直線與直線垂直課件【高效備課精研+知識(shí)精講提升】 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

直線與直線垂直8.6.1第八章

立體幾何初步空間中兩條直線的位置關(guān)系在初中，已經(jīng)研究了平行直線和相交直線.本節(jié)課我們一起來探究異面直線吧??？平行直線相交直線異面直線異面直線所成的角1閱讀課本第146－147頁，完成以下內(nèi)容.問題1提示平面內(nèi)兩條直線所成的角的范圍是多少？知識(shí)梳理已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間

O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線

所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).任一點(diǎn)a′與b′兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點(diǎn)O的位置選取無關(guān).注意知識(shí)梳理空間兩條直線所成角α的取值范圍是

.0°≤α≤90°找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(dòng)(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.注意

例1解∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；例1(2)FO與BD所成的角.解如圖，連接FH，∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補(bǔ)角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.反思感悟根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟證明作出的角就是要求的角.求角的值，常利用解三角形得出作證計(jì)算注意可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.跟蹤訓(xùn)練1在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小.解如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.直線與直線垂直2異面垂直知識(shí)梳理如果兩條異面直線所成的角是

，那么我們就說這兩條異面直線

.直線a與直線b垂直，記作

.直角a⊥b閱讀課本第147頁，完成以下內(nèi)容.注意兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形.互相垂直如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，求證：AO⊥A1B.例2證明∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，

∴A1D1∥BC，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴直線AO與A1B所成的角即為直線AO與D1C所成的角，如圖，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，又O為CD1的中點(diǎn)，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.反思感悟1.先構(gòu)造兩異面直線所成的角2.若能證明這個(gè)角是直角，即得到兩直線垂直證明兩異面直線垂直延伸探究若本例條件不變，求證：A1B⊥AC1.證明連接AB1，交A1B于點(diǎn)M，如圖所示.設(shè)B1C1的中點(diǎn)為N，連接MN，則MN∥AC1，所以MN與A1B所成的角即AC1與A1B所成的角.連接A1N，BN，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△A1B1N≌△BB1N，所以A1N＝BN，又M為A1B的中點(diǎn)，所以MN⊥A1B，所以A1B⊥AC1.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′證明如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成的角為∠BEF，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.課堂小結(jié)1.

知識(shí)清單：(1)平面內(nèi)兩直線的夾角.(2)異面直線所成的角.(3)利用異面直線所成的角證明兩直線垂直.2.

方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.

常見誤區(qū)：容易忽視異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°.隨堂演練31234√1.垂直于同一條直線的兩條直線一定A.平行 B.相交C.異面

D.以上都有可能解析1234在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的直線有A.1條 B.2條C.3條 D.4條√和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1，故選B.解析1234如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120°，則BD與AC所成角的大小為________.60°依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.解析1234如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，則異面直線DE與A