，則，即為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，，故既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；(2)解：由題意可得，方程的兩個(gè)特征根為，，則方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，由，所以，，故，所以，即.(3)由，得，由（2）可知，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，由恒成立，可知恒成立，所以恒成立，因?yàn)?，其中?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．【例17】設(shè)函數(shù)且．(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性．并求使不等式對(duì)一切恒成立的的取值范圍；(3)若，且在上的最小值為，求的值．【答案】(1)奇函數(shù)(2)(3)【分析】(1)用證明奇偶性的定義，可證得為奇函數(shù).(2)利用題目條件求出的范圍，再將轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解即可.(3)用換元法轉(zhuǎn)化為新函數(shù)（二次函數(shù)），再分類討論參數(shù)的值.(1)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且)，為奇函數(shù)．(2)且．，，又，且，，故在上單調(diào)遞減，不等式化為，，即恒成立，，解得；(3)，，即，解得或舍去)，，令，由(1)可知為增函數(shù)，，，令，若，當(dāng)時(shí)，，；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，無解；綜上，.【例18】雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)）．記雙曲正弦函數(shù)為，雙曲余弦函數(shù)為，已知這兩個(gè)最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì)：①定義域均為，且在上是增函數(shù)；②為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；③（常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．利用上述性質(zhì)，解決以下問題：(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，為定值；(3)已知，記函數(shù)，的最小值為，求．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得出關(guān)于、的等式組，即可求得這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)，可得出，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，的最小值，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得的表達(dá)式.(1)解：由性質(zhì)③知，所以，由性質(zhì)②知，，，所以，即，解得，.因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，合乎題意.(2)證明：由（1）可得：.(3)解：函數(shù)，設(shè)，由性質(zhì)①，在是增函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，，所以原函數(shù)即，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)．綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“動(dòng)軸定區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.【例19】已知函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)?，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)?，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)詳見解析；(2)；(3)【分析】（1）按照參數(shù)a分類討論并利用一元二次不等式解法去求解，即可得到不等式的解集；（2）先求得的解集，再利用集合間的包含關(guān)系，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）先按照參數(shù)t分類討論，分別求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，再構(gòu)造關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式組，解之即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.(1)由，可得，即當(dāng)時(shí)，由，可得或當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，由，可得或綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或(2)當(dāng)時(shí)，，若對(duì)?，都有恒成立，即對(duì)?，都有恒成立，又由可得則有，且成立，解之得，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(3)當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域?yàn)椋蝗魧?duì)?，都有恒成立，則有，解之得②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域?yàn)?；若?duì)?，都有恒成立，則有，解之得③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域?yàn)?；若?duì)?，都有恒成立，則有，解之得；④當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在區(qū)間上的值域?yàn)椋蝗魧?duì)?，都有恒成立，則有，解之得綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為【例20】已知函數(shù)，，(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若與在上的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性相同，試探究方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到分段函數(shù)解析式，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，可知，則原方程無根；當(dāng)時(shí)，根據(jù)單調(diào)性可確定在上先遞減再遞增，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可確定的取值范圍，根據(jù)的表達(dá)式，分別在和時(shí)求方程的根，通過對(duì)根所在區(qū)間的討論得到方程根的個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可知方程無根；綜合上述情況可得最終結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增；的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)①當(dāng)時(shí)，若，則，滿足單調(diào)區(qū)間相同的條件；此時(shí)方程在上無實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，；若，則在上先遞減再遞增；與在上的單調(diào)性相同，，即，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），；又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：，此時(shí)當(dāng)時(shí)，無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，，令得：，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，無實(shí)根；③當(dāng)時(shí)，，在上無實(shí)根；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)根.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解、利用函數(shù)思想解決方程根的個(gè)數(shù)的問題；討論方程根的個(gè)數(shù)的關(guān)鍵是能夠通過對(duì)于自變量范圍的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，通過令確定方程的根，進(jìn)而通過對(duì)于根的位置的討論得到結(jié)果.【例21】對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，存在非負(fù)實(shí)數(shù)，使得恒成立，稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判別函數(shù)，和，是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說明理由；(2)函數(shù)，，若函數(shù)具有性質(zhì)，求滿足的條件；(3)若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，的值域?yàn)?，存在常?shù)且具有性質(zhì)，判別是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)具有性質(zhì)，理由見解析.【分析】（1）由性質(zhì)的定義，結(jié)合作差法判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)即可；（2）根據(jù)已知條件有對(duì)任意恒成立，討論、判斷不等式是否恒成立，即可得參數(shù)范圍；（3）由的性質(zhì)可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及性質(zhì)定義判斷是否具有性質(zhì).(1)，，所以，則，故，不具有性質(zhì)；，恒成立，故,具有性質(zhì).(2)由，則，對(duì)任意恒成立，顯然時(shí)，上式不等式成立；時(shí)，則，對(duì)任意不恒成立，舍去；綜上，.(3)因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，則，，，，，所以，即具有性質(zhì).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，注意應(yīng)用性質(zhì)、不等式性質(zhì)得到、、，進(jìn)而有，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷結(jié)論.【例22】已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若，求在上的最小值；(3)若方程有個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根、、，且，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由已知可得，等式兩邊平方可求得實(shí)數(shù)的值；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在上的最小值；（3）由可得出，可得出，利用求根公式求出三個(gè)根，證明出，，再結(jié)合，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.(1)解：由，可得，則，等式兩邊平方可得.(2)解：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，任取、且，則，所以，，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，.(3)解：由可得，方程有個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根、、，且，當(dāng)時(shí)，可得，則，由求根公式可得，則，，所以，；當(dāng)時(shí)，可得，所以，，由求根公式可得，由題意可得，可得，所以，，所以，，下證，只需證，只需證，即證，只需證，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)?，?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查有關(guān)方程根不等式的證明，解題的關(guān)鍵在于求出三根以及參數(shù)的取值范圍，再利用不等式的性質(zhì)來進(jìn)行證明.【例23】已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為和(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分和兩種情況去絕對(duì)值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即可；（2）分和兩種情況去絕對(duì)值，再分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的最值分析即可(1)當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以增區(qū)間：和；(2)，①若，則；②若，則（i）當(dāng)時(shí)，即，所以，因?yàn)椋陨崛?；?dāng)時(shí)，，（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，符合題意；（iii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以無解，不符合題意，綜上：.【例24】已知，函數(shù)．(1)當(dāng)，請(qǐng)直接寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值（不需要證明）；(2)記在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式；(3)對(duì)（2）中的，當(dāng)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)遞增區(qū)間為，.(2).(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)去絕對(duì)值，利用分段的形式寫出函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可直接判斷函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及最值.（2）函數(shù)去絕對(duì)值，利用分段的形式寫出函數(shù)，討論的取值范圍，求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值的表達(dá)式；（3）構(gòu)造函數(shù)，只需即可，討論的取值范圍，求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)最大值即可.(1)解（1）當(dāng)時(shí)，，即，則，故函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.(2)由題可知，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在遞增，則；當(dāng)時(shí)，在上遞減，則，綜上：．(3)（3）令，只需，當(dāng)，且時(shí)，，在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，∴，綜上可知，，所以．模塊一：全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【例1】【2019年重慶預(yù)賽】函數(shù)fx=1+x+1?x?31?【答案】3?【解析】設(shè)t=1+x+1?x,則t≥0且tfx=t?3·t令g't=0得t=2，g∴M=gtmax=2?3【例2】【2022年新疆預(yù)賽】已知函數(shù)，則不等式的解集為________.【答案】【解析】令，易得為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，原不等式等價(jià)于，所以，解得【例3】【2019年重慶預(yù)賽】設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意x>0有f(x)>?4x，f(f(x)+4x【答案】7【解析】由題意存在x0>0使f(x0)=3。又因f(x)是(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)，這樣的解得x0=4或x0=?1（舍）。所以【例4】【2019年廣西預(yù)賽】已知xyz+y+z=12,則log4x+log2y+【答案】3【解析】log=log當(dāng)xyz=y=z=4取到等號(hào).【例5】【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】已知正實(shí)數(shù)a滿足aa=(9a)8a，則loga【答案】9【解析】由條件知9a=a18，故3a=【例6】【2018年福建預(yù)賽】函數(shù)f(x)=log【答案】?25【解析】設(shè)log3x=t，則log3∴f(x)=g(t)=?1+∴當(dāng)t=34，log3x=3【例7】【2018年福建預(yù)賽】若函數(shù)f(x)=x2－2ax+a2－4在區(qū)間[a－2，a2](a>0)上的值域?yàn)閇－4，0]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【答案】[1，2]【解析】∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在區(qū)間[a－2，a2]上的值域?yàn)閇－4，0]，f(x)的圖像為開口向上的拋物線.∴a?2≤a≤a2a≥a?2+a22，解得－1≤∴a的取值范圍為[1，2].【例8】【2018年北京預(yù)賽】已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足5a=4,4【答案】1【解析】化5a=4,4b=3,【例9】【2018年北京預(yù)賽】已知函數(shù)fx滿足fx+1【答案】2,+∞【解析】設(shè)函數(shù)y=fx滿足fy=t2+1t2=【例10】【2018年湖北預(yù)賽】設(shè)fx是定義在0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈0,+∞，都有ff【答案】x0<x<4【解析】由題設(shè)，存在正常數(shù)c，使得fc=4，且對(duì)任意的x∈0,+∞當(dāng)x=c時(shí)，有fc=2log2c+c=4，由單調(diào)性知此方程只有唯一解c=2.所以fx=2log2【例11】【2018年甘肅預(yù)賽】關(guān)于x的方程lgax+1=lg【答案】?1,?【解析】解法一原方程化為fx（1）f1（2）f1=0即（3）f2=0即a=?1因此a=?1（4）Δ=0，即a=3±23時(shí)，若a=3+2若a=3?23,x解法二ax+1=?x2+3x?2a=?fx在1,又f3=3?23,f2【例12】【2018年天津預(yù)賽】若a為正實(shí)數(shù)，且fx=log【答案】7【解析】由fx+f即ax+也即2?a2x由于2x+2x2+1在（0，+∞）上遞增，所以fx在（0，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合f方程fx=也即2兩邊平方，解得x=78.因此，不等式fx故答案為：7【例13】【2018年河南預(yù)賽】已知函數(shù)fx=?12x2+x，若f【答案】0【解析】因?yàn)閒x所以有kn≤12，得n≤1進(jìn)而fm=?12m故填0．【例14】【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】設(shè)f(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，1]上嚴(yán)格遞減，且滿足f(π)=1，f(2π)=2，則不等式組1?x?21?f(x)?2的解集為 【答案】[π?2,8?2π]【解析】由f(x)為偶函數(shù)及在[0，1]上嚴(yán)格遞減知，f(x)在[－1，0]上嚴(yán)格遞增，再結(jié)合f(x)以2為周期可知，[1，2]是f(x)的嚴(yán)格遞增區(qū)間注意到f(π?2)=f(π)=1,f(8?2π)=f(?2π)=f(2π)=2，所以1?f(x)?2?f(π?2)?f(x)?f(8?2π)，而1<π?2<8?2π<2，故原不等式組成立當(dāng)且僅當(dāng)x∈[π?2,8?2π].【例15】【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(x)+x2是奇函數(shù)，f(x)+2x是偶函數(shù)，則f(1)的值為 .【答案】?【解析】由條件知，f(1)+1=?f(?1)+(?1)2兩式相加消去f(－1)，可得2f