2023屆新高考復(fù)習(xí)系列模擬試卷（五）（新高考I卷）數(shù)學(xué)試題-1

數(shù)學(xué)試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解出不等式確定集合，再求交集即可.【詳解】∵集合，，∴，故選：B.2．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】因為，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，則復(fù)數(shù)，∴復(fù)數(shù)，故選：D.3．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長等于側(cè)面展開圖的弧長，求得底面圓半徑，根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，結(jié)合圓錐體積公式計算即可求解.【詳解】母線長為1，設(shè)底面圓半徑為，則，∴，∴，故圓錐的體積為，故選：A.4．（2021·陜西渭南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后逐個分析判斷.【詳解】由，得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)的減區(qū)間有，……，對于A，函數(shù)在上有增有減，所以A錯誤，對于B，函數(shù)在上有增有減，所以B錯誤，對于C，函數(shù)在上有增有減，所以C錯誤，對于D，函數(shù)在上遞減，所以D正確，故選：D.5．（2022·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知分別是橢圓的兩個焦點，點在上，若的最大值為2，則（

）A． B．2 C．4 D．16【答案】B【分析】利用基本不等式即可求得最大時對應(yīng)的值.【詳解】根據(jù)橢圓的定義得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選:B6．（2022·四川·廣安二中模擬預(yù)測（文））已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式可化簡整理求得，代入所求式子即可求得結(jié)果.【詳解】由得：，整理可得：；，，，則，.故選：C.7．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目所給的對稱性得到，進(jìn)一步得到，再求出時的解析式，再求導(dǎo)代入即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即.用代換上式中的，即可得到，所以關(guān)于直線對稱.由得，若，則，當(dāng)時，，，，，所以曲線在處的切線方程是:,即.故選：C.【點睛】函數(shù)的對稱性與分段函數(shù)的解析式求解結(jié)合的問題邏輯推理要求高，平時對于函數(shù)關(guān)于直線的對稱問題要注重推理與積累.8．（2022·陜西省榆林中學(xué)高三階段練習(xí)（理））近日，各地有序開展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點為了更好的服務(wù)市民，決定增派甲、乙、丙、丁4名醫(yī)務(wù)工作者參加登記、接種、留觀3項工作，每項工作至少1人參加，若表示事件：“甲參加登記這項工作”；事件表示“乙參加登記這項工作”；事件表示“乙參加接種這項工作”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與相互獨(dú)立C． D．【答案】D【分析】計算出，，驗證得到，，故AB錯誤；利用條件概率公式求出，得到C錯誤，D正確.【詳解】先將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)務(wù)工作者分為3組，1組2人，2組1人，則有種選擇，再將分好的3組人員與參加登記、接種、留觀3項工作全排列，故共有種基本事件，若甲與另外一人，共同參加登記這項工作，則只需將乙、丙、丁與登記、接種、留觀3項工作全排列即可，此時由種選擇，若甲單獨(dú)參加登記這項工作，則先將剩余的乙、丙、丁分為兩組，再和接種、留觀2項工作全排列，有種選擇，故事件包含的基本事件數(shù)為：，則，同理，事件包含的基本事件數(shù)為：，則，事件包含兩種情況，一是甲單獨(dú)參加登記這項工作，乙單獨(dú)參加接種這項工作，則剩余的兩人參加留觀工作，此時由種選擇，二是甲乙兩人，有1人不是單獨(dú)參加工作，此時有種選擇，故事件包含的基本事件數(shù)為：，則∵，故A錯誤；∵，故B錯誤；∵，故C錯誤；∵，故D正確．故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）某小區(qū)通過開設(shè)公益講座以提高居民的環(huán)境保護(hù)意識，為了解講座的效果，隨機(jī)抽取10位小區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份環(huán)境保護(hù)的知識問卷，這10位小區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖所示，則以下結(jié)論正確的是（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)大于B．講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前問卷答題的正確率的極差C．講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后問卷答題的正確率的方差D．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于【答案】ABC【分析】根據(jù)中位數(shù)、極差、方差、平均數(shù)等知識確定正確答案.【詳解】講座前問卷答題的正確率排序為，，中位數(shù)，A正確.講座前極差，講座后極差，B正確.講座后，所以D錯誤.講座前后比較：講座前極差較大，并且講座前數(shù)據(jù)較分散，所以講座前方差較大，所以C正確.故選：ABC10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，則下列命題正確的是（

）A．的最大值為B．存在，使得C．若，則D．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為【答案】ABD【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，計算，結(jié)合輔助角公式等三角知識判斷正誤.【詳解】對于A，，其中，所以當(dāng)，最大值為，A正確.對于B，因為，所以當(dāng)，且時，，即使得，時，符合題意，所以B正確.對于C，若，則，此時，C錯誤.對于D，在上的投影向量為，所以，所以和的夾角為，D正確.故選：ABD.11．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）若過點的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且與過點和點的直線相離，設(shè)為圓上的動點，則下列說法正確的是（

）A．圓心的坐標(biāo)為或B．面積的最大值為22C．當(dāng)最小時，D．不存在點使【答案】BCD【分析】由題意求出圓心與半徑，根據(jù)點到直線的距離的最大值為可判斷B，當(dāng)最小時，與圓相切根據(jù)勾股定理可求理，假設(shè)存在點使，求的外接圓圓的半徑即可判斷D．【詳解】由題意知圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得或，當(dāng)時，圓心到直線：的距離為，當(dāng)時，圓心到直線：的距離為，又圓與：相離，所以圓心的坐標(biāo)為，A錯誤；因為點到直線的距離的最大值為，所以，B正確；當(dāng)最小時，與圓相切，由對稱性或勾股定理可得，C正確；假設(shè)存在點使，則的外接圓圓的半徑為，設(shè)圓方程為，則，解得或又因為為圓上的動點，當(dāng)圓心時，，當(dāng)圓心時，，所以圓與圓相離，點不存在，D正確，故選：BCD12．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在正方體中，，點P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時，與可能為B．當(dāng)時，的最小值為C．若與平面所成角為，則點P的軌跡長度為D．當(dāng)時，正方體經(jīng)過點?P?C的截面面積的取值范圍為【答案】AC【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，求出平面的一個法向量，由，求出，再根據(jù)列出方程，求出或1，得到A正確；B選項，先根據(jù)，得到點在棱上，將平面與平面沿著展成平面圖形，結(jié)合余弦定理求出答案；C選項，先得到為與平面所成角，根據(jù)所成角的大小得到，從而得到點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，求出軌跡長度；D選項，先確定點在上，作出輔助線得到平行四邊形即為正方體過點?P?C的截面，設(shè)，求出點到直線的距離，配方后得到其最大值與最小值，從而得到截面的最大值與最小值，得到取值范圍.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，即平面的一個法向量為，若平面，則，即，故，故，其中，令，解得：或1，故與可能是，A正確；B選項，因為，故點在棱上，如圖，將平面與平面沿著展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可得：，所以，B錯誤；C選項，因為⊥平面，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點的軌跡長度為，C正確；D選項，當(dāng)時，點在上，過點作交于點，連接，則，所以平行四邊形即為正方體過點?P?C的截面，設(shè)，所以，則，，所以點到直線的距離為，于是當(dāng)時，，的面積取得最小值，此時截面面積最小為，當(dāng)或1時，，的面積取得最大值，此時截面面積最大為，故截面面積的取值范圍為，D錯誤.故選：AC【點睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為___________．【答案】1【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，而，故即，故答案為：1.14．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）設(shè)拋物線和的焦點分別為，點在上，軸，線段交于點，且為的中點，則的值為______.【答案】##【分析】根據(jù)題意求出的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求得坐標(biāo)，代入可求解.【詳解】由題，，將代入得，所以，因為點在上，，即解得或（舍），故答案為:.15．（2022·江蘇省如東高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若與的圖像上分別存在點，使得關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】設(shè)點，可得出，構(gòu)造函數(shù)，可得知直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有交點，進(jìn)而可知，實數(shù)的取值范圍是函數(shù)在區(qū)間上的值域，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】因為與的圖像上分別存在點，使得關(guān)于直線對稱，令，則，即在上有解，即在上有解即在上有解，設(shè)，，則，當(dāng)時，，故在為增函數(shù)，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，而，故在上的值域為，故即故答案為：16．（2022·江蘇蘇州·高三期中）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上．設(shè)外圍第一個正方形的邊長為1，往里第二個正方形為，…，往里第個正方形為．那么第7個正方形的周長是____________，至少需要前____________個正方形的面積之和超過2．（參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】

【分析】根據(jù)已知，利用勾股定理、正方形的周長公式、面積公式以及等比數(shù)列的通項、前n項和公式進(jìn)行求解.【詳解】因為每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上，且外圍第一個正方形的邊長為1，所以，,由勾股定理有：，設(shè)第個正方形的邊長為，則，，……，，所以，所以第7個正方形的周長是，第n個正方形的面積為，則第1個正方形的面積為，則第2個正方形的面積為，則第3個正方形的面積為，……則第n個正方形的面積為，前n個正方形的面積之和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以至少需要前4個正方形的面積之和超過2．故答案為：，4.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·廣西·南寧二中一模（文））已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)得到數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可得到，然后利用等差數(shù)列的定義證明即可；（2）利用錯位相減的方法求和即可.【詳解】（1）∵，∴.又，∴，∴，且.∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴，即，.∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）易得，∴，則，，化簡得，則.18．（2022·四川·成都七中一模（理））新冠肺炎是近百年來人類遭遇的影響范圍最廣的全球性大流行病毒.對前所未知、突如其來、來勢洶洶的疫情天災(zāi)，習(xí)近平總書記親自指揮、親自部署，強(qiáng)調(diào)把人民生命安全和身體健康放在第一位.明確堅決打贏疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn).當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢依然復(fù)雜嚴(yán)峻.為普及傳染病防治知識，增強(qiáng)學(xué)生的疾病防范意識，提高自身保護(hù)能力，市團(tuán)委在全市學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽（滿分100分），競賽獎勵規(guī)則如下：得分在[70，80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其它學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表.競賽成績?nèi)藬?shù)61218341686(1)從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成績，求這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似地服從正態(tài)分布，若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)特別多）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，2【分析】（1）根據(jù)題意可得獲獎情況，再根據(jù)組合數(shù)的計算與概率公式求解即可；（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)可得隨機(jī)變量，再列出分布列求解數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由樣本頻率分布表可知，樣本中獲一等獎的6人，獲二等獎的8人，獲三等獎的16人，共30人，則70人沒有獲獎，所以從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成績，這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎的概率為.（2）因為該校所有參賽學(xué)生的成績X近似地服從正態(tài)分布，所以，所以，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生成績在64分以上的概率為，所以隨機(jī)變量，所以（，1，2，3，4），所以，，，，，所以的分布列為01234P所以.19．（2022·山東·利津縣高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足，(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，是斜率為2的直線上的兩個不重合的點，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2)的取值范圍為【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換，結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系化簡條件等式即可求角；(2)由斜率公式可得，根據(jù)正弦定理可求的外接圓半徑，再由正弦定理用角表示，結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】（1）因為，又，所以，，因為，所以，故，因為，所以或；（2）因為，是斜率為2的直線上的兩個不重合的點，所以且，故，因為為銳角三角形，由(1)可得，，，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，因為，，所以，，因為，所以，所以，，所以，，因為，所以，所以，所以，故的取值范圍為.20．（2022·安徽·六安二中高三階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，為的中點，．(1)證明：平面平面；(2)若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的大小為，求出的長，計算三棱錐的體積.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，又，，所以平面，因為平面，平面平面.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，為軸，為y軸，過O且垂直的直線為x軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，為邊長為1的等邊三角形，則，，，設(shè)，，因為，所以，所以，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，又平面的一個法向量為，所以，解得，所以，，所以，所以三棱錐的體積為21．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點,,分別是雙曲線：（,）的左,右焦點,,若直線與雙曲線點的右支有公共點.(1)求的離心率的最小值;(2)當(dāng)雙曲線的離心率最小時,直線與交于,兩點,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由于,所以離心率的最小值即為求的最大值,連接,,要使雙曲線的離心率最小,只需最大,即最大,求出關(guān)于直線的對稱點為,連接,,則即可求出最大值,進(jìn)而求出離心率最小值;(2)由(1)可得離心率最小值時的,可得雙曲線方程,聯(lián)立直線與雙曲線方程,設(shè),兩點坐標(biāo),求出,代入