2022-2023學(xué)年山西省太原市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山西省太原市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】直接解組合數(shù)方程，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得：n=9.故選：C2．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二項(xiàng)分布的均值和方差公式列方程組求解．【詳解】由題意，解得．故選：A．3．上午要上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育和外語(yǔ)四門功課，而數(shù)學(xué)老師因故不能上第二節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是（

）A．24 B．22 C．20 D．12【答案】D【分析】按照特殊元素優(yōu)先的原則先排數(shù)學(xué)課再對(duì)其余三門功課全排列即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)教師因故不能上第二節(jié)和第四節(jié)課，所以先排數(shù)學(xué)老師的課，共有種排課方案，然后再排剩下三位老師的課，共有種排課方案，由分步計(jì)數(shù)乘法原理可得共有種排課方案，故選：.4．在含4件次品的6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，其中含有的次品數(shù)為則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由題知，可取1，2，3，求得的分布列，進(jìn)而可求【詳解】由題知，可取1，2，3，則，，，.故選：D5．有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，現(xiàn)不放回從中取2件產(chǎn)品，每次一件，則在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用條件概率公式，結(jié)合古典概型計(jì)算即可.【詳解】法一：設(shè)第一次取得次品為事件A，第二次取得正品為事件B，則，所以.法二：在第一次拿出一件次品后還有6件，其中4件正品，2件次品，故第二次拿出正品的概率為.故選：B.6．在如圖所示的三角形邊上的9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，可構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．69 B．70 C．74 D．84【答案】A【解析】先計(jì)算能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)的總數(shù)，再減去不符合條件的可得答案,【詳解】三角形邊上的9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，共有個(gè)，當(dāng)三點(diǎn)在一條線上時(shí)構(gòu)不成三角形，有個(gè)，所以符合條件的個(gè)數(shù)84-15=69，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查組合的應(yīng)用，常見(jiàn)組合數(shù)的求法有直接法和間接法.7．設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用賦值法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)，對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，所以，，，C對(duì)D錯(cuò).故選：C.8．四種不同的顏色涂在如圖所示的6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，滿足條件的涂法數(shù)有（

）種A．24 B．72 C．120 D．144【答案】C【分析】由第一類區(qū)域6與區(qū)域4相同，涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域1有3種方法，涂區(qū)域4有2種方法，涂區(qū)域3有2種方法，涂區(qū)域2有1種方法，第二類區(qū)域6與區(qū)域4不相同，涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域1有3種方法，涂區(qū)域4有2種方法，涂區(qū)域6有1種方法，再分類，若區(qū)域6與區(qū)域3相同，涂區(qū)域2有2種方法；若區(qū)域6與區(qū)域3不相同，涂區(qū)域3，2有1種方法，分別利用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】解：第一類：若區(qū)域6與區(qū)域4相同，涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域1有3種方法，涂區(qū)域4有2種方法，涂區(qū)域3有2種方法，涂區(qū)域2有1種方法，則不同的涂色方案有種；第二類：若區(qū)域6與區(qū)域4不相同，涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域1有3種方法，涂區(qū)域4有2種方法，涂區(qū)域6有1種方法，再分類，若區(qū)域6與區(qū)域3相同，涂區(qū)域2有2種方法；若區(qū)域6與區(qū)域3不相同，涂區(qū)域3，2有1種方法；則不同的涂色方案有種；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方案有種.故選：C.二、多選題9．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布推出，根據(jù)公式先計(jì)算出、，由此分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)果．【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯(cuò)誤；在D中，，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．取出的白球個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布B．取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布C．取出2個(gè)白球的概率為D．取出球總得分最大的概率為【答案】BD【分析】A、B根據(jù)題設(shè)描述寫出取出的白球個(gè)數(shù)X、黑球個(gè)數(shù)Y的可能情況，并求出對(duì)應(yīng)情況的概率，易得它們都服從超幾何分布；進(jìn)而可判斷C、D的正誤.【詳解】A：取出白球個(gè)數(shù)X可能為0、1、2、3、4，則，，，，，所以，即取出的白球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，錯(cuò)誤；B：同A，取出黑球個(gè)數(shù)Y可能為0、1、2、3、4，易得，即取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布，正確；C：由A知取出2個(gè)白球的概率為，錯(cuò)誤；D：總得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率為，正確.故選：BD11．箱子中有6個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球．每次從箱子中隨機(jī)的摸出一個(gè)球，摸出的球不放回．設(shè)事件A表示“第1次摸球，摸到紅球”，事件B表示“第2次摸球，摸到紅球”則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用條件概率及全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，A正確；PBA由全概率公式可知：所以BC錯(cuò)誤，D正確.故選：AD12．“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個(gè)數(shù)是84B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．在“楊輝三角”中，當(dāng)時(shí)，從第2行起，每一行的第3列的數(shù)字之和為286D．在“楊輝三角”中，第行所有數(shù)字的平方和恰好是第行的中間一項(xiàng)的數(shù)字【答案】ABCD【分析】根據(jù)給定的“楊輝三角”，結(jié)合二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算、組合數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷作答.【詳解】在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個(gè)數(shù)是，A正確；由“第行所有數(shù)之和為”猜想：，因?yàn)?，則令得：，B正確；在“楊輝三角”中，當(dāng)時(shí)，從第2行起，每一行的第3列的數(shù)字之和為：，C正確；在“楊輝三角”中，第行所有數(shù)字的平方和恰好是第行的中間一項(xiàng)的數(shù)字，即因?yàn)閷?duì)應(yīng)相乘可得的系數(shù)為，而二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，，則的系數(shù)為：，所以，D正確.故選：ABCD三、填空題13．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）；【答案】90【詳解】先選三個(gè)不同場(chǎng)館中只去一名志愿者，共有種選法；剩下的兩個(gè)場(chǎng)館只需各取兩名志愿者，共有種選法，由乘法原理得分配方案有種．14．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是__________.【答案】##【分析】利用的展開(kāi)式的通項(xiàng)得出，的系數(shù)，繼而由得出的系數(shù).【詳解】，因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是的系數(shù)是，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：四、雙空題15．甲?乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，則___________；___________.【答案】

【分析】時(shí)，甲乙比賽四局，則甲要贏3局或4局才能獲勝，計(jì)算，可得答案.【詳解】時(shí)，甲乙比賽四局甲獲勝，則甲要贏3局或4局才能獲勝，所以；.故答案為：①；②.五、填空題16．在明代珠算發(fā)明之前，我們的先祖從春秋開(kāi)始多是用算籌為工具來(lái)記數(shù)、列式和計(jì)算.算籌實(shí)際上是一根根相同長(zhǎng)度的小木棍，如圖，是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法，例如：47可以表示為“”，如果用算籌表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)至少要用8根小木棍的概率為_(kāi)_________.【答案】【分析】表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有種情況，由于至少要用8根小木根的對(duì)立事件為用掉5根，6根，7根這三種情況，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有種，從而求出至少要用8根小木棍的概率.【詳解】至少要用8根小木根的對(duì)立事件為用掉5根，6根，7根這三種情況，用5根小木棍為1、2、6這一種情況的全排列，6根有123，127，163，167這四種情況的全排列，7根有124，128，164，168，137，267，263這七種情況的全排列，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有種，表示一個(gè)不含“0”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有種情況故至少要用8根小木根的概率為.故答案為：.六、解答題17．已知展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】1利用公式展開(kāi)得前三項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為22，即可求出n．2利用通項(xiàng)公式求解展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)即可．3利用通項(xiàng)公式求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【詳解】解：由題意，展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．1二項(xiàng)式定理展開(kāi)：前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為：，解得：或舍去．即n的值為6．2由通項(xiàng)公式，令，可得：．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為；是偶數(shù)，展開(kāi)式共有7項(xiàng)則第四項(xiàng)最大展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）有4名學(xué)生參加爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果?（2）書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的方法？（3）由1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1，2都不與5相鄰的五位數(shù)有多少個(gè)？（4）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，有多少種不同的方法？【答案】（1）64；（2）504；（3）36；（4）288.【分析】（1）由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）討論3本新書都不相鄰、3本新書有兩種相鄰、3本新書相鄰結(jié)合排列組合知識(shí)求解；（3）討論當(dāng)1，2不相鄰且不與5相鄰、當(dāng)1，2相鄰且不與5相鄰結(jié)合排列組合知識(shí)求解；（4）由捆綁法和插空法求解即可；【詳解】（1）若4人爭(zhēng)奪這三科的冠軍，每科冠軍只有一人，則每科冠軍有4種情況，則三科共有種結(jié)果；故答案為：64.（2）3本新書都不相鄰共有：種，3本新書有兩種相鄰共有：種，3本新書相鄰共有：種，所以共有種.故答案為：504.（3）由題意，可將3，4全排列，有種排法；當(dāng)1，2不相鄰且不與5相鄰時(shí)，有種排法；當(dāng)1，2相鄰且不與5相鄰時(shí)，有種排法，故滿足題意的數(shù)有個(gè).故答案為：36.（4）先排三個(gè)男生有種不同的方法，然后再?gòu)?名女生中任取2人“捆”在一起記作，共有種不同排法，剩下一名女生記作，讓插入男生旁邊4個(gè)位置的兩個(gè)位置有，此時(shí)共有種，又男生甲不在兩端，其中甲在兩端的情況有：種不同的排法，共有種不同排法.故答案為：288.19．某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.(1)求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率；(2)設(shè)甲公司答對(duì)題數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(3)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為，方差為；(3)甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大.【分析】（1）將甲乙共答對(duì)2道題的事件分拆成兩個(gè)互斥事件的和，再利用相互獨(dú)立事件的概率，結(jié)合古典概率求解作答.（2）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.（3）求出乙公司答對(duì)題數(shù)的期望和方差，與甲公司的比對(duì)作答.【詳解】（1）記“甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題”的事件為，它是甲乙各答對(duì)1道題的事件、甲答對(duì)2題乙沒(méi)答對(duì)題的事件和，它們互斥，則有，所以甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率是.（2）設(shè)甲公司答對(duì)題數(shù)為，則的取值分別為，，則的分布列為：123期望，方差.（3）設(shè)乙公司答對(duì)題數(shù)為，則的取值分別為，，，則的分布列為：0123期望，方差，顯然，所以甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大.20．2022年“五一”期間，為推動(dòng)消費(fèi)市場(chǎng)復(fù)蘇，補(bǔ)貼市民，深圳市各區(qū)政府發(fā)放各類消費(fèi)券，其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費(fèi)券，該消費(fèi)券包含，，，，，六個(gè)旅游項(xiàng)目，甲、乙、丙、丁四人每人計(jì)劃從中任選兩個(gè)不同的項(xiàng)目參加，且他們的選擇互不影響．(1)求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目的概率；(2)記為這四個(gè)人中選擇項(xiàng)目的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如果將甲、乙、丙、丁四個(gè)人改為個(gè)人，其他要求相同，問(wèn)：這個(gè)人中選擇項(xiàng)目的人數(shù)最有可能是多少人？【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由題得到每個(gè)人選擇項(xiàng)目的概率，即可求解；（2）根據(jù)題意可得到服從二項(xiàng)分布：，即可求其分布列和期望；（3）設(shè)選擇項(xiàng)目的人數(shù)最有可能為人，則通過(guò)可得，然后分被3除余2，被3除余1和能整除3，三種