計(jì)算方法電子教案第三章

計(jì)算方法電子教案第三章第1頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三章數(shù)值積分與微分

在科學(xué)和工程技術(shù)問(wèn)題中,經(jīng)常要計(jì)算一些定積分和微分,但是由于很多函數(shù)只能用表格表示,或者解析式非常復(fù)雜,或原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.這樣就只能用數(shù)值方法求出它們滿足誤差要求的積分和導(dǎo)數(shù)的近似值.本章主要介紹常用的數(shù)值積分和數(shù)值微分方法.§3.1Newton-Cotes公式第2頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第3頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)值積分問(wèn)題可分解為下述的三個(gè)主要問(wèn)題:求積公式的具體構(gòu)造問(wèn)題;(2)精確性程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題;(3)誤差估計(jì)問(wèn)題.要解決第一個(gè)問(wèn)題,我們必須考慮節(jié)點(diǎn)xk和系數(shù)Ak的選擇而為了解決第二個(gè)問(wèn)題,將引入代數(shù)精度的概念;第三個(gè)問(wèn)題,則主要是借助于插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)估計(jì)公式來(lái)解決.代數(shù)精度:定義3.1:一個(gè)求積公式(3.1)若對(duì)f(x)=1,x,x2,…,xm精確成立,而對(duì)f(x)=xm+1不精確成立,則稱求積公式(3.1)具有m次代數(shù)精確度.可以看出m越大,求積公式(3.1)與原積分接近程度也越高.代數(shù)精度是衡量數(shù)值積分公式優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.第4頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.1:確定下面的求積公式,使其代數(shù)精度盡可能高第5頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四本節(jié)著重討論利用拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造一種常用的插值型求積公式——Newton-Cotes求積公式.3.1.1梯形公式利用拉格朗日線性插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造低階的數(shù)值求積公式.過(guò)a,b兩點(diǎn),得到拉格朗日線性插值多項(xiàng)式式(3.2)幾何意義如下圖1所示,所以我們也把式(3.2)叫做梯形求積公式,也可以簡(jiǎn)稱為梯形公式.第6頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四yxab0y=f(x)y=L1(x)圖1梯形公式的代數(shù)精度：第7頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此,梯形公式的代數(shù)精度是1次.表明如果被積函數(shù)為線性函數(shù),那么用梯形公式計(jì)算出的積分值是精確的.第8頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.1.2Simpson公式對(duì)于梯形公式,我們是采用拉格朗日線性插值多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行構(gòu)造的.為了減小誤差,可以增加求積節(jié)點(diǎn)的數(shù)量,構(gòu)造更高次的插值多項(xiàng)式來(lái)逼近被積函數(shù)f(x).現(xiàn)在我們用拉格朗日二次插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造求積公式.1、求積公式：第9頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四式(3.4)幾何意義如圖2所示,我們把式(3.4)叫做Simpson求積公式,也可以簡(jiǎn)稱為Simpson公式或拋物線公式.第10頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四y=f(x)y=L2(x)0baxy圖22、Simpson求積公式的代數(shù)精度和誤差余項(xiàng).第11頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表明如果被積函數(shù)為三次以下(包括三次)多項(xiàng)式函數(shù),那么用Simpson公式計(jì)算出的積分值是精確的.誤差余項(xiàng)：因?yàn)镾impson公式的代數(shù)精度是3次,所以先考慮構(gòu)造一個(gè)三次插值多項(xiàng)式P3(x)滿足以下條件.第12頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第13頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第14頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.1.3Newton-Cotes公式

討論:將區(qū)間[a,b]n等分,得到等距節(jié)點(diǎn),用拉格朗日n次插值多項(xiàng)式來(lái)逼近被積函數(shù)f(x).其得到的對(duì)應(yīng)數(shù)值求積公式.

第15頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第16頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四cotes系數(shù)的計(jì)算：當(dāng)n=1時(shí)，k=0,1當(dāng)n=2時(shí)，k=0,1,2第17頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用式(3.8)可以求出Cotes系數(shù),下表中列出了部分結(jié)果.很顯然,當(dāng)n=1和n=2時(shí),分別就是前面導(dǎo)出的梯形公式和Simpson公式.n12345678第18頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第19頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于n階Newton-Cotes求積公式，至少具有n次代數(shù)精度?？梢宰C明：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度，而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)具有n+1次代數(shù)精度。討論：1、Newton-Cotes求積公式的收斂性第20頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四很顯然，Newton-Cotes求積公式是收斂的。2、穩(wěn)定性主要研究計(jì)算求積公式(3.1)時(shí)，當(dāng)f(xk)有誤差時(shí),I(f)的誤差是否會(huì)增長(zhǎng)?第21頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第22頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第23頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由此當(dāng)n≤7時(shí)，Newton-Cotes求積公式數(shù)值穩(wěn)定，因此一般情況下n≥8的Newton-Cotes求積公式不采用。為方便使用Newton-Cotes公式,將3~6階Newten-Cotes積分公式歸納如下:第24頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第25頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第26頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第27頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.2復(fù)化積分公式3.2.1復(fù)化梯形公式第28頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第29頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.2.2復(fù)化Simpson公式第30頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.4用n=8的復(fù)化梯形公式及n=4的復(fù)化Simpson公式,計(jì)算積分第31頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解:只要將區(qū)間[0,1]分為8等分,用復(fù)化梯形公式時(shí)n=8,h=0.125,對(duì)復(fù)合Simpson公式取n=4,h=0.25.計(jì)算各分點(diǎn)xk的函數(shù)值f(xk).由公式(3.11)及式(3.13)得下表:kxkf(xk)kxkf(xk)001.000000050.6250.936155610.1250.997397860.750.908851620.250.989615870.8250.877192530.3750.9767267810.841470940.50.9588510由式(3.11)及式(3.13)得第32頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第33頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第34頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.5若用復(fù)化梯形公式求的近似值,問(wèn)要將積分區(qū)間[0,1]分成多少份才能保證計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字?若用復(fù)化Simpson求積公式呢?解:(1)用復(fù)化梯形求積公式即若用復(fù)化梯形公式求I(f)的近似值,需將[0,1]41等分才能保證計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字.第35頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)用復(fù)化Simpson求積公式§3.2.3逐次分半梯形積分公式與龍貝格積分公式一、逐次分半梯形積分公式1、基本步驟:第36頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第37頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第38頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第39頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第40頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第41頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第42頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第43頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例3.6用變步長(zhǎng)的復(fù)合Simpson公式計(jì)算定積分

解：利用例3.4給出的結(jié)果，先取h=b-a=1,則：將步長(zhǎng)折半，h=0.5,則第44頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四再將步長(zhǎng)折半，h=0.25,由例3.4可得。第45頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、Romberg算法Romberg算法是利用復(fù)合梯形公式，在對(duì)積分區(qū)間的步長(zhǎng)逐次折半的過(guò)程中，求得積分的近似值序列（其中k表示對(duì)求積區(qū)間[a,b]的對(duì)分次數(shù),k=0,1,2,…),并且利用誤差補(bǔ)償?shù)姆椒?，逐步將加?遞推)成具有高精度的積分近似值。第46頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由3.16式第47頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第48頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四T—數(shù)表kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)0123T0(0)T0(1)T0(2)T0(3)T1(0)T1(1)T1(2)T2(0)T2(1)T3(0)梯形公式辛普生公式Cotes公式龍貝格公式第49頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第50頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)00.9207354910.939793280.9461458820.944513520.946086930.9460830030.945690860.946083310.946083070.94608307第51頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第52頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.3Gauss型求積公式一.問(wèn)題：在節(jié)點(diǎn)數(shù)目固定為n+1的條件下,能否恰當(dāng)?shù)剡x擇節(jié)點(diǎn)位置和相應(yīng)的系數(shù),使求積公式具有最大的代數(shù)精度.首先分析一下對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn),求積公式(3.1)可以達(dá)到的最大代數(shù)精度是多少?設(shè)上述求積公式對(duì)所有m(m待定)次多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的,于是有第53頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于a0,a1,…,am的任意性,(3.35)式成立的充分必要條件是第54頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在方程組(3.36)中有2n+2個(gè)待定常數(shù),所以m最大為2n+1,即對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式,可能達(dá)到最大代數(shù)精度為2n+1.并且可以證明方程組(3.36)當(dāng)m=2n+1時(shí)是可解的,也就是說(shuō),確實(shí)可以找到一組xk和Ak使求積公式(3.33)達(dá)到2n+1次代數(shù)精度.下面的問(wèn)題是如何選取這些節(jié)點(diǎn)xk、Ak.第55頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第56頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第57頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第58頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第59頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第60頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第61頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第62頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理3.2Gauss型求積公式的系數(shù)Ak>0(k=0,1,…,n).證明:由于Gauss型求積公式對(duì)任何不大于(2n+1)次的多項(xiàng)式精確成立,若取§3.3.1Gauss-Legendre求積公式

第63頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第64頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四nxkAknxkAk0025±0.9324695142±0.6612093865±0.23861918610.171324492403607615730046791393461±0.577350269212±0.774596669200.55555555560.88888888896±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918373±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515497±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378344±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889表3.2第65頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第66頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第67頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Gauss-Legendre求積公式,必須用變量替換方法把區(qū)間[a,b]變換到[-1,1].替換過(guò)程如下.令第68頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第69頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.3.2Gauss-Chebyshev求積公式第70頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第71頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第72頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第73頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第74頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第75頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第76頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第77頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.4數(shù)值微分

一個(gè)函數(shù)是初等函數(shù),我們可以用求導(dǎo)法則來(lái)求得其導(dǎo)函數(shù)或在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.但是如果我們只知道一個(gè)函數(shù)在若干已知離散點(diǎn)上的函數(shù)值則我們就必須利用數(shù)值方法來(lái)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這就需要數(shù)值微分方法.3.4.1數(shù)值微分中最簡(jiǎn)單的方法,也是最基本的方法,就是利用差商替代導(dǎo)數(shù).在微積分中,導(dǎo)數(shù)使用極限來(lái)定義的,如:第78頁(yè)，共91頁(yè)，2023年，2月20日，星期四式(3.42)~(3.44)也分別稱為向前差商數(shù)值微分公式、向后差商數(shù)值微分公式和中心差商數(shù)值微分公式.對(duì)于這三個(gè)數(shù)值微分公式的誤差,我們可以利用泰勒展開(kāi)式求得:(1)向前差商數(shù)值微分公式,由Taylor展開(kāi)式第79頁(yè)