計(jì)算流體力學(xué)

計(jì)算流體力學(xué)第1頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4離散化的基本方法第2頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.1引言第3頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四引言理論上，根據(jù)偏微分方程的解能得到流場(chǎng)中任意點(diǎn)上流場(chǎng)變量的值。離散網(wǎng)格點(diǎn)第4頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四引言實(shí)際上，我們采用代數(shù)差分的方式將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。離散網(wǎng)格點(diǎn)第5頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四引言通過求解代數(shù)方程組獲得流場(chǎng)中離散網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的變量值。離散網(wǎng)格點(diǎn)第6頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四引言從而，使得原來的偏微分方程組被“離散化”了。離散網(wǎng)格點(diǎn)第7頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四引言第8頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.2有限差分基礎(chǔ)第9頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)離散網(wǎng)格點(diǎn)泰勒級(jí)數(shù)展開：第10頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)泰勒級(jí)數(shù)展開：差分表達(dá)式截?cái)嗾`差第11頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)一階向前差分：上述差分表達(dá)式用到了(i,j)點(diǎn)及其右邊(i+1,j)點(diǎn)的信息，沒有左邊(i-1,j)點(diǎn)的信息，且精度為一階第12頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)離散網(wǎng)格點(diǎn)泰勒級(jí)數(shù)展開：第13頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)泰勒級(jí)數(shù)展開：第14頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)一階向后差分：上述差分表達(dá)式用到了(i,j)點(diǎn)及其左邊(i-1,j)點(diǎn)的信息，沒有右邊(i+1,j)點(diǎn)的信息，且精度為一階第15頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)兩式相減得：第16頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)得：第17頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)二階中心差分：上述差分表達(dá)式用到了左邊(i-1,j)點(diǎn)及右邊(i+1,j)點(diǎn)的信息，(i,j)點(diǎn)位于它們中間，且精度為二階第18頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)Y方向的差分表達(dá)式：第19頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)兩式相加得：第20頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)得：二階中心差分（關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)）第21頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)對(duì)Y方向的二階導(dǎo)數(shù)有：二階中心差分（關(guān)于Y方向二階導(dǎo)數(shù)）第22頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對(duì)y求導(dǎo)得：第23頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對(duì)y求導(dǎo)得：第24頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)兩式相減得：6第25頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)6第26頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階精度中心差分第27頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第28頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第29頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第30頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第31頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第32頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第33頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第34頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第35頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)第36頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)二階偏導(dǎo)數(shù)，四階精度中心差分高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點(diǎn)，所以計(jì)算中的每一個(gè)時(shí)間步或空間步都需要更多的計(jì)算機(jī)時(shí)間。第37頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)在邊界上怎樣構(gòu)造差分近似？邊界網(wǎng)格點(diǎn)第38頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)向前差分，只有一階精度。邊界網(wǎng)格點(diǎn)第39頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)在邊界上如何得到二階精度的有限差分呢？邊界網(wǎng)格點(diǎn)第40頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)不同于前面的泰勒級(jí)數(shù)分析，下面采用多項(xiàng)式來分析。邊界網(wǎng)格點(diǎn)第41頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)設(shè)邊界網(wǎng)格點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)1，在網(wǎng)格點(diǎn)2，在網(wǎng)格點(diǎn)3，第42頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點(diǎn)得第43頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)y求導(dǎo)得：在邊界點(diǎn)1，第44頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點(diǎn)得：第45頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點(diǎn)根據(jù)知為三階精度第46頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點(diǎn)故為兩階精度為三階精度第47頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點(diǎn)為單側(cè)差分第48頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.3差分方程第49頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程對(duì)一個(gè)給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏導(dǎo)數(shù)都用有限差分來代替，所得到的代數(shù)方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代數(shù)表示。第50頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程考慮非定常一維熱傳導(dǎo)方程：第51頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程第52頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程第53頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程第54頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程偏微分方程：差分方程：截?cái)嗾`差：第55頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程差分方程是一個(gè)代數(shù)方程，如果在右圖所示區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點(diǎn)上都列出差分方程，就得到一個(gè)聯(lián)立的代數(shù)方程組。第56頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量趨于無窮多，也就是時(shí)，差分方程能否還原為原來的微分方程呢？第57頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程截?cái)嗾`差：截?cái)嗾`差趨于零，從而差分方程確實(shí)趨近于原微分方程。第58頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程從而差分方程確實(shí)趨近于原微分方程，如果，截?cái)嗾`差趨于零，此時(shí)我們說偏微分方程的這個(gè)有限差分表示是相容的。第59頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程原微分方程與相應(yīng)的差分方程之間的區(qū)別截?cái)嗾`差：第60頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四差分方程原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別離散誤差：第61頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.4顯式方法與隱式方法第62頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.4.1顯式方法第63頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法第64頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法上述方程是拋物型方程，可以推進(jìn)求解，推進(jìn)變量是時(shí)間t第65頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法邊界條件已知第66頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法邊界條件已知第67頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法顯式方法中每一個(gè)差分方程只包含一個(gè)未知數(shù)，從而這個(gè)未知數(shù)可以用直接計(jì)算的方法顯式地求解。顯式方法是最簡(jiǎn)單的方法。第68頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.4.2隱式方法第69頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法克蘭克－尼科爾森格式第70頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法對(duì)于排列在同一時(shí)間層所有網(wǎng)格點(diǎn)上的未知量，必須將它們聯(lián)立起來同時(shí)求解，才能求出這些未知量，這種方法就定義為隱式方法。第71頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運(yùn)算。隱式方法比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計(jì)算。第72頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法第73頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法A，B，Ki均為已知量第74頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法A，B，Ki均為已知量第75頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法在網(wǎng)格點(diǎn)2：A，B，Ki均為已知量T1為邊界條件，已知量第76頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法在網(wǎng)格點(diǎn)3：A，B，Ki均為已知量在網(wǎng)格點(diǎn)4：在網(wǎng)格點(diǎn)5：第77頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法A，B，Ki均為已知量在網(wǎng)格點(diǎn)6：T7為邊界條件，已知量第78頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法于是有關(guān)于T2，T3，T4，T5，T6這五個(gè)未知數(shù)的五個(gè)方程A，B，Ki均為已知量第79頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法寫成矩陣形式：第80頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四隱式方法系數(shù)矩陣是一個(gè)三對(duì)角矩陣，僅在三條對(duì)角線上有非零元素。求解線性代數(shù)方程組的標(biāo)準(zhǔn)方法是高斯消去法。應(yīng)用于三對(duì)角方程組，通常采用托馬斯算法（國內(nèi)稱為追趕法）求解。第81頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.4.3顯式方法與隱式方法的比較第82頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法與隱式方法的比較對(duì)于顯式方法，一旦x取定，那么t的取值必須受到穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個(gè)值。否則，計(jì)算不穩(wěn)定。因此，t必須取得很小，才能保持計(jì)算穩(wěn)定，要算到某個(gè)給定的時(shí)間值，程序要運(yùn)行很長時(shí)間。第83頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法與隱式方法的比較隱式方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多的t，仍能保持計(jì)算穩(wěn)定。要計(jì)算某個(gè)給定的時(shí)間值，隱式方法所用的時(shí)間步數(shù)比顯式方法少很多。第84頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法與隱式方法的比較對(duì)某些應(yīng)用來說，雖然隱式方法一個(gè)時(shí)間步的計(jì)算會(huì)比顯式方法花的時(shí)間長，但由于時(shí)間步數(shù)少，總的運(yùn)行時(shí)間可能比顯式方法少。第85頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法與隱式方法的比較另外，當(dāng)t取得較大時(shí)，截?cái)嗾`差就大，隱式方法在跟蹤嚴(yán)格的瞬態(tài)變化（未知函數(shù)隨時(shí)間的變化）時(shí)，可能不如顯式方法精確。不過，對(duì)于以定常態(tài)為最終目標(biāo)的時(shí)間相關(guān)算法，時(shí)間上夠不夠精確并不重要。第86頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四顯式方法與隱式方法的比較當(dāng)流場(chǎng)中某些局部區(qū)域的網(wǎng)格點(diǎn)分布很密，采用顯式方法，小的時(shí)間步長會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間特別長。例如，高雷諾數(shù)粘性流，物面附近的流場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生急劇的變化，因此，物面附近需要更密的空間網(wǎng)格。在這種情況下，若采用隱式方法，即使對(duì)于很密的空間網(wǎng)格，也能采用較大的時(shí)間步長，就會(huì)減少程序運(yùn)行時(shí)間。第87頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四4.5誤差與穩(wěn)定性分析第88頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析在從一個(gè)推進(jìn)步進(jìn)行到下一步時(shí)，如果某個(gè)特定的數(shù)值誤差被放大了，那么計(jì)算就變成不穩(wěn)定。如果誤差不增長，甚至在從一個(gè)推進(jìn)步進(jìn)行到下一步時(shí)，誤差還在衰減，那么計(jì)算通常就是穩(wěn)定的。第89頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析A=偏微分方程的精確解（解析解）D=差分方程的精確解離散誤差=A-D第90頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析D=差分方程的精確解舍入誤差==N-DN=在某個(gè)有限精度的計(jì)算機(jī)上實(shí)際計(jì)算出來的解（數(shù)值解）N=D+第91頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析數(shù)值解N=精確解D+誤差數(shù)值解N滿足差分方程，于是有第92頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析數(shù)值解N=精確解D+誤差精確解D也必然滿足差分方程，于是有第93頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析數(shù)值解N=精確解D+誤差兩式相減得，誤差也滿足差分方程：第94頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析當(dāng)求解過程從第n步推進(jìn)到第n+1步時(shí)，如果i衰減，至少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，如果i增大，求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，應(yīng)該有：第95頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析根據(jù)vonNeumann（馮諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法，設(shè)誤差隨空間和時(shí)間符合如下Fourier級(jí)數(shù)分布：則第96頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求故放大因子第97頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析下面采用vonNeumann（馮諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法分析如下差分方程的穩(wěn)定性：由于誤差也滿足差分方程，故有第98頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析由于誤差也滿足差分方程，故有而則第99頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析解得放大因子第100頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析要使放大因子必須滿足第101頁，共111頁，2023年，2月20日，星期四誤差與穩(wěn)定性分析上式就是差分方程的穩(wěn)定性條件。對(duì)于給定的x，t的值必須足