量子力學(xué)第六章固體的能帶理論

量子力學(xué)第六章固體的能帶理論第1頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、根據(jù)上述近似所建立的有關(guān)固體中電子狀態(tài)的理論就是能帶理論。4、薛定諤方程：5、由于晶體結(jié)構(gòu)具有周期性，因而晶體中的每個(gè)價(jià)電子都處在一個(gè)完全相同的嚴(yán)格周期性勢(shì)場(chǎng)中。電子勢(shì)函數(shù)V（r）的周期與晶體結(jié)構(gòu)的周期相同：

V（r）=V（r+Rn）。其中Rn=n1a1+n2a2+n3a3是格矢。第2頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、布洛赫定理1、布洛赫定理在周期性勢(shì)場(chǎng)中，薛定諤方程的解（電子波函數(shù)）其中2、布洛赫波具有k(r)=Uk(r)eik·r形式的波函數(shù)稱為布洛赫波。布洛赫定理表明，布洛赫波是自由電子的平面波eik·r被晶格周期函數(shù)Uk(r)調(diào)幅的平面波。第3頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、克龍尼克-潘納模型1、模型克龍尼克-潘納模型是周期性勢(shì)場(chǎng)為一維方勢(shì)阱的特例。勢(shì)場(chǎng)周期為（a+b），勢(shì)壘高度為V0，勢(shì)壘寬度為b。假定V0足夠大，b足夠小，二者的乘積是一個(gè)有限值。第4頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、根據(jù)克龍尼克-潘納模型計(jì)算得到E~k關(guān)系曲線在周期性勢(shì)場(chǎng)中，電子有帶狀結(jié)構(gòu)的能譜。能譜由允帶和禁帶交替排列組成。禁帶出現(xiàn)在k=(/a)·h的位置，其中h為整數(shù)。E是k的偶函數(shù)，即E（k）=E（-k）能量較高的允帶較寬，能量較低的允帶較窄對(duì)于任一能帶，能量E是波矢k的周期函數(shù)，周期為倒格矢kh=(2/a)h。第5頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、布洛赫定理的一些重要推論1、布洛赫函數(shù)及能量的嚴(yán)格表達(dá)式對(duì)于每一指定的波矢k，對(duì)應(yīng)著很多波函數(shù)和能量，它們分屬不同的能帶。第n個(gè)能帶的波矢為k的波函數(shù)和能量記為n,k(r)、En(r)，布洛赫波n,k(r)=Un,k(r)eik·r2、周期性K態(tài)與k+kh態(tài)是相同的狀態(tài)。即

Ψn,K(r)=Ψn,K+Kh(r)En(K)=En(K+Kh)

其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3如果將k值限制在第一布里淵區(qū)-/a~/a內(nèi)，這些波矢完全能標(biāo)志所有的波函數(shù)和能量，它們稱為簡(jiǎn)約波矢。因此第一布里淵區(qū)也稱為簡(jiǎn)約區(qū)。電子的能量對(duì)稱性與晶體點(diǎn)群對(duì)稱性一致：En(k)=En(k)。其中表示晶體所有的點(diǎn)群對(duì)稱操作。第6頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、布洛赫定理的另一種表示：n,k(r+Rl)=eik·Rl

n,k(r)。在布洛赫函數(shù)中，將坐標(biāo)平移一個(gè)格矢的效果是乘上一個(gè)相位因子eik·Rl

。4、周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子是晶體中的公有化電子。由布洛赫定理得到|n,k(r)|2=|

n,k(r+Rl)|2，表明周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子在r處與r+Rl處出現(xiàn)的幾率相等，即電子在各個(gè)元胞的對(duì)應(yīng)點(diǎn)出現(xiàn)的幾率是一樣的。電子是公有化的，而不是局限在某個(gè)特定的原子附近運(yùn)動(dòng)。5、?k不是晶體電子的真實(shí)動(dòng)量對(duì)于自由電子，波函數(shù)是平面波，?k是動(dòng)量算符的本征值，P=?k是處在狀態(tài)k(r)=Aeik·r的電子的真實(shí)動(dòng)量。對(duì)于一維周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子，由于右邊第二項(xiàng)一般不為零，因而k(x)不是動(dòng)量算符-i?d/dx的本征態(tài)，?k不是動(dòng)量算符的本征值。

?k在晶體中發(fā)生的許多過(guò)程中起電子動(dòng)量作用，常被稱為電子的晶體動(dòng)量（或準(zhǔn)動(dòng)量）。第7頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四五、周期性邊界條件與波矢k的取值1、周期性邊界條件晶格的周期性邊界條件用于布洛赫波得將布洛赫函數(shù)代入利用調(diào)幅因子的周期性，得到：2、波矢k的取值設(shè)k=1b1+2b2+3b3，其中1、2、3是待定的系數(shù)。代入上式，求得1=l1/N12=l2/N23=l3/N3

于是k=（l1/N1）b1+（l2/N2）b2+（l3/N3）b3第8頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、波矢k的密度每個(gè)波矢k在倒空間所占體積為在第一布里淵區(qū)內(nèi)，波矢k的數(shù)目為在倒空間內(nèi)波矢k的密度為在二維情況下，波矢k的密度為在一維情況下，波矢k的密度為其中，Vc、Sc、Lc分別為晶體的體積、面積、長(zhǎng)度。4、由于在第一布里淵區(qū)內(nèi)k的數(shù)目為N，因此在每個(gè)能帶內(nèi)有N個(gè)能量狀態(tài)，即一個(gè)能帶內(nèi)有N個(gè)能級(jí)。又由于N是一個(gè)很大的數(shù)，且能帶的寬度僅為數(shù)電子伏特。所以在一個(gè)能帶內(nèi)部能級(jí)十分密集，可以近似地看作是連續(xù)的或者準(zhǔn)連續(xù)的。第9頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四六、狀態(tài)密度1、概念狀態(tài)密度：給定體積的晶體在單位能量間隔內(nèi)所包含的電子狀態(tài)數(shù)。K空間的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于能帶內(nèi)的一個(gè)能量E，而一個(gè)給定的能量E對(duì)應(yīng)著波矢空間的一系列k點(diǎn)，這些k點(diǎn)在波矢空間形成的曲面稱為等能面。2、公式三維情況由于在k空間內(nèi)k點(diǎn)的密度是Vc/(2)3，因而能量為E和E+E的兩個(gè)等能面之間的殼層包含的k點(diǎn)數(shù)目為[Vc/(2)3]Vk?？紤]到能帶的準(zhǔn)連續(xù)性，則在E和E+dE之間的殼層內(nèi)包含的k點(diǎn)數(shù)為

K空間的體積元dk=dSEn0?dk，其中dSE是等能面上的面元，n0是面元的法向單位矢量。第10頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考慮電子的自旋，則E和E+dE之間的電子狀態(tài)數(shù)第n個(gè)能帶在能量E處的狀態(tài)密度如果能帶之間有交疊，能量E處的狀態(tài)密度二維情況和一維情況第11頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、表征方法及應(yīng)用用軟x射線發(fā)射譜可以研究態(tài)密度的特征（1）波長(zhǎng)較長(zhǎng)（100?左右）的x射線稱為軟x射線（2）軟x射線發(fā)射譜的強(qiáng)度I（E）與高能帶能量為E處的態(tài)密度D（E）及能量為E電子向低能帶躍遷的幾率（E）成正比：I（E）~