2012-2013江蘇高考數(shù)學(xué)試卷-含答案

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)（全卷滿分160分，考試時間120分鐘）棱錐的體積，其中為底面積，為高．1．（2012年江蘇省5分）已知集合，，則▲．【答案】?！究键c(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算?！痉治觥坑杉系牟⒓饬x得。2．（2012年江蘇省5分）個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取▲名學(xué)生．【答案】【考點(diǎn)】【解析】分層抽樣又稱分類抽樣或類型抽樣。將總體劃分為若干個同質(zhì)層，再在各層內(nèi)隨機(jī)抽樣或機(jī)械抽樣，分層抽樣的特點(diǎn)是將科學(xué)分組法與抽樣法結(jié)合在一起，分組減小了各抽樣層變異性的影響，抽樣保證了所抽取的樣本具有足夠的代表性。因此，由知應(yīng)從高二年級抽取15名學(xué)生。3．（2012年江蘇省5分）設(shè)，（i為虛數(shù)單位），則的值為▲．【答案】8?！究键c(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念?！痉治觥坑傻?，所以，。4．（2012年江蘇省5分）下圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是▲．【答案】5?！究键c(diǎn)】程序框圖?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)k循環(huán)前00第一圈是10第二圈是2－2第三圈是3－2第四圈是40第五圈是54第六圈否輸出5∴最終輸出結(jié)果k=5。5．（2012年江蘇省5分）函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮?。【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域，二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，解對數(shù)不等式。【解析】根據(jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得。6．（2012年江蘇省5分）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，為公比的的概率是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】概率。又∵，，∴②。聯(lián)立①②，解得，?！?。11．（2012年江蘇省5分）設(shè)為銳角，若，則的值為▲．【答案】。【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，倍角三角函數(shù)，和角三角函數(shù)?！窘馕觥俊邽殇J角，即，∴?！?，∴?！??！?。∴。12．（2012年江蘇省5分）在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離【解析】∵∴圓C的圓心為，半徑為1?！哂深}意，在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)；∴存在，使得成立，即。∵即為點(diǎn)到∴∴的最大值是。13．（2012年江蘇省5分）解集為，則實(shí)數(shù)c的值為▲．【答案】9?！究键c(diǎn)】解集?！窘馕觥坑蓵r，即，∴∴，?！呓饧癁?，∴，解得。14．（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】可行域?！窘馕觥靠苫癁椋?。設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為，則，要使它最小，須?！嗟淖钚≈翟谔帲瑸?。此時，點(diǎn)在上之間。當(dāng)（）對應(yīng)點(diǎn)時，，∴的最大值在處，為7?！嗟娜≈捣秶鸀?，即的取值范圍是。15．（2012年江蘇省14分）在中，已知．（1）求證：；（2）若求A的值．【答案】解：（1）∵，∴，即。由正弦定理，得，∴。又∵，∴。∴即。（2）∵，∴?！??！?，即。∴。由（1），得，解得?！撸唷！?。【考點(diǎn)】平面微量的數(shù)量積，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先將表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明。（2）由可求，由三角形三角關(guān)系，得到，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）的結(jié)論即可求得A的值。16．（2012年江蘇省14分）不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)．求證：（1）平面平面；（2）直線平面．【答案】證明：（1）∵平面。又∵平面，。又∵平面，平面。（lbylfx）又∵平面，平面平面。（2）∵為的中點(diǎn)，。又∵平面，且平面，。又∵平面，，平面。由（1）知，平面，∥。又∵平面平面，直線平面【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。【解析】（1）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知證得。（2）要證直線平面，只要證∥平面上的即可。17．（2012年江蘇省14分）曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程；（2）不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．【答案】解：（1）在炮的最大射程是10，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在，使的方程。此時，（不考慮另一根）。∴當(dāng)不超過6炮彈可以擊中目標(biāo)。【考點(diǎn)】函數(shù)、方程和基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求炮的最大射程即求基本不等式求解。（2）求炮彈擊中目標(biāo)時的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解。18．（2012年江蘇省16分）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)．（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】解：（1）由，得?！?和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，∴，，解得。（2）∵由（1）得，，∴，解得?！弋?dāng)時，；當(dāng)時，，∴是的極值點(diǎn)?！弋?dāng)或時，，∴不是的極值點(diǎn)?！嗟臉O值點(diǎn)是－2。（3）令，則。先討論關(guān)于的方程根的情況：當(dāng)時，由（2）可知，的兩個不同的根為I和一2，注意到是奇函數(shù)，∴的兩個不同的根為一和2。當(dāng)時，∵，，∴一2,－1，1，2都不是的根。由（1）知。①當(dāng)時，，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時在無實(shí)根。②當(dāng)時．，于是是單調(diào)增函數(shù)。又∵，，的圖象不間斷，∴在（1,2）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2，一I）內(nèi)有唯一實(shí)根。③當(dāng)時，，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又∵，，的圖象不間斷，∴在（一1，1）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時，有兩個不同的根滿足；當(dāng)時有三個不同的根，滿足?，F(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：(i）當(dāng)時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5個零點(diǎn)。(11）當(dāng)時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9個零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有5個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有9個零點(diǎn)?！究键c(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。（2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。（3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于的方程根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)。19．（2012年江蘇省16分）．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P．（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值．【答案】解：（1）由題設(shè)知，，由點(diǎn)在橢圓上，得，∴。由點(diǎn)在橢圓上，得∴橢圓的方程為，又∵∥，∴設(shè)、的方程分別為?！唷?。①同理，。②（i）由①②得，。解得=2。∵注意到，∴。∴直線的斜率為。（ii）證明：∵∥，∴，即。∴。由點(diǎn)在橢圓上知，，∴。同理。?！嘤散佗诘茫?，，∴?！嗍嵌ㄖ怠！究键c(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式?！窘馕觥浚?）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解。（2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。20．（2012年江蘇省16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，（1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．【答案】解：（1）∵，∴?！唷！?。∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列。（2）∵，∴?！唷＃ī~）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，∴當(dāng)時，，與（﹡）矛盾。若則，∴當(dāng)時，，與（﹡）矛盾?！嗑C上所述，?！?，∴。又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。若，則，于是。又由即，得?！嘀兄辽儆袃身?xiàng)相同，與矛盾?！唷！?。∴。【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。（2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。]數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-1：幾何證明選講]（2012年江蘇省10分）如圖，是圓的直徑，為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)并延長至點(diǎn)，使，連結(jié)．求證：．【答案】證明：連接?！呤菆A的直徑，∴（直徑所對的圓周角是直角）?！啵ù怪钡亩x）。又∵，∴是線段的中垂線（線段的中垂線定義）?！啵ň€段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）。∴（等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)）。又∵為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，∴（同弧所對圓周角相等）?！啵ǖ攘看鷵Q）?！究键c(diǎn)】圓周角定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！窘馕觥恳C，就得找一個中間量代換，一方面考慮到是同弧所對圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到。從而得證。本題還可連接，利用三角形中位線來求證。B．[選修4-2：矩陣與變換]（2012年江蘇省10分）已知矩陣的逆矩陣，求矩陣的特征值．【答案】解：∵，∴?！?，∴?！嗑仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式為。令，解得矩陣的特征值。【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算，矩陣的特征值?！窘馕觥坑删仃嚨哪婢仃?，根據(jù)定義可求出矩陣，從而求出矩陣的特征值。C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（2012年江蘇省10分）點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程．【答案】解：∵點(diǎn)，在的圓心坐標(biāo)為（1，0）?！叩陌霃綖?。圓的極坐標(biāo)方程為【考點(diǎn)】直線和圓的【解析】點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；根據(jù)的半徑。從而得到圓的極坐標(biāo)方程。D．[選修4-5：不等式選講]（2012年江蘇省10分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：求證：．【答案】證明：∵，由題設(shè)∴?！唷！究键c(diǎn)】絕對值不等式的基本知識?！窘馕觥扛鶕?jù)絕對值不等式的性質(zhì)求證。出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（2012年江蘇省10分）兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，．（1）求概率（2）求．【答案】解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個頂點(diǎn)中的一個，過任意1個頂點(diǎn)恰有3條棱，∴共有對相交棱。∴兩條棱平行，則它們的距離為1或距離為∴∴隨機(jī)變量是：01∴【考點(diǎn)】概率分布、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識?！窘馕觥浚?）求出兩相交棱的對數(shù)，即可由概率公式求得概率求出兩平行距離為，從而求出（兩平行距離為兩條棱異面），因此得到隨機(jī)變量23．（2012年江蘇省10分）設(shè)集合，．記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù)：①；②若，則；③若，則。（1）求；（2）求的解析式（用表示）．【答案】解：（1）當(dāng)時，符合條件的集合為：，∴=4。(2）任取偶數(shù)，將除以2，若商仍為偶數(shù)．再除以2，···經(jīng)過次以后．商必為奇數(shù)．此時記商為。于是，其中為奇數(shù)。由條件知．若則為偶數(shù)；若，則為奇數(shù)。于是是否屬于，由是否屬于確定。設(shè)是中所有奇數(shù)的集合．因此等于的子集個數(shù)。當(dāng)為偶數(shù)〔或奇數(shù)）時，中奇數(shù)的個數(shù)是（）?！??！究键c(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算，計(jì)數(shù)原理?！窘馕觥浚?）找出時，符合條件的集合個數(shù)即可。（2）由題設(shè)，根據(jù)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解。2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。1．函數(shù)的最小正周期為．【答案】π【解析】T＝|eq\f(2π,ω)|＝|eq\f(2π,2)|＝π．2．設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝＝5．3．雙曲線的兩條漸近線的方程為．【答案】【解析】令：，得．4．集合共有個子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值是．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動員的5此訓(xùn)練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動員成績的方差為．【答案】2【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：．方差為：．7．現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為．【答案】【解析】m取到奇數(shù)的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數(shù)的有1，3，5，7，9共5種情況，則都取到奇數(shù)的概率為．8．如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則．【答案】1：24【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8．又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3．所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：24．9．拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?包含三角形內(nèi)部和邊界)．若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】[—2，eq\f(1,2)]【解析】拋物線在處的切線易得為y＝2x—1，令z＝，y＝—eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)．畫出可行域如下，易得過點(diǎn)(0，—1)時，zmin＝—2，過點(diǎn)(eq\f(1,2)，0)時，zmax＝eq\f(1,2)．yxyxOy＝2x—1y＝—eq\f(1,2)x10．設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，，，若（為實(shí)數(shù)），則的值為．【答案】eq\f(1,2)【解析】所以，，，eq\f(1,2)．11．已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出()的圖像，如下圖所示。由于是定義在上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱做出x＜0的圖像。不等式，表示函數(shù)y＝的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xyxyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)12．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為．yxlyxlBFOcba【解析】如圖，l：x＝，＝－c＝，由等面積得：＝。若，則＝，整理得：，兩邊同除以：，得：，解之得：＝，所以，離心率為：．13．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)（）圖象上一動點(diǎn)，若點(diǎn)之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為．【答案】1或【解析】14．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為．【答案】12【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為a1，公比為q，則：，得：a1＝eq\f(1,32)，q＝2，an＝26－n．記，．，則，化簡得：，當(dāng)時，．當(dāng)n＝12時，，當(dāng)n＝13時，，故nmax＝12．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）已知，．（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以，α－β＝，α＝＋β，帶入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．求證：（1）平面平面；（2）．證：（1）因?yàn)镾A＝AB且AF⊥SB，所以F為SB的中點(diǎn)．又E，G分別為SA，SC的中點(diǎn)，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．（2）因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．17．xyAlxyAlO如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在上．（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：（1）聯(lián)立：，得圓心為：C(3，2)．設(shè)切線為：，d＝，得：．故所求切線為：．（2）設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由，知：，化簡得：，即：點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D．又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤eq\f(12,5)．18．（本小題滿分16分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，．（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，CBACBADMN解：（1）如圖作BD⊥CA于點(diǎn)D，設(shè)BD＝20k，則DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn)M，此時甲到達(dá)N點(diǎn)，如圖所示．則：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，當(dāng)x＝eq\f(35,37)(min)時，MN最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用時：eq\f(1260,50)＝eq\f(126,5)(min)．若甲等乙3分鐘，則乙到C用時：eq\f(126,5)＋3＝eq\f(141,5)(min)，在BC上用時：eq\f(86,5)(min)．此時乙的速度最小，且為：500÷eq\f(86,5)＝eq\f(1250,43)m/mi