計算方法與誤差

計算方法與誤差第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四1.修正值(Correction)

:為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測量結(jié)果上的值。

修正值真值測得值－特點：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。誤差－有關(guān)誤差的幾個概念第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四【例1】用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V

，被測電壓的修正值為－5V

，則修正后的測量結(jié)果為

226+(－5V)=221V。

有關(guān)誤差的幾個概念第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四2.引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義:

該標(biāo)稱范圍（或量程）上限引用誤差

儀器某標(biāo)稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對誤差

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

有關(guān)誤差的幾個概念第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四我國電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級（AccuracyClass）就是按照引用誤差進行分級的。當(dāng)一個儀表的等級s選定后，用此表測量某一被測量時，所產(chǎn)生的最大絕對誤差為：最大相對誤差為絕對誤差的最大值與該儀表的標(biāo)稱范圍（或量程）上限xm成正比選定儀表后，被測量的值越接近于標(biāo)稱范圍（或量程）上限，測量的相對誤差越小，測量越準(zhǔn)確

（公式2）（公式1）3.電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級有關(guān)誤差的幾個概念第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四【例2

】檢定一只2.5級、量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小于2V，問這只電壓表是否合格？由引用誤差公式，該電壓表的引用誤差為：由于所以該電壓表合格?！窘?】【解2】0.1級電流表允許的相對引用誤差為±0.1％，允許的最大絕對誤差為10×0.1％＝0.01(A)＝10mA。因8mA＜10mA，故該電流表合格。第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四【例3】某1.0級電流表，滿度值（標(biāo)稱范圍上限）為100，求測量值分別為100，80和20時的絕對誤差和相對誤差。根據(jù)題意得由公式1可知，最大絕對誤差為：

相對誤差分別為：

可見，在同一標(biāo)稱范圍內(nèi)，測量值越小，其相對誤差越大。

【解】第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四我國電工儀表共分七級：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0。0.1級表的引用誤差的最大值不超過±0.1％；0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5％等。工業(yè)自動化儀表的精度等級一般在0.2～5.0級之間。3.電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級有關(guān)誤差的幾個概念第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四誤差的分類按誤差性質(zhì)分類，誤差可分為：

1、偶然誤差(又稱隨機誤差)－在同一測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化著的誤差。

2、系統(tǒng)誤差－絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律變化的誤差。

3、粗大誤差－超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差。各類誤差之間在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三類誤差的關(guān)系及其對測得值的影響標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測得值

奇異值

系統(tǒng)誤差和隨機誤差的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不能混淆的。但在測量實踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說一個具體誤差究竟屬于哪一類，應(yīng)根據(jù)所考察的實際問題和具體條件，經(jīng)分析和實驗后確定。第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四如一塊電表，它的刻度誤差在制造時可能是隨機的，但用此電表來校準(zhǔn)一批其它電表時，該電表的刻度誤差就會造成被校準(zhǔn)的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準(zhǔn)，用它來測量某電源的電壓時必帶來系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負，就使得這些測量誤差具有隨機性。誤差性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四精度定義：反映測量結(jié)果與真值接近程度的量稱為精度。誤差大精度低、誤差小精度高。精度分為：準(zhǔn)確度（Correctness）－反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度精密度（Precision）－反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度精確度（Accuracy）－反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合的影響程度，其定量特征可用測量的不確定度（或）極限誤差來表示。第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四定義：在同一條件下多次測量同一量值時，絕對值與符號無法預(yù)知，但服從統(tǒng)計規(guī)律的誤差。隨機誤差tI(cps)例：用放射性儀器測量同一樣品第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四隨機誤差的基本特征對稱性－絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的幾率相等單峰性－絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)幾率大有界性－一定測量條件下誤差絕對值不會超過一定界限抵償性－測量次數(shù)足夠多時，誤差的算術(shù)平均值趨于零隨機誤差所具有的抵償性可以由其對稱性特征導(dǎo)出。對有限次測量，隨機誤差的算術(shù)平均值是一有界小量。對足夠多次測量，隨機誤差算術(shù)平均值趨于零。大部分隨機誤差均服從正態(tài)分布。第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四正態(tài)分布特征參數(shù)：數(shù)學(xué)期望、方差1、數(shù)學(xué)期望值2、方差3、平均誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ為曲線拐點A的橫坐標(biāo)0ρσθδ4、或然誤差第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四算術(shù)平均值（最大或然值）1、算術(shù)平均值的計算2、算術(shù)平均值的意義算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近。證明如下：由有整理后有第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四由隨機誤差的第四特征有：當(dāng)有所以有由此可見，對某一量進行無限多次測量，可得不受隨機誤差影響的測量值，或其影響可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，算術(shù)平均值被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。實際工作中，只能進行有限次測量，此時得到的算術(shù)平均值只能是真值的近似值。第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四測量的標(biāo)準(zhǔn)差測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也稱為均方根誤差由于隨機誤差的存在，等精度測量列中各個測得值一般皆不相同，它們圍繞著該測量列的算術(shù)平均值有一定的分散，此分散度說明了測量列中單次測得值的不可靠性，必須用一個數(shù)值作為其不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差就是為此引入的參數(shù)。第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值大小，反映了測量數(shù)據(jù)的集中程度。標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值小，該測量列相應(yīng)小的誤差就占優(yōu)勢，任一單次測得值對算術(shù)平均值的分散度就小，測量的可靠性就大，即測量精度高；標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值大，測量數(shù)據(jù)間分散程度大，精度就低。單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差是表征同一被測量的n次測量的測得值分散性的參數(shù)，可作為測量列中單次測量不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。測量的標(biāo)準(zhǔn)差——意義第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四在等精度測量列中，單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差計算的理論公式：

式中n——測量次數(shù)(應(yīng)充分大)；

δi——測得值與被測量的真值之差。測量的標(biāo)準(zhǔn)差——理論公式第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四在有限次測量情況下，可用殘余誤差代替真誤差，而得到標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。

測量的標(biāo)準(zhǔn)差——實際公式第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四或然誤差測量的標(biāo)準(zhǔn)差——其它公式平均誤差第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的1／n1/2，當(dāng)測量次數(shù)n愈大時，算術(shù)平均值愈接近被測量的真值，測量精度也愈高。測量的標(biāo)準(zhǔn)差——算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例：相同條件下對一物理量測量100次，依據(jù)這100測量結(jié)果求出標(biāo)準(zhǔn)差為0.05，現(xiàn)要求測量量的標(biāo)準(zhǔn)差不大于0.01，問如何安排對該量的測量。解：本題是已知σ，求σx的問題。由有即在相同條件下測量不少于25次，取其平均值作為測量結(jié)果，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差將不大于0.01。第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四評定算術(shù)平均值的其它標(biāo)準(zhǔn)

——或然誤差R或平均誤差T或然誤差R平均誤差T第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四解：例：用游標(biāo)卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位為mm）：

75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。求出算術(shù)平均值為：

求出殘余誤差和為：

校核∵結(jié)果一致∴計算結(jié)果正確第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)上述各個誤差計算公式可得單次測量值的均方差：算術(shù)平均值的均方差：或然誤差：平均誤差：第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四測量的極限誤差

測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為P，并使差值(1—P)可予忽略。t|δ|＝tσ2Φ(t)1－2Φ(t)測量次數(shù),n超出|δ|的測量次數(shù)0.6712340.67σ1σ2σ3σ4σ0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四單次測量的極限誤差工程問題中其它常用置信系數(shù)t值有t=2.58，P=99％；

t=2，P=95.44％；

t=1.96，P=95％通常情況下，選擇置信系數(shù)不同，確定的置信概率區(qū)間也不同。測量的極限誤差第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四算術(shù)平均值的極限誤差●測量次數(shù)較少時ta由

t

分布表查出；－置信系數(shù),由給定的置信概率P=l-α和自由度ν=n-1查t分布表來確定。

α－超出極限誤差的概率(稱顯著度或顯著水平)●測量次數(shù)較多時ta由

正態(tài)分布表查出；測量的極限誤差第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四解例題

某儀器在相同條件下對某量測量了10次，獲得以下數(shù)據(jù)。試判定該組測量數(shù)據(jù)是否可靠？100，95，98，106，121，109，99，84，104，99分析：在此情況下，實際是要考察測量數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布的規(guī)律。現(xiàn)落入x±1σ（91.85－111.15）數(shù)據(jù)數(shù)為8個現(xiàn)落入x±3σ（72.55－130.45）數(shù)據(jù)數(shù)為10個故可以認(rèn)為該批數(shù)據(jù)可靠第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四

例

對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：

802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值：標(biāo)準(zhǔn)差：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計算算術(shù)平均值的極限誤差

現(xiàn)求出自由度：ν＝n-1＝5取顯著性水平：α＝0.01由t分布表查得：求得極限誤差：若按正態(tài)分布計算，取α=0.01，相應(yīng)的置信概率P=1-α=0.99，由正態(tài)分布表查得t=2.60，則得算術(shù)平均值的極限誤差為當(dāng)測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結(jié)果有明顯差別。

第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四不等精度測量不等精度測量的概念在不同的測量條件下，用不同的儀器、不同的測量方法、不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這種測量稱為不等精度測量。常見不等精度測量的類型：用不同測量次數(shù)進行對比測量。用不同精度的儀器進行對比測量。用不同測量次數(shù)進行對比測量用同—臺儀器測量某一參數(shù)，先后用n1次和n2次進行測量，分別求得算術(shù)水平均值x1和x2。因為n1與n2不同，造成x1與x2的精度不一樣。用不同精度的儀器進行對比測量對于高精度或重要的測量任務(wù)，往往要用不同精度的儀器進行互比核對測量，顯然所得到的結(jié)果不會相同。第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四不等精度測量1、權(quán)的確定方法2、加權(quán)算術(shù)平均值為接近的任選參考值

測量結(jié)果的權(quán)可理解為，當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予的信賴程度。每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四不等精度測量3、各組標(biāo)準(zhǔn)差已知時的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差4、各組標(biāo)準(zhǔn)差未知時的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例：

對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結(jié)果為求各測量結(jié)果的權(quán)。解：因此各組的權(quán)可取成第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例：工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：

選取

x0=999.94第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例：工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。

解：由加權(quán)算術(shù)平均值得已知：第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)誤差在同一條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般不能采用算術(shù)平均值的方法來減少。系統(tǒng)誤差往往與隨機誤差混在一起，且影響程度比隨機誤差大，不解決系統(tǒng)誤差影響，對隨機誤差的處理就意義不大。定義、特點、意義第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)誤差(一)不變的系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，誤差符號和大小固定不變的系統(tǒng)誤差，稱為不變的系統(tǒng)誤差。(二)線性變化的系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，隨著測量值或時間的變化，誤差值是成比例地增大或減小，稱為線性變化的系統(tǒng)誤差。(三)周期性變化的系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，若隨著測量值或時間的變化，誤差是按周期性規(guī)律變化的，稱為周期性變化的系統(tǒng)誤差。(四)復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)——殘余誤差觀察法測量列組內(nèi)系統(tǒng)誤差的方法殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差，這種方法主要適用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差據(jù)此，可以按測量順序，將殘余誤差列表或作圖，即可判斷是否存在系統(tǒng)誤差。ν正、負出現(xiàn)無規(guī)律，無系統(tǒng)誤差第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四殘余誤差數(shù)值有規(guī)律地遞增或遞減，在測量開始與結(jié)束時誤差符號相反，存在線性系統(tǒng)誤差。殘余誤差符號有規(guī)律地逐漸由負變正、再由正變負，且循環(huán)交替重復(fù)變化，則存在周期性系統(tǒng)誤差。殘余誤差符號有規(guī)律地遞增或遞減，且有規(guī)律地逐漸由負變正、再由正變負且循環(huán)交替重復(fù)變化，故可能存在線性系統(tǒng)誤差與周期性系統(tǒng)誤差。第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四序號1234567891020.0620.0720.0620.0820.1020.1220.1420.1820.1820.21-0.06-0.05-0.06-0.04-0.02-0.00+0.02+0.06+0.06+0.09誤差順序由負到正，存在線性系統(tǒng)誤差例：恒溫箱溫度測量10次，得表結(jié)果，判斷是否存在系統(tǒng)誤差。第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)——秩和檢驗法——各測量組之間對某量進行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為將它們混合后，按大小順序重新排列，取測量次數(shù)較少的那一組，數(shù)出它的測得值在混合后的次序(即秩)，再將所有測得值的次序相加，即得秩和T。若兩組的測量次數(shù)n1、n2≤10，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù)和測量次數(shù)較多的組的次數(shù)，由秩和檢驗表2—10查得T-和T+(顯著度0.05)，若T-<T<T+，則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四秩和檢驗表n1n2T-T+24311253132641427416284182942021052133615347173572036822n1n2T-T+379243892739102931011314412244513274614304715334816364917394101842n1n2T-T+55193656204057224358234759255051026546628506730546832586933636103567n1n2T-T+77396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望當(dāng)n1、n2>10，秩和T近似服從正態(tài)分布

根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標(biāo)準(zhǔn)差σ，有

選取概率，由正態(tài)分布積分表查得ta，若判定：兩組數(shù)據(jù)間無系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例：對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組數(shù)據(jù)間有無系統(tǒng)誤差

解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表

計算秩和

找測量次數(shù)少的組根據(jù)

查表得

T1234567

14.714.8

15.215.614.6

15.015.1

因為故可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間無系統(tǒng)誤差。第48頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四3σ準(zhǔn)則(萊以特準(zhǔn)則)實際處理時，以貝塞爾公式算得σ，以代表真值。對某個可疑數(shù)據(jù)ld