2023屆河南省普通高中畢業(yè)班高考適應性考試數(shù)學（理）試題

2023屆河南省普通高中畢業(yè)班高考適應性考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2．已知，為實數(shù)，（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由是關(guān)于的方程的一個根，則是關(guān)于的方程的一個根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由是關(guān)于的方程的一個根，則是關(guān)于的方程的一個根，則，，即，，則，故選：D.3．設(shè)數(shù)列為正項等差數(shù)列，且其前項和為，若，則下列判斷錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，由無窮等差數(shù)列的各項都為正數(shù)，可得公差，逐項判斷，即得答案.【詳解】，，故正確；∵無窮等差數(shù)列的各項都為正數(shù)，∴公差，，故B確;，故C錯誤;，故D正確.故選：C.4．已知為正方形，其內(nèi)切圓與各邊分別切于,連接,現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機拋擲一枚豆子（豆子大小忽略不計），記事件A:豆子落在圓內(nèi)；事件B:豆子落在四邊形外，則

A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：設(shè)正方形邊長為,分別求解圓和正方形的面積，得到在圓內(nèi)且在正方形內(nèi)的面積，即可求解.詳解：設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為其面積為設(shè)正方形邊長為,則其面積為則在圓內(nèi)且在正方形內(nèi)的面積為故故選C．點睛：本題考查條件概率的計算，其中設(shè)正方形邊長和正方形得到在圓內(nèi)且在正方形內(nèi)的面積是解題的關(guān)鍵.5．已知，分別是的邊，上的點，且滿足，．為直線與直線的交點．若（，為實數(shù)），則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三點共線，三點共線分別建立的方程求解即可.【詳解】如圖，因為三點共線，，所以①，又，，所以，，故，又三點共線，所以②，聯(lián)立①②可解的，故.故選：C6．已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象上距離原點最近的對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦二倍角公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期公式、平移性質(zhì)、對稱性進行求解即可.【詳解】，因為最小正周期為，，所以有，即，因為函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以，，所以函數(shù)的對稱中心為，令，函數(shù)的圖象上距離原點最近的對稱中心為，故選：B7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線的一條漸近線上的點，且線段的中點在另一條漸近線上．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由中位線可知，即可得出一條漸近線的斜率，據(jù)此得出離心率.【詳解】因為分別是的中點，所以，又，所以，即，所以，故.故選：A8．如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，則過線段且垂直于平面的截面圖形為（

）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，取的中點，利用向量可證明平面，再由平行公理及正方體性質(zhì)確定為等腰梯形.【詳解】如圖，以D為坐標原點，分別為建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取的中點.連接,則,所以,,,所以，,即,，而，平面，所以平面，由的中點，則,又，所以，即四邊形為平面四邊形，在正方體中易知,所以四邊形為等腰梯形，又平面，所以平面平面，故滿足題意的截面為等腰梯形.故選：A9．某中學堅持“五育”并舉，全面推進素質(zhì)教育.為了更好地增強學生們的身體素質(zhì)，校長帶領(lǐng)同學們一起做俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達到中等強度運動，簡單測量方法為，其中為運動后心率（單位：次/分）與正常時心率的比值，介于之間，則達到了中等強度運動；若低于28，則運動不足；若高于34，則運動過量.已知某同學正常時心率為80，體質(zhì)健康系數(shù)，經(jīng)過俯臥撐后心率（單位：次/分）滿足，為俯臥撐個數(shù).已知俯臥撐每組12個，若該同學要達到中等強度運動，則較合適的俯臥撐組數(shù)為（

）（為自然對數(shù)的底數(shù)，）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設(shè)俯臥撐組數(shù)為組，根據(jù)題目所給函數(shù)解析式求出運動強度，解不等式求解即可.【詳解】由題意，設(shè)俯臥撐組數(shù)為組，則，所以，所以，所以，，因為，且，所以.故選：B10．設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可以確定函數(shù)的解析式與周期，進而求出結(jié)果.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以①，且關(guān)于點對稱，因為是偶函數(shù)，所以②，且關(guān)于對稱，所以的周期為，令，由①得，由②得又，所以，，令，由①得，所以，，所以，又，所以.故選：D11．實數(shù)x，y，z分別滿足，，，則x，y，z的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知即，，，構(gòu)選函數(shù)確定其在上單調(diào)遞減，可得，又設(shè)，其在上單調(diào)遞增，所以得．【詳解】解：由已知得，，，設(shè)，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，因此，即所以，；又設(shè)，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以，則；綜上得.故選：B．【點睛】方法點睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：1.通過找中間值比較大小，要比較的兩個或者三個數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個時候我們就可以通過引入一個常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系.2.通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個數(shù)之間可以看成某個函數(shù)對應的函數(shù)值，我們只要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個函數(shù)的單調(diào)性就可以通過自變量的大小關(guān)系，進而找到要比較的數(shù)的大小關(guān)系.有些時候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進一步縮小范圍.12．如圖，直線平面，垂足為，正四面體（所有棱長都相等的三棱錐）的棱長為2，在平面內(nèi)，是直線上的動點，當?shù)降木嚯x最大時，該正四面體在平面上的射影面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知點是以為直徑的球面上的點，得到到的距離為四面體上以為直徑的球面上的點到的距離，最大距離為與的公垂線半徑．再由取得最大距離時，垂直平面，且平行平面求解.【詳解】因為直線平面，垂足為，所以點是以為直徑的球面上的點，所以到的距離為四面體上以為直徑的球面上的點到的距離，最大距離為到球心的距離半徑，即與的公垂線半徑，如圖所示：取的中點，的中點，連接，，，因為，所以，，,所以到的最大距離為，此時，,當取得最大距離時，垂直平面，且平行平面，所以投影是以為底，到的距離投影，即為高的等腰三角形,其面積．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是明確到的最大距離為為與的公垂線球半徑，由共線得到而得解.二、填空題13．拋物線的焦點到準線的距離等于__________.【答案】【分析】先將拋物線方程，轉(zhuǎn)化為標準方程，求得焦點坐標，準線方程即可.【詳解】因為拋物線方程是，轉(zhuǎn)化為標準方程得：，所以拋物線開口方向向右，焦點坐標為準線方程為：，所以焦點到準線的距離等于.故答案為：【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知函數(shù)連續(xù)且在上單調(diào)遞增，所以轉(zhuǎn)化為，即，解得：.15．安排，，，，五名志愿者到甲，乙兩個福利院做服務工作，每個福利院至少安排一名志愿者，則，被安排在不同的福利院的概率為______．【答案】【分析】分1人,4人和2人，3人兩種情況安排到兩個福利院，再分析在4人組，3人組，2人組三種情況得到在同一福利院的分法，利用對立事件的概率求解即可.【詳解】5人分配到2個福利院有1,4和3,2兩種分組方法，共有種分法，其中，被安排在同一組在同一福利院有種，所以，被安排在不同的福利院的概率為.故答案為：16．已知數(shù)列滿足，．若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】若使數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，且母函數(shù)，所以數(shù)列有極限，其值為其不動點(若函數(shù)滿足，則稱是函數(shù)的不動點).又在上單調(diào)增加，故，所以，下面只需要證明時滿足條件即可.【詳解】數(shù)列單調(diào)遞增，則當時，.當時，，而在上單調(diào)增加，所以，即，由數(shù)學歸納法可得.當時，因為，所以，即又，所以，所以，即故當時，此時，而在上單調(diào)減少，所以，即，與題意矛盾.綜上，的取值范圍是故答案為：【點睛】注若遞推數(shù)列單調(diào)有界，則母函數(shù)在由和不動點為端點所形成的區(qū)間范圍內(nèi)單調(diào)增加.三、解答題17．已知在中，角，，的對邊分別是，，，在①；②；③中任選一個作為條件解答下面兩個問題．(1)求角；(2)已知，，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】(1)若選①根據(jù)正弦定理及兩角差的余弦定理可得求解；若選②根據(jù)正弦定理及三角恒等變換可得求解；若選③由正弦定理及余弦定理求解即可.（2）由三角形的面積公式及余弦定理即可得解.【詳解】（1）若選①：因為，所以由正弦定理可得因為，所以.所以可得，即所以因為，所以.若選②：因為,所以由正弦定理可得所以因為,所以.所以因為，所以.若選③：因為，所以由正弦定理可得所以由余弦定理可得因為，所以.（2）由（1）知，因為，，所以，解得，由余弦定理，得所以.18．如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，分別為，的中點，且平面平面．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由菱形性質(zhì)可得BP⊥AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，再由勾股定理得出DF⊥AF，利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理得證；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，連接BP，在菱形ABCD中，，所以是是等邊三角形，則BD=2，BP⊥AD，平面平面，平面ABCD∩平面平面ABCD，平面ADF.又平面，.在中，DF⊥AF.又AF//BE，DF⊥BE.連接EP，平面BEP，DF⊥平面BEP.又PQ平面BEP，.（2）由（1）知BP⊥AD，且平面平面，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面BDF的一個法向量，則即，取，則設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為.19．某學?；I備成立足球社團,由于報名人數(shù)太多,需對報名者進行“點球測試”來決定是否錄取.規(guī)則如下:每人最多有四次機會,只要連續(xù)踢進2個點球,則停止踢球并予以錄取;若已經(jīng)確定不能連續(xù)踢進2個點球,則停止踢球且不予錄取.下表是某同學六次訓練數(shù)據(jù),以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.點球數(shù)203030252025進球數(shù)151722181414(1)求該同學被錄取的概率;(2)若該同學要進行“點球測試”,記他在測試中進球的個數(shù)為,求隨機變量的期望.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意可求出該同學單次點球踢進的概率,因為每人最多有四次機會,只要連續(xù)踢進2個點球,則停止踢球并予以錄取,共有4種情況,列式求解即可;(2)先根據(jù)題意確定的取值為,再分別求解當取各值時的概率,根據(jù)數(shù)學期望公式即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意,該同學單次點球踢進的概率為:,所以該同學被錄取的概率為:.（2）的取值為,,,,,所以隨機變量的期望為:.20．已知橢圓的右焦點，點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點．若，，求的最小值（是坐標原點）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求出，再由焦點得，即可得解；（2）設(shè)出點的坐標，利用向量得坐標間關(guān)系，代入點差法所得等式，可求出，即是直線上動點，再由點到直線距離求最小值即可.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點為，，由橢圓定義知所以所以橢圓的標準方程為（2）由題意知，設(shè)由，，得且又，都在橢圓上，所以兩式作差，得把代入式，得又由，得所以所以到直線的距離經(jīng)檢驗，此時垂足在橢圓內(nèi)部.所以的最小值為.21．已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)求解導數(shù)，故按照，確定導函數(shù)正負區(qū)間，得函數(shù)到單調(diào)性；（2）根據(jù)不等式，參變分離得恒成立，故可構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性求最小值，則求得的取值范圍．【詳解】（1）解：因為，，所以．當時，由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）解：不等式恒成立，即不等式恒成立，即等價于恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則．設(shè)，則．由，得，所以在上單調(diào)遞增，則，即，故在上單調(diào)遞增．因為，所以在上單調(diào)遞增，則，得，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．故，即的取值范圍是．22．在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)射線：與曲線，分別交于點A，B（均異于極點），當時，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先消去參數(shù)得到的普通方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式將轉(zhuǎn)化成直角坐標方程即可；（2）根據(jù)的定義計算，化簡計算可得，再