2014高考數(shù)學(xué)專題-雙曲線的定義及幾何性質(zhì)

內(nèi)部資料DATE\@"yyyy-M-d"2023-4-29高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練——雙曲線一、要點(diǎn)精講1、雙曲線的定義與幾何性質(zhì)：定義1、到兩個(gè)定點(diǎn)與的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（小于）的點(diǎn)的軌跡2、到定點(diǎn)與到定直線的距離之比等于常數(shù)e（＞1）的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程=1=1圖形性質(zhì)范圍或，，或?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)漸近線頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，，焦點(diǎn)，，軸實(shí)軸的長(zhǎng)為虛軸的長(zhǎng)為離心率，其中準(zhǔn)線準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是2、雙曲線的形狀與的關(guān)系：因?yàn)殡p曲線的斜率，所以越大，則漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。故雙曲線的離心率越大，它的開口就越寬闊。3、共漸近線的雙曲線系方程：與=1有相同漸近線的雙曲線系方程可設(shè)為，若，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上；若，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上。二、高考鏈接1、（2010安徽理）雙曲線方程為，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為A、 B、 C、 D、2．（2013年湖北）已知,則雙曲線:與:的 （）A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等3．（2013課標(biāo)）已知雙曲線的離心率為QUOTE52,則的漸近線方程為 （）A． B． C． D．4．（2013湖南）設(shè)F1、F2是雙曲線C,(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)。若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為___________.5.（2010北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；漸近線方程為。6．(2012·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的離心率為eq\r(5)，則m的值為______．解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上且m＞0，所以e＝eq\f(\r(m2＋m＋4),\r(m))＝eq\r(5)，所以m＝2.三、典例精講考點(diǎn)一：雙曲線的定義1、(2011四川)雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是4，那么點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是________．解：雙曲線中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4,4＜a＋c＝18，所以點(diǎn)P在雙曲線右支上．由定義知點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為2×8＋4＝20，設(shè)點(diǎn)P到雙曲線左準(zhǔn)線的距離為d，再根據(jù)雙曲線第二定義，有eq\f(20,d)＝eq\f(c,a)＝eq\f(10,8)，故d＝16.2、平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為________．解：雙曲線的右焦點(diǎn)(4,0)，點(diǎn)M(3，eq\r(15))或(3，－eq\r(15))，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為4.12.（08全國(guó)）設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（B）A． B． C． D．13．(2012湖南)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1解：設(shè)焦距為2c，則得c＝5.點(diǎn)P(2,1)在雙曲線的漸近線y＝±eq\f(b,a)x上，得a＝2b.結(jié)合c＝5，得4b2＋b2＝25，解得b2＝5，a2＝20，所以雙曲線方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.14．(2012課標(biāo))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4eq\r(3)，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．8解：設(shè)等軸雙曲線方程為x2－y2＝a2，根據(jù)題意，得拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－4，代入雙曲線的方程得16－y2＝a2，因?yàn)閨AB|＝4eq\r(3)，所以16－(2eq\r(3))2＝a2，即a2＝4，所以2a＝4，所以選C.15．(2011浙江)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則()A．a(chǎn)2＝eq\f(13,2)B．a(chǎn)2＝13C．b2＝eq\f(1,2)D．b2＝2解：依題意a2－b2＝5，根據(jù)對(duì)稱性，不妨取一條漸近線y＝2x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))解得x＝±eq\f(ab,\r(4a2＋b2))，故被橢圓截得的弦長(zhǎng)為eq\f(2\r(5)ab,\r(4a2＋b2))，又C1把AB三等分，所以eq\f(2\r(5)ab,\r(4a2＋b2))＝eq\f(2a,3)，兩邊平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝eq\f(1,2)，故選C.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡(jiǎn)化解題過程．同時(shí)要掌握以下內(nèi)容：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；(2)求已知漸近線的雙曲線的方程；(3)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，16、(2010遼寧)設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)解：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)，則kBF＝－eq\f(b,c)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，∴－eq\f(b,c)·eq\f(b,a)＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e＞1，∴e＝eq\f(\r(5)＋1,2).17．（2013重慶）設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn),若有且只有一對(duì)相較于點(diǎn)、所成的角為的直線和,使,其中、和、分別是這對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是zhangwlx （）A． B． C． D．解：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的斜率eq\f(b,a)必須滿足eq\f(\r(3),3)<eq\f(b,a)≤eq\r(3)，所以eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)≤3，eq\f(4,3)<1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)≤4，即有eq\f(2,3)eq\r(3)<eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤2.又雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以eq\f(2,3)eq\r(3)<e≤2.18.（09重慶）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（Ⅰ）求該雙曲線的方程；（Ⅱ）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線