計量經(jīng)濟學(xué) 假設(shè)檢驗

計量經(jīng)濟學(xué)假設(shè)檢驗1第1頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗在統(tǒng)計方法中的地位2第2頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的關(guān)系假設(shè)檢驗與區(qū)間估計是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分。假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的區(qū)別主要在于：區(qū)間估計是用給定的大概率推斷出總體參數(shù)的范圍，總體參數(shù)在估計前是未知的。假設(shè)檢驗是以小概率為標(biāo)準(zhǔn)，對總體的狀況所做出的假設(shè)進行判斷。如先對總體均值提出一個假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗這個假設(shè)是否成立。3第3頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)假設(shè)檢驗概述4第4頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四主要內(nèi)容假設(shè)檢驗的概念與思想假設(shè)檢驗的步驟假設(shè)檢驗中的小概率原理雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗假設(shè)檢驗中的P值5第5頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗的概念與思想6第6頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四什么是假設(shè)?(hypothesis)對總體參數(shù)的的數(shù)值所作的一種陳述總體參數(shù)包括總體均值、成數(shù)、方差等分析之前必需陳述我認為該地區(qū)新生嬰兒的平均體重為3190克!7第7頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四什么是假設(shè)檢驗?(hypothesistesting)1.事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否成立2.有參數(shù)假設(shè)檢驗和非參數(shù)假設(shè)檢驗3.采用邏輯上的反證法，依據(jù)統(tǒng)計上的小概率原理8第8頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗的基本思想...因此我們拒絕假設(shè)μ=50...如果這是總體的真實均值樣本均值

μ

=50抽樣分布H0這個值不像我們應(yīng)該得到的樣本均值...209第9頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體假設(shè)檢驗的過程抽取隨機樣本均值

X=20我認為人口的平均年齡是50歲提出假設(shè)拒絕假設(shè)!

別無選擇.作出決策10第10頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗的步驟11第11頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗的步驟提出假設(shè)確定適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量規(guī)定顯著性水平計算檢驗統(tǒng)計量的值作出統(tǒng)計決策12第12頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四提出原假設(shè)和備擇假設(shè)什么是原假設(shè)？(nullhypothesis)待檢驗的假設(shè)，又稱“0假設(shè)”表示為H0什么是備擇假設(shè)？(alternativehypothesis)與原假設(shè)對立的假設(shè)表示為H113第13頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四確定適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量什么檢驗統(tǒng)計量？1.用于假設(shè)檢驗決策的統(tǒng)計量2.選擇統(tǒng)計量的方法與參數(shù)估計相同，需考慮是大樣本還是小樣本總體方差已知還是未知檢驗統(tǒng)計量的基本形式為14第14頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四規(guī)定顯著性水平(significantlevel)什么顯著性水平？1. 是一個概率值2. 原假設(shè)為真時，拒絕原假設(shè)的概率，被稱為抽樣分布的拒絕域3. 表示為，常用的值有0.01,0.05,0.104. 由研究者事先確定15第15頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四作出統(tǒng)計決策計算檢驗的統(tǒng)計量根據(jù)給定的顯著性水平，查表得出相應(yīng)的臨界值z或z/2，t或t/2。將檢驗統(tǒng)計量的值與臨界值進行比較得出接受或拒絕原假設(shè)的結(jié)論16第16頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗中的小概率原理17第17頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗中的小概率原理什么小概率？1. 在一次試驗中，一個幾乎不可能發(fā)生的事件發(fā)生的概率2. 在一次試驗中小概率事件一旦發(fā)生，我們就有理由拒絕原假設(shè)3. 小概率由研究者事先確定18第18頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗中的小概率原理31903205.683174.323210由以往的資料可知，某地新生兒的平均體重為3190克，從今年的新生兒中隨機抽取100個，測得其平均體重為3210克，問今年新生兒的平均體重是否為3190克（即與以往的體重是否有顯著差異）？為方便，設(shè)今年新生兒總體的體重標(biāo)準(zhǔn)差為80克。右圖是在假設(shè)今年新生兒總體平均體重為3190克（這就是原假設(shè)）的情況下，樣本平均體重的抽樣分布（標(biāo)準(zhǔn)差為80克，樣本容量為100

），可以看出95%樣本均值落在紅線之間的區(qū)域。小概率原理：我們認為某次抽樣得到的樣本平均體重不可能落在紅線之外的區(qū)域(即落在紅線之外被看成是小概率事件)，如果落在紅線之外，則是在一次試驗中小概率事件發(fā)生了，那么我們據(jù)此認為“今年新生兒總體平均體重為3190克”這一假設(shè)是不成立的。紅線的位置在哪里，即顯著性水平是多大，由研究者事先確定。0.02519第19頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗中的兩類錯誤

(決策風(fēng)險)

20第20頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗中的兩類錯誤1. 第一類錯誤（棄真錯誤）原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)會產(chǎn)生一系列后果第一類錯誤的概率為，被稱為顯著性水平2. 第二類錯誤（取偽錯誤）原假設(shè)為假時接受原假設(shè)第二類錯誤的概率為(Beta)21第21頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四H0:無罪陪審團審判裁決實際情況無罪有罪無罪正確錯誤有罪錯誤正確H0檢驗決策實際情況H0為真H0為假接受H0正確決策(1–a)第二類錯誤(b)拒絕H0第一類錯誤(a)正確決策(1-b)假設(shè)檢驗就好像一場審判過程統(tǒng)計檢驗過程假設(shè)檢驗中的兩類錯誤（決策結(jié)果）22第22頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四錯誤和錯誤的關(guān)系你不能同時減少兩類錯誤!和的關(guān)系就像翹翹板，小就大，大就小23第23頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四它們這種關(guān)系可通過正態(tài)分布的統(tǒng)計檢驗，圖示如下：24第24頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四

α/2

α/2Xφ(x)

增大樣本容量n時,可以使α和β同時減小.注意:

z1-α/2

-z1-α/2βμ=μ0μ≠μ0(μ>μ0)25第25頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四影響錯誤的因素1. 總體參數(shù)的真值隨著假設(shè)的總體參數(shù)的減少而增大2. 顯著性水平當(dāng)減少時增大3. 總體標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)增大時增大4. 樣本容量n當(dāng)n減少時增大26第26頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四哪類錯誤是首要控制目標(biāo)一般來講，我們更關(guān)心原假設(shè)為真時，卻把它拒絕的可能性，而這正是錯誤所表現(xiàn)的內(nèi)容。錯誤是首要控制目標(biāo)。27第27頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗28第28頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題雙側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0是何種檢驗，決定于備擇假設(shè)的不等式形式與方向29第29頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)屬于決策中的假設(shè)檢驗不論是拒絕H0還是不能拒絕H0，都必需采取相應(yīng)的行動措施例如，某種零件的尺寸，要求其平均長度為10cm，大于或小于10cm均屬于不合格我們想要證明(檢驗)大于或小于這兩種可能性中的任何一種是否成立建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

=10H1:

1030第30頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域1-置信水平31第31頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平32第32頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值

a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平33第33頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平34第34頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四單側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)將研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)作為備擇假設(shè)H1例如,一個研究者總是想證明自己的研究結(jié)論是正確的一個銷售商總是想正確供貨商的說法是不正確的備擇假設(shè)的方向與想要證明其正確性的方向一致將研究者想收集證據(jù)證明其不正確的假設(shè)作為原假設(shè)H0先確立備擇假設(shè)H135第35頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四單側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)一項研究表明，采用新技術(shù)生產(chǎn)后，將會使產(chǎn)品的使用壽命明顯延長到1500小時以上。檢驗這一結(jié)論是否成立研究者總是想證明自己的研究結(jié)論(壽命延長)是正確的備擇假設(shè)的方向為“>”(壽命延長)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

1500H1:

150036第36頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四單側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)一項研究表明，改進生產(chǎn)工藝后，會使產(chǎn)品的廢品率降低到2%以下。檢驗這一結(jié)論是否成立?研究者總是想證明自己的研究結(jié)論(廢品率降低)是正確的備擇假設(shè)的方向為“<”(廢品率降低)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:2%H1:

<2%37第37頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四單側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)某燈泡制造商聲稱，該企業(yè)所生產(chǎn)的燈泡的平均使用壽命在1000小時以上。如果你準(zhǔn)備進一批貨，怎樣進行檢驗檢驗權(quán)在銷售商一方作為銷售商，你總是想收集證據(jù)證明生產(chǎn)商的說法(壽命在1000小時以上)是不是正確的備擇假設(shè)的方向為“<”(壽命不足1000小時)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

1000H1:

<100038第38頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四單側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平39第39頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四左側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量40第40頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四左側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平41第41頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四右側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量42第42頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四右側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量抽樣分布1-置信水平拒絕域43第43頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗中的P值44第44頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四什么是P值?

(P-value)是一個概率值如果原假設(shè)為真，P-值是抽樣分布中大于或小于樣本統(tǒng)計量的概率左側(cè)檢驗時，P-值為曲線上方小于等于檢驗統(tǒng)計量部分的面積右側(cè)檢驗時，P-值為曲線上方大于等于檢驗統(tǒng)計量部分的面積被稱為觀察到的(或?qū)崪y的)顯著性水平45第45頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四雙側(cè)檢驗的P值/

2/

2Z拒絕域拒絕域H0值臨界值計算出的樣本統(tǒng)計量計算出的樣本統(tǒng)計量臨界值1/2P值1/2P值46第46頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四左側(cè)檢驗的P值H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平計算出的樣本統(tǒng)計量P值47第47頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四右側(cè)檢驗的P值H0值臨界值a拒絕域抽樣分布1-置信水平計算出的樣本統(tǒng)計量P值48第48頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四利用P值進行檢驗

(決策準(zhǔn)則)單側(cè)檢驗若p-值>

,不能拒絕H0若p-值<,拒絕H0雙側(cè)檢驗若p-值>

/2,不能拒絕H0若p-值</2,拒絕H049第49頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)一個總體參數(shù)的檢驗50第50頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四主要內(nèi)容總體均值檢驗總體成數(shù)的檢驗總體方差的檢驗用置信區(qū)間進行檢驗51第51頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一個總體參數(shù)的檢驗Z檢驗（單尾和雙尾）

t檢驗（單尾和雙尾）Z檢驗（單尾和雙尾）

2檢驗（單尾和雙尾）均值一個總體成數(shù)方差52第52頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體均值檢驗53第53頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體均值的檢驗

(檢驗統(tǒng)計量)總體是否已知？用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替

t檢驗小樣本容量n否是z檢驗

z檢驗大54第54頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體均值的檢驗

(2

已知或2未知大樣本)1.假定條件總體服從正態(tài)分布若不服從正態(tài)分布,可用正態(tài)分布來近似(n30)2.使用Z-統(tǒng)計量2

已知：2

未知：55第55頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

已知均值的檢驗

(例題分析)【例】某機床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為0=0.081mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為=0.025。今換一種新機床進行加工，抽取n=200個零件進行檢驗，得到的橢圓度為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異？（＝0.05）雙側(cè)檢驗56第56頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四H0:0=0.081H1:00.081=0.05n

=200臨界值(s):2

已知均值的檢驗

(例題分析)檢驗統(tǒng)計量:決策:結(jié)論:

在

=0.05的水平上拒絕H0有證據(jù)表明新機床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.02557第57頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

已知均值的檢驗

(P值的計算與應(yīng)用)第1步：進入Excel表格界面，選擇“插入”下拉菜單第2步：選擇“函數(shù)”點擊第3步：在函數(shù)分類中點擊“統(tǒng)計”，在函數(shù)名的菜單下選擇字符“NORMSDIST”然后確定第4步：將Z的絕對值2.83錄入，得到的函數(shù)值為

0.997672537P值=2(1－0.997672537)=0.004654P值遠遠小于，故拒絕H058第58頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)【例】根據(jù)過去大量資料，某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布N~(1020，1002)?，F(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16只，測得樣本平均壽命為1080小時。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高？(＝0.05)單側(cè)檢驗59第59頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)H0:

1020H1:>1020=0.05n

=16臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上拒絕H0有證據(jù)表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.64560第60頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某電子元件批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均使用壽命1200小時。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產(chǎn)的元件質(zhì)量大大超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進行驗證，隨機抽取了100件作為樣本，測得平均使用壽命1245小時，標(biāo)準(zhǔn)差300小時。能否說該廠生產(chǎn)的電子元件質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？(＝0.05)單側(cè)檢驗61第61頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:1200H1:>1200=0.05n=100臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上不能拒絕H0不能認為該廠生產(chǎn)的元件壽命顯著地高于1200小時決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.64562第62頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體均值的檢驗

(2未知小樣本)1. 假定條件總體為正態(tài)分布2未知，且小樣本2. 使用t

統(tǒng)計量63第63頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某機器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊肥皂為樣本，測得平均厚度為5.3cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗機器性能良好的假設(shè)。雙側(cè)檢驗64第64頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:=5H1:

5=0.05df=10-1=9臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上拒絕H0說明該機器的性能不好

決策：結(jié)論：t02.262-2.262.025拒絕H0拒絕H0.02565第65頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

未知小樣本均值的檢驗

(P值的計算與應(yīng)用)第1步：進入Excel表格界面，選擇“插入”下拉菜單第2步：選擇“函數(shù)”點擊，并在函數(shù)分類中點擊“統(tǒng)計”，然后，在函數(shù)名的菜單中選擇字符“TDIST”，確定第3步：在彈出的X欄中錄入計算出的t值3.16

在自由度(Deg-freedom)欄中錄入9

在Tails欄中錄入2，表明是雙側(cè)檢驗(單測檢驗則在該欄內(nèi)錄入1)P值的結(jié)果為0.01155<0.025，拒絕H066第66頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)

【例】一個汽車輪胎制造商聲稱，某一等級的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對一個由20個輪胎組成的隨機樣本作了試驗，測得平均值為41000公里，標(biāo)準(zhǔn)差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數(shù)服從正態(tài)分布，我們能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出結(jié)論，該制造商的產(chǎn)品同他所說的標(biāo)準(zhǔn)相符？(=0.05)單側(cè)檢驗！67第67頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四均值的單尾t檢驗

(計算結(jié)果)H0:

40000H1:<40000=0.05df=20-1=19臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:

在

=0.05的水平上不能拒絕H0有證據(jù)表明輪胎使用壽命顯著地大于40000公里決策:

結(jié)論:

-1.7291t0拒絕域.0568第68頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體比例的檢驗

(Z

檢驗)69第69頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一個總體比例檢驗假定條件有兩類結(jié)果總體服從二項分布可用正態(tài)分布來近似比例檢驗的Z統(tǒng)計量0為假設(shè)的總體比例70第70頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一個總體比例的檢驗

(例題分析)【例】一項統(tǒng)計結(jié)果聲稱，某市老年人口（年齡在65歲以上）的比重為14.7%，該市老年人口研究會為了檢驗該項統(tǒng)計是否可靠，隨機抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡在65歲以上。調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比重為14.7%的看法？(=0.05)雙側(cè)檢驗71第71頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一個總體比例的檢驗

(例題分析)H0:=14.7%H1:

14.7%=0.05n

=400臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上不能拒絕H0該市老年人口比重為14.7%決策:結(jié)論:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.02572第72頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四總體方差的檢驗

(2檢驗)73第73頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四方差的卡方(2)

檢驗檢驗一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布檢驗統(tǒng)計量樣本方差假設(shè)的總體方差74第74頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四方差的卡方(2)

檢驗

(例題分析)【例】某廠商生產(chǎn)出一種新型的飲料裝瓶機器，按設(shè)計要求，該機器裝一瓶一升(1000cm3)的飲料誤差上下不超過1cm3。如果達到設(shè)計要求，表明機器的穩(wěn)定性非常好?，F(xiàn)從該機器裝完的產(chǎn)品中隨機抽取25瓶，分別進行測定(用樣本減1000cm3)，得到如下結(jié)果。檢驗該機器的性能是否達到設(shè)計要求

(=0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1綠色健康飲品綠色健康飲品雙側(cè)檢驗75第75頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四方差的卡方(2)

檢驗

(例題分析