建筑力學第章平面力系

1建筑力學第二章平面力系

教師：鄒定祺主要內容：平面匯交力系力對點的矩和力偶平面任意力系的合成與平衡重點：力在直角坐標軸上的投影合力投影定理力矩、力偶平面任意力系的合成與平衡平衡方程的應用22.1平面匯交力系的合成與平衡

平面匯交力系—所有的力的作用線都相交于一點的平面力系2.1.1平面匯交力系的合成與平衡的幾何方法平面匯交力系的合成—力的多邊形法；平面匯交力系的平衡—多邊形閉合，最后一個力的終點與第一個力的起點相重合。

FRF4F5F4

F1F3

F2F1F2F3FR=F1+F2+F3+F4FR=F1+F2+F3+F4+F5=03F12F1232.1.2平面匯交力系的合成與平衡的解析法1.力在直角坐標軸上的投影

Fx=FcosαyFy=FcosβF=√Fx2+Fy2b2Bcosα=Fx/F

Fy

Fy

β

Fcosβ=Fy/Fa2Aα

Fx

oa1

FXb1

x

4注意：51、力的投影為代數(shù)量有正負號；2、在直角坐標系下，投影的絕對值等于分力的大小；3、若分力指向軸的正向，則投影為正，否則為負。

Fx=FcosαFy=-FsinαF=√Fx2+Fy2tanα=FyFxFYxyoa′b′FXαFBAab2.合力投影定理

CFR=F1+F2+F3+F4

F2F3FRx=ae

F1x=ab

BF2x=bcF3x=cdF1

DF4x=-deAae=ab+bc+cd-de

FREF4FRX=F1X+F2X+F3X+F4XabcedxFRX=F1X+F2X+…+FnX=∑FiX同理：FRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy63.平面匯交力系合成的解析法

α

為合力FR與x軸所夾的銳角，合力的指向由FRX、Fry的符號判定。74.平面匯交力系平衡的解析條件由可得平面匯交力系的平衡方程：8【例2-4】重量為W的重物，放在傾角為α的光滑斜面上，如下圖所示，求保持重物平衡時需沿斜面方向所加的力F和重物對斜面的壓力FN?！窘狻俊艶x=0Wsinα

–F=0

∑Fy=0-Wcosα

+FN=0解得F=Wsin

αFN=Wcosα

則，重物對斜面的壓力FN’=Wcosα，指向與FN相反。

9FWWFFNyx

α

α

o【例2-5】重W=20kN的重物被絞車勻速吊起，絞車的繩子繞過光滑的定滑輪A,，滑輪由不計重量的桿AB、AC支撐，A、B、C三點均為光滑鉸鏈，可忽略滑輪A的尺寸。求桿AB、AC所受的力?！窘狻浚?）首先檢查有無二力桿

注意到AB、AC都是二力桿，分別畫出其受力圖，它們的受力方向未知，假設兩桿都受拉。10AB

CW3412AABCFABF’ABFBAFACFCAF’ACFT2FT1yxA（2）取滑輪A為研究對象（分離體），因忽略滑輪的尺寸，把A看成一個點。（3）畫受力圖

重物W通過繩索直接加在滑輪的一邊，在其勻速上升時拉力FT1=W，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即FT1=FT2=W=20kN。AB、AC兩桿作用在A上的反力也通過A點，如圖所示,四個力交于一點，為平面匯交力系，取坐標軸Axy。（4）列平衡方程

四個力中F’AB和F’AC未知，平面匯交力系有兩個方程，可解。F’AB∥x軸，那么，在∑Fy=0的方程中F’AB在y軸上的投影為0，方程中就只有一個未知力F’AC，11122.2力對點之矩與平面力偶2.2.1力對點之矩—簡稱為：力矩在力的作用下，物體將發(fā)生移動和轉動。力的轉動效應用力矩來衡量，即力矩是衡量力轉動效應的物理量。討論力的轉動效應時，主要關心力矩的大小與轉動方向。131.定義力臂—某定點O到力F的作用線的垂直距離。矩心—該點O稱為矩心。力對點之矩—力使物體繞某點轉動效應的度量。其數(shù)值等于力的大小F與力臂d的乘積。其方向，規(guī)定：力使物體繞矩心逆時鐘方向轉動時力矩為正，反之為負。記為MO(F)=±Fd力矩的單位是N·m或kN·m。

odF

14力對點之矩的特點：1）力對點之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關，力矩隨矩心的位置變化而變化。2）力對任一定點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變。3）力的大小等于零或其作用線通過矩心時，力矩等于零。1516例

求圖中荷載對A、B兩點之矩(a)(b)解：圖（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m圖（b）：

MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·mFR=4kN/m×2m2.合力矩定理平面匯交力系的合力對該平面上任一點之矩等于各個分力對該點之矩的代數(shù)和。

反之，一個力對任一點的矩，可以分解為其各個分力對該點之矩的代數(shù)和。常用的是將一個力分解為互相垂直的兩個力，其力矩等于這兩個分力對該點之矩的代數(shù)和。17力對某點的矩等于該力沿坐標軸的分力對同一點之矩的代數(shù)和。MO(F)=xFy-yFx18yxOxyAB19例

求圖中力F對A點之矩解：將力F沿X方向和Y方向等效分解為兩個分力，由合力矩定理得：由于dx=0，所以：2.2.2力偶與力偶的性質1.力偶的概念力偶臂—大小相等、方向相反、F’作用線互相平行但不重d合的兩個力所組成的力F系，稱為力偶，記為（F,F’)。

202.力偶矩力偶的釋作用效障用是使朗物體發(fā)尼生轉動萬。這個播效用的凈度量稱妹為力偶羨矩。力偶（F,博F’)對平面內念任意一點O之矩，可繪以看成力茄偶的兩個踏力對O點之矩勸的和，旗即MO(F,欺F’)須=MO(F)炸+MO(F’)芹=F·(x狗+d)劉-F’認·x=狗Fdd煉F’F字x·o從上式，丹可以看出祖，力偶矩乓（力偶的賓轉動效應幣）與x無關，迷即與矩爐心O的位置無漢關，只取代決于力的肺大小和力井偶臂的長以短。21··故，力偶肚矩等于力耀偶的任一著力的大小頓與力偶臂眾的乘積，汗用M(F,熟F’）或M表示，即M=M排(F,萄F’)遺=±Fd其轉向，銜使物體逆汗時鐘方向疊轉動為正屋，反之為謎負。力偶的單緞位和力矩增的單位相叉同。為N.m或kN.m。力偶的三戴要素：力印偶矩的大視小、力偶款作用面在昂空間的方覆位和力偶扁在作用面旬內的轉向昏。223.力偶的性孟質1）力偶瓣與力一牽樣，是殼一種基始本力學石量：一個力偶洪中的兩個城力F與F’在任意坐詠標軸上的棉投影的代鏈數(shù)和等于幸零，因此詢不存在合鋸力，不能瓦用一個力粥與之等效保，且其作老用線不在談同一條直三線上，也約不是平衡乒力。即力潤偶對物體臥只有轉動貼效應，沒市有移動效忽應。力偶旗是一種不圈可能再簡蹤蝶化的力系載，它與力隱一樣，是都一種基本薪力學量。不能用銳力與力恨偶平衡驗，力偶昨只能用再力偶來績平衡。2）平面宏力偶的極等效定油理：同一平面占內的兩個五力偶的力咸偶矩若相褲等，那么斥它們對剛刷體的轉動邪效應完全熔相等，兩肥力偶彼此混等效。由此可得文出下面兩鞭個推論：23（1）只要保格持力偶矩紐奉不變，力司偶可以在還其作用的鋤平面內任隨意移動，借而不會改顯變它對剛棄體的作用霜效應。（2）只要保巧持力偶的錯轉向和力藝偶矩的大邊小不變，擇可將力偶災中的力和洋力偶臂做棉相應的改晝變，而不波會改變其吵對剛體的庸作用效應晃。因此，懸力偶可以司用其力的沾大小和力耳偶臂的長楚短來表示豆，也可以情用力偶矩疤來表示，細如下圖所叫示。30N慘40鄉(xiāng)豐N犬60N0.08已m匆=浮0.06垮m樓=揚0.凡04m劃=某M=2.腳4N·m30N40N荷60N242.2賭.3平面力筍偶系的揪合成..M1F2’穗F1’慢FR’.蠻=挖d擁=妻d.御M2F2FR.烏F1F1=F1’=M1/d亞F2=F2’=M2/d贈M=FR·d=愚(F1-F2)d=M1+M2M=M1+M2+…+Mn=∑Mi2.2.忽4平面力偶邁系的平衡25【例2-8接】如圖所萬示三鉸紙拱，其限左半部AC上作用一稱力偶，其認力偶矩為M。求鉸A和B處的反力儀。BC為二力擔桿。FA和FB應組成臘一力偶記才能與M平衡，符故FA=-FB力偶臂d=2a奮cos4攤5o∑Mi=0槽FA·2ac費os45o-M=0Fa=FB=M√綿2/2a26FBFBMMAABBBFCBCFACCaaad.27力矩是力使副物體繞對某點轉陰動效應亭的度量力偶矩是力偶病使物體葬轉動效芽應的度筐量二者相同融點：單位統(tǒng)綁一,符號規(guī)定篇統(tǒng)一二者主要受區(qū)別：力矩隨矩心位奏置的不同雙而變化。力偶使物體枕轉動的芳效果與在所選矩績心的位戒置無關,它完全由朋力偶矩這芳個代數(shù)量豆唯一確定饞。力矩與力臘偶的比較P42：習題犧：2-1棵,2-貢2,2松-3,導2-4仰,2-砌5282.3平面任盼意力系漠的合成滴與平衡2.3留.1力的平漸移定理.倉y搞y絕FBy希FB.科B泳BdB戚M.蹦A館FAF’BA月FAA..0蔬x炎0紙x魯0敘xFA=FB=-F’BM=FA·d=MB(FA).作用在剛民體上點A的力，疫可以將穴其平移松到剛體揪上任一煙點B，但必土須同時斷附加一袖個力偶職，這力皆偶的矩蘿等于原坑力對新?lián)踝饔命cB的矩。29力的等桐效平移蝴的幾個查性質：1、當力優(yōu)平移時啄，力的材大小、睡方向都賞不改變托，但附陰加力偶飼的矩的侍大小與浩正負一財般要隨世指定O點的位置堪的不同而勢不同。2、力平移由的過程是恐可逆的，罪即作用在蛇同一平面深內的一個溪力和一個捐力偶，總溫可以歸納志為一個和滑原力大小謙相等的平堤行力。3、力平移碗定理是把途剛體上平鼓面任意力某系分解為熊一個平面停共點力系號和一個平幟面力偶系鴿的依據(jù)。302.3.介2平面任耀意力系矛向作用腰面內任抵一點的賤簡化力系向扒任意一利點O的簡化應用力的捏等效平移名定理，將潛平面一般乘力系中的各減個力（以缺三個力為碌例）全部悼平行移到作用京面內某謀一給定麻點O。從而翁這力系傲被分解為一宮個平面越匯交力貿系和一絮個平面類力偶系聞。這種等效窯變換的方錯法稱為力福系向給定進點O的簡化。關點O稱為簡化禽中心。31平面任銹意力系土向作用聽面內任厚一點的孕簡化可哨得一主矢與一主矩yy.劈燕y揀F1FR’M0(F1)愧F1’.誕0削x攀0優(yōu)x乒0截M0xF2F2M0(F3)盾M0(F2).爐F3F3’截F2’匯交力系F1、F2、F3的合成結匹果為一作誕用在點O的力FR。這個力豆矢FR稱為原平貴面任意力密系主矢。附加力翻偶系的遷合成結俱果是一匪個作用瓶在同一近平面內的力偶M，稱為原丑平面任意偵力系對簡捆化中心O的主矩。32主矢FR’=F1+F2+…+Fn=∑Fi主矩M0=M0(F1)+M0(F2)+…+也M0(Fn)=∑M0(Fi)注意：主矢的把大小和貪方向與薄簡化中或心的位宮置無關主矩大小畝與轉向與塘簡化中心受的位置有方關。33為了求干出平面夠任意力凈系的主黎矢的大豪小和方碌向，可釘應用解脹析法。舌通過0點取坐肆標系xoy，應用漠合力投阻影定理濾，則有342.3夏.3平面任意扎力系簡化陪結果得討鉗論分析（1）FR’=0浴,M0=0—平衡（2）FR’=0姐,沿M0≠0—主矩(合力偶）（3）FR’≠們0阿,M0=0—主矢（引合力）（4）FR’≠叢0踢,M0≠0級FR’≠我0針,M0=0—主矢..溪FR’胞FR’對FRFR.供M0.盲=額=.表0雄0報d勢0野’鴉0枕0括’.垮FR’’.d=M0/FR’352.3.鎮(zhèn)4平面任弊意力系務的平衡抓條件和勤平衡方引程由FR’=0攔,鉆M0=0可表達為各：(1)一矩式梁：猴∑Fix=0∑Fiy=0∑MB(Fi)=0(2)二矩式?！艶ix=0式中矩心A、B兩點∑MA(Fi)=0的連線不勇能與x軸∑MB(Fi)=0垂直。(3)三矩式是∑MA(Fi)=0式中三撿個矩心A、∑MB(Fi)=0錄B、C不能在一慨條∑MC(Fi)=0直線上。36【例2-1訪1】如圖所訊示的平座面梁。質梁上受邀最大集頁度為q的分布荷里載，并在B端受一涼集中力F。求A端的約束部反力?！窘狻浚?）取分離妹體，以AB為研究對土象。（2）畫受力題圖。AB上的主頃動力有鳴集中力F和一個三腥角形分布濃荷載，三康角形分布婚荷載可以失合成為一落個合力F1，其大球小為F1=qL/臥2,方向與分區(qū)布力相同害，作用點滲在距A點L/3處。A端為固裹定端，些約束反光力為Fax,Fay,MA。37qαLFABαFLABxyFAYFAXMAL/3F1（3）建立瘡圖示坐邀標系，藝列平衡狗方程?！艶ix=0,潮FAx-Fsi液nα=0∑Fiy=0,碗FAy-Fco元sα-F1=0∑MA(Fi)=0,殼-MA-F1L/3宇-FL支cosα=0解得FAx=Fs伶inα,Fay=qL/艙2+Fc溝osα,MA=-q右L2/6-溝Flc麗osα38FF1FAyFAxMAyxLαL/3AB【例2-12綢】圖(a)所示伸臂啊梁，求支級座約束反墊力?！窘狻浚?）取分離沒體，受力綁圖如（圖育（b）所示耍。（2）建坐借標系，擦列平衡琴方程由∑Fix=0,可知反由力FAx=0,因此，梁AC受到平面亂平行力系趴作用，即獅梁上所有齡的力都平播行于y軸。以后庫遇到這種膨類似的情憐況，就可壞以不畫FAx。39qF=qa2aaABCyxFAxFAyF1=q2箏aF=qaFBaaa(a)(b)∑Fiy=0狼FAy+FB-F1-F劇=0FAy+FB-q威2a-辣qa=懂0∑MA(Fi)=0愉FB×2a鋼-幣F1×方a-乞F×易3a=間0FB×2a慰-班2qa2–3湖qa2=0解得Fay=qa礦/2翁FB=qa5蕉/2由此題飾可以得晝出，當柏平面力仇系中所僑有力的英作用線相互平行茅時，則組蹄成平面平聽行力系，王平面平行候力系可列出兩蕉個獨立的熄平衡方程娃，只能出訓求兩個未膜知量。即傍∑Fiy=0∑MA(Fi)=0此為平面讀平行力系惰平衡方程40【例2-13箏】圖(a)所示結決構，已F=15祖kN,M傻=20k競N.m,求各約束瘋反力，圖屠中長度單至位為m。【解】（1）畫出分柱離體AB。（2）受力分幣析，畫受力圖。CD、BE都是二力除桿，A是可動沉支座，鳳反力的作用線可違知，如圖(b)。(3)建立坐問標，列碗平衡方捉程列平衡勿方程，叉盡可能爬一個方啄程含一訪個未知判量，故41FMABCD45o60oE45o60oMFyxFAFCFBFACB(b)(a)D’422∑MD’(Fi)=0,辨FBsin6涉0o×8+FBcos巾60o×4-月F×2團-M=0∑Fix=0,度FCsin昌45o-FBcos6屋0o=0∑Fiy=0,您FA+FCcos4令5o+FBsin6假0o–F=忽0解得FB=3.紙36k此N,當FC=2.3鞭8kN,馬FA=10江.41由kN解題步秒驟：（1）根據(jù)題垮意取研究慕對象，取惜出分離體撓。（2）分析研臨究對象的域受力情況俊，正確畫男出受力圖雄。（3）建立款坐標系現(xiàn)，列平竊衡方程嬌。列平掘衡方程浮時，力夏求一個朱方程中脹只出現(xiàn)咬一個未融知量，廚盡量避王免解聯(lián)瀉立方程槳。422.3怠.5物體系登的平衡也、靜定思和超靜軍定問題靜定問外題（結攝構）—系統(tǒng)（結君構）中未債知量的數(shù)膠目等于獨訊立平衡方謠程的數(shù)目礎時，則所出有的未知木量都能由冤平衡方程略求出。超靜定明問題（兵結構）—系統(tǒng)（色結構）銅中未知乒量的數(shù)漁目多于娘獨立平卵衡方程劉的數(shù)目轉時，僅鋤通過靜燥力學平央衡方程福不能完峰全確定今這些未游知量。求解物防體系平江衡問題睬時，應陰根據(jù)問民題的特產點和待定未知帽量，可技選取整距個系統(tǒng)重或每個賴物體、劫也可選辟部分物體為夢研究對象爬，有目的滲的列出平零衡方程，頂并使每一個咐平衡方崖程中的要未知量哨個數(shù)盡炮可能少惜，最好敲是只含一尺個未知件量，以乳避免解頂聯(lián)立方盜程。43【例2-14顯】如下圖(a),已知F1=10k還N,F2=20遇kN,求約束反輕力。圖中叫長度單位能為m。【解】44F1F2ADCB2221.51.560OF1F2ADCB60OFAxFAyFDFB(a)(b)F1FDFAyFAxF’CxF’CyFBF260OFCxFCy(c)(d)（1）以CD為研究對呢象,其受力饞如（d）圖所浙示。列里平衡方喊程∑Fix=0,況FCx–F2cos6及0o=0∑MC(Fi)=0略,姨FB×3鼠-F2cos6升0o×1.5密=0∑Fiy=0,紹FB+FCy–F2sin6帝0o=0解得FCx=10k常N,FCy=8.6北6kN,嚷FB=8.3瓶3kN（2）以系犧統(tǒng)整體減為研究神對象，告其受力近如圖(b)所示，列平衡溜方程∑Fix=0,臺FAx-F2cos泉60o=0∑MA(Fi)=0黑,FB×9+滑F(xiàn)D×4-疑F2sin6基0o×7.5拿–F1×2=蹄0∑Fiy=0,巾FAy+FD–F1–F2sin6曾0o=0解得FAx=10k佩N,滔FAy=0.6論6kN,未FD=18k的N45【例2-15匯】如圖(a)組合梁小。已知F=1四kN,沒M=0拌.5k爹N.m。各桿封的重量開不計。踢求固定抖端A的約束繭反力。462222MAEBGCFD3F(b)(c)(a)BMCFBxFByFGDGF’GDDFDFFDEF’DGFDGAEBCMFGDFDFMAFAxFAy(d)(e)（1）整體有確四個未知柱約束力，錢故首選BC研究對療象，DG為二力遭桿，如嫁圖(b)、(c)所示?！芃B(Fi)=0準,脅-霸M+(甜FGD×3/√條32+42)×2鹽=0解得FGD=5/1匯2kN（2）以節(jié)點D為對象蔽，DE、DF為二力剛桿，如圖(d)∑Fix=0,踢-柜(F’DG×4/場√32+42)-俘FDF=0解得FDF=-妖1/3依kN（3）以整瓶體為研塵究對象戒，如圖(e)所示。∑Fix=0,冰Fax-FDF=0∑Fiy=0,辣FAy-F=棵0∑MA(Fi)=0挽,享F×橡4+里M豆-FDF×3于–MA=0解得FAx=-1/屯3kN,落FAy=1k揭N,餓MA=3.5賊kN47*習題豆：2-5，2-6，2-7，2-9（b)489、靜夜帥四無鄰溪，荒居僻舊業(yè)貧桂。。4月-叛234月-2吧3Fri疏day鞭,A欄pri舒l2小8,獲202掙310、雨中黃亭葉樹，燈輔下白頭人矮。。11:4倦0:2811:4此0:2811:陵404/2蹄8/2恭023蓬11削:40裹:28淹AM11、以我吵獨沈久丸，愧君旅相見頻棵。。4月-2泳311:4棄0:2811:4散0Apr-枝2328-A板pr-2膜312、故人江叢海別，幾篇度隔山川豬。。11:暑40:筍2811:4塔0:2811:4凈0Fri鑼day圍,A眠pri敗l2速8,蕉202畏313、乍見網(wǎng)翻疑夢胞，相悲呼各問年倘。。4月-2訪34月-撿2311:4哭0:2911:4鄭0:29Apr智il英28,難20盆2314、他鄉(xiāng)生責白發(fā)，舊擺國見青山伶。。28四弓月20返2311:4裁0:29汽上午11:4譜0:294月-巖2315、比不了例得就不比書，得不到違的就不要擱。。。四月2喚311:姻40有上午4月-2銹311:始40Apr寄il術28,媽20閃2316、行動獎出成果誼，工作委出財富屬。。2023拾/4/2遙811匪:40:征2911:蒙40:紋2928縱Apr派il徑202采317、做前，灣能夠環(huán)視殃四周；做剝時，你只富能或者最章好沿著以圣腳為起點彈的射線向合前。。11:也40:森29突上午11:簽40逃上午11:裕40:繭294月-2遺39、沒有尺失敗，究只有暫缸時停止紫成功！煌。4月-銷234月-走23Frid索ay,州Apri刷l28私,20將2310、很多雷事情努利力了未砌必有結層果，但犯是不努男力卻什牌么改變對也沒有角。。11:釣40:聚2911:4會0:2911:4真04/28供/202痛311勒:40:兵29A殃M11、成功就晴是日復一膜日那一點驢點小小努師力的積累他。。4月-2拋311:袖40:舍2911:將40Apr外-2328-卻Apr暗-2312、世間成岔事，不求壯其絕對圓道滿，留一腿份不足，鑄可得無限節(jié)完美。。11:鮮40:咸2911:4漿0:2911:習40Frid蛛ay,算Apri像l28撓,20猴2313、不知流香積寺諸，數(shù)里碰入云峰貢。。4月-散2