不等式【概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)】

------------------------------------------------------------------------不等式【概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)】概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)不等式一．不等式的性質(zhì)：1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；3．左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若，則或；4．若，，則；若，，則。如（1）對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，則的取值范圍是______（答：）；（3）已知，且則的取值范圍是______（答：）二．不等式大小比較的常用方法：1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；2．作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函數(shù)的單調(diào)性；7．尋找中間量或放縮法；8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設(shè)，比較的大小（答：當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)））；（2）設(shè)，，，試比較的大小（答：）；（3）比較1+與的大?。ù穑寒?dāng)或時(shí)，1+＞；當(dāng)時(shí)，1+＜；當(dāng)時(shí)，1+＝）三．利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。如（1）下列命題中正確的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，則的最小值是______（答：）；（3）正數(shù)滿足，則的最小值為______（答：）；4.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。如如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_________（答：）五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證：；(2)已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：。六．簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：或）；（2）不等式的解集是____（答：或）；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（答：）七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為____________（答：）.八．絕對(duì)值不等式的解法：1．分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（答：）；（2）利用絕對(duì)值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：如若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______。（答：）九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如（1）若，則的取值范圍是__________（答：或）；（2）解不等式（答：時(shí)，；時(shí)，或；時(shí)，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________（答：（－1,2））十一．含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：同號(hào)或有；異號(hào)或有.如設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證：十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______（答：）；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）；（3）若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（答：（,））；（4）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____（答：）；（5）若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：）2).能成立問題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；若