2023屆北京市匯文中學(xué)高三校模數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市匯文中學(xué)高三校模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求解一元二次不等式從而求解集合，再根據(jù)并集的定義求解.【詳解】由，得，結(jié)合，可知.故選：B.2．如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D；【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：D3．如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由平面向量，知：在中，，，∴，故錯(cuò)誤；在中，，故錯(cuò)誤；在中，，∴，∴，故正確；在中，∵，∴與不平行，故錯(cuò)誤．綜上所述．故選．4．已知直線m，n和平面，如果，那么“m⊥n”是“m⊥”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若，則，即必要性成立，當(dāng)時(shí)，不一定成立，必須垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，即充分性不成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：．5．在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．9 B．72 C．9或72 D．9或-72【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，，∴，解得或，故或，故選：D.6．下列函數(shù)中,定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)是A． B． C． D．【答案】D【詳解】定義域?yàn)镽,所以舍去B,又為偶函數(shù),為非奇非偶函數(shù),故選：D.7．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則其漸近線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出的值即得解.【詳解】解：由題得，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：B8．在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體的頂點(diǎn)、分別在軸，軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是，則的取值范圍是(

)．A． B． C． D．【答案】A【分析】固定正四面體的位置，原點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng),由此根據(jù)球的性質(zhì)可以得到答案.【詳解】如圖所示，若固定正四面體的位置，則原點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以原點(diǎn)到點(diǎn)的最近距離等于減去球的半徑，最大距離是加上球的半徑，所以，即的取值范圍是．故選:．9．如果函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為2，那么的值為（

）．A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，由已知求出，再結(jié)合函數(shù)式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，函數(shù)的周期，而，則，，，，所以.故選：A10．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，.若棱與平面有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取特殊值和，進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)合排除法可得出結(jié)論.【詳解】由題意，若，則棱與平面交于點(diǎn)，符合題意，此時(shí)；若，，則棱與平面交于線段，符合題意，此時(shí).排除B、C、D選項(xiàng).故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系，考查特殊值法的運(yùn)用，屬于中檔題．二、填空題11．復(fù)數(shù)____．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求解．【詳解】．故答案為：．12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】15【分析】求出通項(xiàng)，令由此求得展開式中常數(shù)項(xiàng)．【詳解】在的展開式中，通項(xiàng)令．故展開式中常數(shù)項(xiàng)是，故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．13．若，則______;【答案】40【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，，直接求值即可.【詳解】故答案為：4014．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，，則__________．【答案】【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理求出的值.【詳解】由正弦定理得：，再有余弦定理得：，解得：.故答案為：．三、雙空題15．設(shè)函數(shù)其中.①若，則______；②若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】

【分析】①代值計(jì)算即可；②分別畫出與y＝2的圖象，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可得答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，則，∴；②分別畫出與y＝2的圖象，如圖所示，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可得4≤a＜9，故a的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合．四、解答題16．如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）計(jì)算出、，利用兩角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出的長(zhǎng)，然后在中利用余弦定理可求得的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，，則、均為銳角，所以，，，，，則，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.17．如圖，在四棱錐中，O是邊的中點(diǎn)，底面．在底面中，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明后可證線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）由題意，又，所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2），所以是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，即，易知平面的一個(gè)法向量是，所以，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查證明線面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出二面角的平面角并證明，然后解三角形得出結(jié)論；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)為坐標(biāo)，求出二面角兩個(gè)面的法向量，由兩個(gè)平面法向量的夾角得二面角（它們相等或互補(bǔ)）．18．自由購(gòu)是通過自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：20以下70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購(gòu)的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu)，該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.【答案】；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在[30，50）且未使用自由購(gòu)的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值為1,2,3，求出相應(yīng)的概率值，即可得到分布列與期望；（Ⅲ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用自由購(gòu)的有44人，計(jì)算可得所求值．【詳解】（Ⅰ）在隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在[30,50)且未使用自由購(gòu)的共有3+14=17人，所以，隨機(jī)抽取1名顧客，估計(jì)該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購(gòu)的概率為．（Ⅱ）所有的可能取值為1,2,3，,,.所以的分布列為123所以的數(shù)學(xué)期望為.（Ⅲ）在隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用自由購(gòu)的共有人，所以該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備環(huán)保購(gòu)物袋的個(gè)數(shù)估計(jì)為.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表，隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望，以及古典概型，是一道綜合題．19．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，都有≤，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅱ）．【詳解】，令，當(dāng)時(shí)，的情況如下：+00+0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，與的情況如下：0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不?huì)有當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等價(jià)于，解得故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．20．已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得21．設(shè)數(shù)列.如果，且當(dāng)時(shí)，，則稱數(shù)列A具有性質(zhì).對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列A，定義數(shù)列，其中.(1)對(duì)，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列A；(2)對(duì)數(shù)列，其中，證明：存在具有性質(zhì)的數(shù)列A，使得與為同一個(gè)數(shù)列；(3)對(duì)具有性質(zhì)的數(shù)列A，若且數(shù)列滿足，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè).【答案】(1)、、(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，得到且，，，確定，按照或分別討論可得答案；（2）設(shè)數(shù)列：中恰有項(xiàng)為1，在按照、、三種情況分別討論可證結(jié)論；（3）按照的奇偶分類討論，結(jié)合數(shù)列的定義可證結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則因?yàn)椋?，，所以，，，又，所以，或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，綜上所述：所有具有性質(zhì)的數(shù)列A為：、、.（2）由于數(shù)列：，其中，不妨設(shè)數(shù)列：中恰有項(xiàng)為1，若，則符合題意，若，則符合題意，若，則設(shè)這項(xiàng)分別為，構(gòu)造數(shù)列，令分別為，數(shù)列的其余各項(xiàng)分別為，經(jīng)檢驗(yàn)數(shù)列符合題意.（3）對(duì)于符合題意的數(shù)列，①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，存在數(shù)列符合題意，且數(shù)列與不同，與相同