計算機控制技術狀態(tài)反饋

計算機控制技術狀態(tài)反饋2023/5/71第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)狀態(tài)反饋及極點配置狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋極點配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定2023/5/72第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四將系統(tǒng)每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。一、狀態(tài)反饋反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋、輸出反饋原受控系統(tǒng)：線性反饋規(guī)律：2023/5/73第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：反饋增益矩陣：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：

一般D=0，可化簡為：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2023/5/74第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四極點配置：通過反饋增益矩陣F的設計，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在z平面期望的位置上。二、狀態(tài)反饋極點配置條件和算法1、極點配置算法(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。1）直接法求反饋矩陣F（維數(shù)較小時，n≤3）定理：(極點配置定理)對線性定常系統(tǒng)進行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點得到任意配置的充要條件是：狀態(tài)完全能控。注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環(huán)極點。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。2023/5/75第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式。(4)由確定反饋矩陣K：[例1]考慮線性定常系統(tǒng)其中：試設計狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為-2±j4和-10。[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性2023/5/76第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進行極點配置。（2）計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式設狀態(tài)反饋增益矩陣為：（3）計算期望的特征多項式2023/5/77第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四由得（4）確定F陣求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為：[例2]對如下的線性定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反饋對系統(tǒng)極點的影響[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性由對角線標準型判據(jù)可知，特征值為－1的狀態(tài)不能控。(2)假如加入狀態(tài)反饋陣F，得到反饋后的特征多項式為：2023/5/78第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四從中可以看出，對于－1的極點，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過f2去影響2這個極點。即狀態(tài)反饋對不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點。求將相等繁瑣，所以引入第二能控標準型法。2）第二能控標準型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時，n>3）1、首先將原系統(tǒng)化為第二能控標準型2、求出在第二能控標準型的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣2023/5/79第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四證明：原系統(tǒng)：第二能控標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/5/710第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四第二能控標準型：此時的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。能控標準型下狀態(tài)反饋后系統(tǒng)矩陣：[第二能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式]2023/5/711第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四

與理想極點多項式

比較，有第二能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：2023/5/712第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標準型的變換陣若給定狀態(tài)方程已是第二能控標準型，那么，無需轉換第二能控標準型法，求反饋增益矩陣K的步驟：2023/5/713第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四(3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點，寫出期望的特征多項式：(4)直接寫出在第二能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：第二能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解期望的閉環(huán)極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調(diào)量和調(diào)整時間等）2023/5/714第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四重新求解前面例1：（2）計算原系統(tǒng)的特征多項式：[解]：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標準型了，故系統(tǒng)能控，此時變換陣（3）計算期望的特征多項式（4）確定F陣所以狀態(tài)反饋矩陣K為：第二能控標準型下的狀態(tài)反饋矩陣為：2023/5/715第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時，n>3）為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定：其中是在期望極點多項式中以G代λ,得到的矩陣多項式：推導過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解2023/5/716第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四用愛克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)：所以：（2）確定2023/5/717第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四（3）所以狀態(tài)反饋矩陣F為：2023/5/718第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四期望極點選取的原則：1）n維控制系統(tǒng)有n個期望極點；2）期望極點是物理上可實現(xiàn)的，為實數(shù)或共軛復數(shù)對；3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點分布狀況的關系。4）離虛軸距離較近的主導極點收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠極點收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點的選取2023/5/719第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四輸出反饋及極點配置輸出到參考輸入的反饋狀態(tài)反饋（與古典控制反饋相同）輸出到狀態(tài)微分的反饋（極點配置）2023/5/720第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四輸出反饋兩種方式：輸出到輸入的反饋/輸出到狀態(tài)微分的反饋原受控系統(tǒng)：一、輸出到參考輸入的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。輸出反饋控制規(guī)律：輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/5/721第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四輸出反饋增益矩陣：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：結論3：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以不影響系統(tǒng)的可觀測性。古典控制中常采用的反饋形式。結論1：當HC＝K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個等價的狀態(tài)反饋。故輸出到參考輸入的反饋不改變系統(tǒng)的能控性。結論2：由于輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，所以輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，適合工程應用，性能較狀態(tài)反饋差。2023/5/722第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四原受控系統(tǒng)：二、輸出到狀態(tài)微分的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應的負反饋系數(shù)，饋送到狀態(tài)微分處。輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/5/723第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四定理證明方法1：若系統(tǒng)狀態(tài)可觀測，則其對偶系統(tǒng)狀態(tài)能控，根據(jù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)特性，對偶系統(tǒng)矩陣特征值可以任意配置，而的特征值和一致。所以當且僅當狀態(tài)可觀時，極點可任意配置定理：輸出到狀態(tài)微分的反饋，其極點任意配置條件為原系統(tǒng)狀態(tài)可觀測。定理證明方法2：系統(tǒng)能觀測，則化為第二能觀測標準型。第二能觀標準型：2023/5/724第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四能觀測標準型下輸出到狀態(tài)微分的反饋系統(tǒng)矩陣反饋后，仍然為第二能觀測標準型。其輸出到狀態(tài)微分的反饋系統(tǒng)特征方程為：由于反饋陣可以任意選擇，所以特征值可以任意配置。引入反饋陣：極點配置方法：同狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置。結論：輸出到狀態(tài)微分的反饋不該變系統(tǒng)能觀性，不改變系統(tǒng)零點。任意配置后，零極點對消可能導致能控性發(fā)生變化。2023/5/725第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下（2）設輸出反饋矩陣為H（根據(jù)BHC和B、C的維數(shù)，可知H為常數(shù)），加輸出到參考輸入的反饋后，系統(tǒng)矩陣為

[解]：（1）系統(tǒng)特征方程為：（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加輸出到參考輸入的反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？（3）加輸出到狀態(tài)微分的反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？（4）加狀態(tài)反饋則又如何？特征值為，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。2023/5/726第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四H無論取何值，都不能使系統(tǒng)的特征根都位于左半S平面，因此加輸出反饋不能使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。特征方程為設輸出反饋矩陣為（注意，此時H陣不再是實數(shù)，而是一列向量，根據(jù)A－HC來判斷維數(shù)），加輸出到狀態(tài)微分的反饋后，系統(tǒng)矩陣為

特征方程為（3）系統(tǒng)能觀測，所以輸出到狀態(tài)微分的反饋可以任意配置極點。2023/5/727第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四（4）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點。設反饋陣為，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為系統(tǒng)的特征多項式為：通過k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。說明：輸出反饋兩種形式對系統(tǒng)的閉環(huán)極點的影響差別很大，輸出反饋和狀態(tài)反饋對系統(tǒng)的作用是不同的。通過h1和h2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。2023/5/728第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四[本節(jié)小結]：1、輸出到參考輸入的反饋:閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：特性：1）當HC＝K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價。2）輸出到參考輸入的反饋不改變系統(tǒng)的能控性。3）由于反饋引自系統(tǒng)輸出