數(shù)值分析課件 3函數(shù)逼近與曲線擬合

數(shù)值分析ComputationalMethodChapter3函數(shù)逼近第三章函數(shù)逼近與曲線擬合

設(shè)函數(shù)的離散數(shù)據(jù)（有誤差）為

希望找到簡單函數(shù)整體上有

，

是某度量，是指定精度。是存在的。例如，多項(xiàng)式

，

一致收斂于但收斂慢即對，要求很大，從而計算不便。換個思路，固定，找使屬于某固定類型函數(shù)，一般表示為，

是待定參數(shù)。通常，將函數(shù)類取為線性空間，要求是最少的即不能再有代替也就是說線性無關(guān)。

是線性無關(guān)的，但僅線性無關(guān)正交，這就需要引進(jìn)范數(shù)與賦范線性空間，內(nèi)積已不能滿足要求，還需要與正交，權(quán)函數(shù)等概念。3．1函數(shù)逼近的基本概念定義設(shè)集合是數(shù)域上的線性空間，元素，若存在不全為零的數(shù)，使得

則稱線性相關(guān)，否則，若僅對成立，則稱線性無關(guān)。定義設(shè)是線性空間，，若存在唯一實(shí)數(shù)，滿足(1)正定性：，當(dāng)且僅當(dāng)時，；(2)齊性：，；(3)三角不等式：，。則稱是線性空間上的范數(shù)，與一起稱為賦范線性空間。，

常見范數(shù)：

1-范數(shù)：

2-范數(shù)：

-范數(shù)：（離散）例如：

，，。

常見范數(shù)：

1-范數(shù)：

2-范數(shù)：

-范數(shù)：（連續(xù)）

，

，

。例如：

，

，

。定義設(shè)是線性空間，，若存在唯一數(shù)（復(fù)數(shù)）與之對應(yīng)，記為，滿足：（1）;（2）;（3）;（4），當(dāng)且僅當(dāng)時，。則稱是線性空間上與的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。若，則稱向量與向量正交。定義設(shè)是有限或無限區(qū)間，上的函數(shù)滿足：（1）存在（有限數(shù)），;（2），若.則稱為上的權(quán)函數(shù)。定義在上的函數(shù)可定義內(nèi)積為：

,若，則稱與在上帶權(quán)正交。若函數(shù)族兩兩正交，即則稱是正交函數(shù)族，若又有就稱為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族。例如：是上的正交函數(shù)族。若又是多項(xiàng)式，則稱為正交多項(xiàng)式族。正交的函數(shù)（向量）組當(dāng)然是線性無關(guān)的函數(shù)（向量）組?？梢杂檬┟芴卣换椒?，將線性無關(guān)函數(shù)（向量）組改造為正交函數(shù)（向量）組。3．2正交多項(xiàng)式

1.施密特正交化方法將線性無關(guān)的函數(shù)（向量）組改造為正交函數(shù)（向量）組：簡寫為:特別，將定義在上的多項(xiàng)式組改造為正交多項(xiàng)式組：，例取權(quán)函數(shù)，，構(gòu)造正交多項(xiàng)式：。(解答)，，

2.正交多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1

最高次項(xiàng)系數(shù)為1。性質(zhì)2

次多項(xiàng)式可表示為，的線性組合。性質(zhì)3

，。性質(zhì)4

，是常數(shù)。性質(zhì)5

在內(nèi)是單根。3.勒讓德多項(xiàng)式

(勒讓德多項(xiàng)式)(勒讓德多項(xiàng)式)勒讓德多項(xiàng)式在上的多項(xiàng)式組，取權(quán)函數(shù)，正交化后得到。的首項(xiàng)系數(shù)為1，它也可用性質(zhì)1（正交性）。性質(zhì)2（奇偶性）。性質(zhì)3（遞推關(guān)系）。

證明:性質(zhì)1（正交性）。證明

證畢性質(zhì)2（奇偶性）。性質(zhì)3（遞推關(guān)系）

。

證明:據(jù)定義.

證明

，

當(dāng)?shù)拇螖?shù)，即的次數(shù)，

，

有

，是奇函數(shù)，積分為零，，，，將，代入得結(jié)論。證畢，，4．切比雪夫多項(xiàng)式取權(quán)函數(shù)，，

（切比雪夫多項(xiàng)式）性質(zhì)1（遞推關(guān)系）推論1

的最高次項(xiàng)系數(shù)為。性質(zhì)2（正交性）。性質(zhì)3（奇偶性）只含的偶次冪，只含

的奇次冪。

證明

據(jù)遞推關(guān)系和歸納法可立得。證畢性質(zhì)4

在上有個零點(diǎn)；有個極值點(diǎn)

。。

性質(zhì)1,2和性質(zhì)1,2的證明

性質(zhì)1（遞推關(guān)系）。證明，，，

，證畢令，

性質(zhì)2（正交性）證明證畢5．其它常用正交多項(xiàng)式（1）第二類切比雪夫多項(xiàng)式取權(quán)函數(shù)，，（2）拉蓋爾多項(xiàng)式取權(quán)函數(shù)，，3.3最佳一致逼近多項(xiàng)式

1.基本概念及其理論求，使

定義稱為與在上的偏差。定義記，稱為在上的最小偏差。定義若使，稱是在上的最佳一致逼近多項(xiàng)式。定理

最佳一致逼近多項(xiàng)式一定存在。（證略）

定義，，記：,若，使，稱是的偏差點(diǎn)。若，稱是的正偏差點(diǎn);若,稱是的負(fù)偏差點(diǎn)。（連續(xù)，偏差點(diǎn)總是存在的）

切比雪夫定理是的最佳一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是在上至少有個輪流為正負(fù)的偏差點(diǎn)，即有個點(diǎn)使（稱為切比雪夫交錯點(diǎn)組）。

證充分性若另有使則據(jù)上不等式?jīng)Q定于的符號，

的符號故的符號在點(diǎn)上輪流有次正負(fù)號變化，據(jù)零點(diǎn)定理，有個零點(diǎn)，

這只有在時才有可能，因而，。證畢推論1

最佳一致逼近多項(xiàng)式是唯一的。證明設(shè)在中有、，則，

兩個最佳一致逼近多項(xiàng)式令

，故也是最佳一致逼近多項(xiàng)式，據(jù)切比雪夫定理，在上至少有個點(diǎn)它們輪流為正負(fù)的偏差點(diǎn)，

，即有

。

這只有時才有可能，

因而在個不同點(diǎn)上有，，這說明。證畢推論2

最高次項(xiàng)系數(shù)為的次多項(xiàng)式中以與零的偏差最小，偏差為。證明有個極值點(diǎn)

。這說明

作為次多項(xiàng)式對的逼近有個輪流為正負(fù)的偏對的逼近是最佳一致逼近，對零的逼近也是最佳一致逼近，即

差點(diǎn)，因而，與零的偏差最小。證畢證畢例求在上的一次最佳逼近多項(xiàng)式。解與零的偏差最小，也與的偏差最小，所以，解畢

是一次最佳逼近多項(xiàng)式。解畢

2.一次最佳逼近多項(xiàng)式設(shè)在上的二階導(dǎo)數(shù)存在且保號，則的一次最佳逼近多項(xiàng)式是，其中

，，。上例中，

，，，一次最佳逼近多項(xiàng)式是解畢，，。例求函數(shù)在逼近多項(xiàng)式。上的一次最佳(解答)

3.4最佳平方逼近

1.最佳平方逼近及其計算定義

若，使則稱是在子集上的最佳平方逼近函數(shù)。，，

求實(shí)際上等價于求多元函數(shù)的最小值

即令：，

稱為法方程法方程的系數(shù)陣

由于線性無關(guān)，故系數(shù)行列式，從而，方程組有解。

定理

是唯一的最佳平方逼近函數(shù)。證明（存在性）設(shè)證即證

由于是方程組的解

即，

所以，（唯一性）若有也是最佳平方逼近函數(shù)，則從而，據(jù)上式有據(jù)權(quán)函數(shù)的性質(zhì)

證畢特別，若，，，該法方程的系數(shù)陣稱為希爾伯特矩陣。例設(shè)，，求最佳二次平方逼近多項(xiàng)式。解設(shè)，

，，，，

解畢，2.用正交函數(shù)族作最佳平方逼近，是正交函數(shù)族。

例設(shè)，,求最佳二次平方逼近多項(xiàng)式。解令，，

勒讓德多項(xiàng)式，，

解畢3.收斂性定理例如三角函數(shù)系是上的正交函數(shù)族，權(quán)函數(shù)，對該系在上的最佳平方逼近函數(shù)是

，

，，，這就是的付立葉級數(shù)。

稱為廣義付立葉多項(xiàng)式;當(dāng)，稱為廣義付立葉級數(shù)

高等數(shù)學(xué)中，若，則一般，

.

同樣有收斂性定理:。定理7

若,最佳平方逼近多項(xiàng)式均方收斂于。