信號(hào)與線性系統(tǒng)分析(第四版)第5章

5.1拉普拉斯變換5.2

拉普拉斯變換性質(zhì)5.3

拉普拉斯逆變換5.4

復(fù)頻域分析第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和，使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化，物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2tε(t);（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一章將通過(guò)把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來(lái)解決這些問(wèn)題。本章引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率

s

，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。5.1拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換收斂域(單邊)拉普拉斯變換(單邊)拉普拉斯變換常見函數(shù)的拉普拉斯變換單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號(hào)f(t)e-t當(dāng)t∞時(shí)信號(hào)幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。

相應(yīng)的傅里葉逆變換為f(t)e-t=

Fb(+j)=

F[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有定義雙邊拉普拉斯變換對(duì)Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。

使f(t)拉氏變換存在的的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說(shuō)明Fb(s)收斂域的問(wèn)題。例1：因果信號(hào)f1(t)=et

(t)，求拉氏變換。解：可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=>時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界例2：反因果信號(hào)f2(t)=et(–t)，求拉氏變換。解：可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=<時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。例3：雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。

求其拉普拉斯變換。解：其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)僅當(dāng)>時(shí)，其收斂域?yàn)?lt;Re[s]<的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。例4：求下列信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

f1(t)=e-3t

(t)+e-2t

(t)

f2(t)=–e-3t

(–t)–e-2t(–t)

f3(t)=e-3t

(t)–e-2t

(–t)解：Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<

<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t<0時(shí)，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為稱為單邊拉氏變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。三、單邊拉氏變換簡(jiǎn)記為F(s)=￡

[f(t)]

f(t)=￡-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換（1）(t)←→1，>-∞（2）(t)或1←→1/s

，>0（3）指數(shù)函數(shù)e–s0t

←→>

–Re[s0]cos

0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→(4)周期信號(hào)fT(t)特例：T(t)←→1/(1–e–sT)五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系Re[s]>0

要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)。根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況：（1）0<0，即F(s)的收斂域包含j軸，則f(t)的傅里葉變換存在，并且F(j)=F(s)

s=j如f(t)=e–2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>–2；則F(j)=1/(j+2)（2）0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s

=()+1/j

（3）0>0，F(xiàn)(j)不存在。例:f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里葉變換不存在。5.2

拉普拉斯變換性質(zhì)線性性質(zhì)尺度變換時(shí)移特性復(fù)頻移特性時(shí)域微分卷積定理s域微分s域積分初值定理終值定理時(shí)域積分一、線性性質(zhì)若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例:

f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有實(shí)數(shù)a>0，則f(at)←→證明：,Re[s]>a0LL三、時(shí)移特性若f(t)

←→F(s),Re[s]>0,且有實(shí)常數(shù)t0>0,則f(t–t0)(t–t0)←→e–st0F(s),Re[s]>0

與尺度變換相結(jié)合f(at–t0)(at–t0)←→例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：f1(t)=(t)–(t–1)，f2(t)=(t+1)–(t–1)F1(s)=F2(s)=F1(s)例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：

f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t–2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t–2)]←→2F1(2s)e–2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e–2s)例3:求f(t)=e–2(t–1)ε(t)←→F

(s)=?四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja,則f(t)esat

←→F(s–sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)F(s)=求e–tf(3t–2)的象函數(shù)。解：e–tf(3t–2)

←→例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)五、時(shí)域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則f'(t)←→sF(s)–f(0–)推廣：證明：LL舉例若f(t)為因果信號(hào)，則f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:例3:六、時(shí)域積分特性（積分定理）證明：(1)(2)(1)(2)若L[f(t)]=F(s)，則L例1:t2(t)←→?例2:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)解：對(duì)f(t)求導(dǎo)得f′(t)，如圖由于f(t)為因果信號(hào)，故f(0–)=0f′(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知f(n)(t)←→Fn(s)

則f(t)←→Fn(s)/sn七、卷積定理時(shí)域卷積定理

若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,

f2(t)←→F2(s),Re[s]>2則f1(t)﹡f2(t)←→F1(s)F2(s)復(fù)頻域（s域）卷積定理

例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=例3：八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則例1：t2e–2t(t)←→

?e–2t(t)←→

1/(s+2)t2e–2t(t)←→例2：例3：九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則終值定理若f(t)當(dāng)t→∞時(shí)存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，則舉例例1：例2：5.3

拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換——復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法:①查表②利用性質(zhì)③部分分式展開——結(jié)合若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n

（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。由于L-1[1]=(t)，

L

-1[sn]=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。一、零、極點(diǎn)的概念若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為

分解零點(diǎn)極點(diǎn)z1，z2，z3，···，zm是B(s)=0的根，稱為F(s)的零點(diǎn)[因?yàn)锽(s)=0→F(s)=0]p1，p2，p3，···，pn是A(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)[因?yàn)锳(s)=0→F(s)=∞]二、拉氏逆變換的過(guò)程求F(s)的極點(diǎn)將F(s)展開為部分分式查變換表求出原函數(shù)f(t)部分分式展開第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)p1，p2，p3，···，pn為不同的實(shí)數(shù)根。L單階實(shí)極點(diǎn)舉例(1)求極點(diǎn)(2)展為部分分式(3)逆變換求系數(shù)由L(t≥0)假分式情況：作長(zhǎng)除法第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

求f(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)

f0(t)=Lf0(t)=L共軛極點(diǎn)舉例(t≥0)第三種情況：有重根存在如何求K2?K2的求法逆變換所以f(t)=L–1[F(s)]=(4e–2t

–3e–t

+te–t)ε(t)一般情況求K11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式LL舉例5.4

復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解

描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0–)，y(1)(0–)，···，y(n–1)(0–)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sj

F(s)

y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代數(shù)方程舉例例1：

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0–)=1，y'(0–)=–1，激勵(lì)f(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：方程取拉氏變換，并整理得Yzi(s)Yzs(s)y(t)=2e–2t(t)

–e–3t

(t)

-4e–2t

(t)

+

yzi(t)yzs(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)二、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為

它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。yzs(t)=h(t)﹡f

(t)H(s)=L[h(t)]Yzs(s)=L

[h(t)]F(s)例2：已知當(dāng)輸入f(t)=e–t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

yzs(t)=(3e–t

–4e–2t

+e–3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解：h(t)=(4e–2t–

2e–3t)(t)微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)

取逆變換yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f(t)

三、系統(tǒng)的s域框圖時(shí)域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(t)=a

f

(t)s域框圖基本單元(零狀態(tài))s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=a

F(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++例3：

如圖框圖，列出其微分方程X(s)s–1X(s)s–2X(s)解：

畫出s域框圖,s–1s–1F(s)Y(s)設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖X(s)=F(s)–3s–1X(s)–2s–2