四川省內(nèi)江市高中2018屆高三第一次模擬考試題數(shù)學(xué)(理工類)-含解析

PAGE四川省內(nèi)江市高中2018屆高三第一次模擬考試題數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1.已知集合，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】故選2.設(shè)為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則A.2B.C.1D.【答案】C【解析】是純虛數(shù)，，計(jì)算得出故選3.下列各組向量中，可以作為基底的是A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】選項(xiàng)中，零向量與任意向量都共線，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)中，不存在實(shí)數(shù)，使得，故兩向量不共線，故正確；選項(xiàng)中，，兩向量共線，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)中，，兩向量共線，故錯(cuò)誤；故選4.下列說(shuō)法中正確的是A.先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000，再?gòu)木幪?hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為，然后抽取編號(hào)為的學(xué)生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法B.線性回歸直線不一定過(guò)樣本中心點(diǎn)C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1D.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則【答案】D【解析】中抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，故錯(cuò)誤；中線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故錯(cuò)誤；:若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,故錯(cuò)誤；故選5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是A.2B.1C.D.【答案】A【解析】輸入，，令，則原式當(dāng)時(shí)，幾何意義指到原點(diǎn)距離有，解得代入原式故選11.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】不妨令則當(dāng)時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)不恒大于，不成立當(dāng)時(shí)在時(shí)恒成立當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)且時(shí)綜上的取值范圍是，故選點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在恒成立的條件下求得參量的取值范圍，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)參量進(jìn)行分類討論，求得在定義域的條件下恒成立時(shí)參量的取值范圍12.設(shè)，函數(shù)，，，…，，曲線的最低點(diǎn)為，的面積為，則A.是常數(shù)列B.不是單調(diào)數(shù)列C.是遞增數(shù)列D.是遞減數(shù)列【答案】D【解析】根據(jù)題意得，…，，又曲線的最低點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，則所以是遞減數(shù)列，故選點(diǎn)睛：本題根據(jù)題意總結(jié)出最低點(diǎn)的規(guī)律，計(jì)算三角形面積時(shí)采用了點(diǎn)到線的距離為高，在計(jì)算出底邊長(zhǎng)度，從而計(jì)算出面積，這樣雖計(jì)算量較大，但是最后好多可以約去，得出函數(shù)的單調(diào)性，本題也可以通過(guò)分割三角形計(jì)算面積二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，的系數(shù)是_____________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意可知，展開式的通項(xiàng)為則的展開式中，含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)是14.甲、乙、丙三位同學(xué)中有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問(wèn)到誰(shuí)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說(shuō)：丙沒(méi)有申請(qǐng)；乙說(shuō)：甲申請(qǐng)了；丙說(shuō)：甲說(shuō)對(duì)了.如果這三位同學(xué)中只有一人說(shuō)的是假話，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是_____________.【答案】乙【解析】(1)假設(shè)甲說(shuō)的是假話，乙、丙說(shuō)的是真話，則甲所說(shuō)與乙相矛盾（2）若乙說(shuō)的是假話，甲、丙說(shuō)的是真話，則甲沒(méi)申請(qǐng)，丙沒(méi)申請(qǐng)故申請(qǐng)人為乙15.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是_____________.【答案】【解析】（1）當(dāng)時(shí)，解得，即(2)當(dāng)時(shí)，，滿足題意(3)當(dāng)時(shí)，恒成立綜上的取值范圍是點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)求解不等式問(wèn)題，尤其注意當(dāng)時(shí)的解析式，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行分類討論，求出解析式即可求得不等式解集16.已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，是線段上一點(diǎn)，則的最小值是_____________.【答案】【解析】以所在直線為軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:由題意可知，，，，設(shè)，則故，當(dāng)時(shí)取得最小值點(diǎn)睛：本題采用了建立平面直角坐標(biāo)系的方法求向量的最小值，運(yùn)用建系的方法可以直接給出各點(diǎn)坐標(biāo)表示，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，只含一個(gè)未知數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，只要計(jì)算關(guān)于的一個(gè)一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)，求出的表達(dá)式，然后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)是否成立(2)先給出通項(xiàng)，運(yùn)用分組求和法求前項(xiàng)和解析:（1）數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由（1）知，18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，即可求出的值（2）運(yùn)用余弦定理求得，計(jì)算得，再解三角形即可求出結(jié)果解析:（1）∵，∴由正弦定理知，，∵∴，于是，即，∵，∴（2）由（1）和余弦定理知，∴，∴∵在中，，∴，∴19.某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測(cè)兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.表1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]頻數(shù)14192051圖1：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品不合格品合計(jì)（2）根據(jù)表1和圖1，對(duì)兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；（3）將頻率視為概率.若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個(gè)數(shù)為，求的期望.附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)表1和圖1即可完成填表，再由將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得即把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)（2）根據(jù)題意計(jì)算甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散，從而做出判斷（3）根據(jù)題意知滿足，代入即可求得結(jié)果解析:（1）根據(jù)表1和圖1得到列聯(lián)表甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484391不合格品279合計(jì)5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得∵，∴有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)（2）根據(jù)表1和圖1可知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值主要集中在[105,115）之間，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散.因此，可以認(rèn)為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高，且質(zhì)量指標(biāo)值更穩(wěn)定，從而甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備.（3）由題知，∴.20.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.（1）求，的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)，代入得由切線方程知，聯(lián)立解得，的值（2）表示，求導(dǎo)然后分類討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況解析：（1）由切線方程知，當(dāng)時(shí)，，∴∵，∴由切線方程知，∴（2）由（1）知，∴，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減∴在上的最大值為②當(dāng)時(shí)∵，，∴存在，使當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增∴在上的最大值為或又，，∴當(dāng)時(shí)，在上的最大值為當(dāng)時(shí)，在上的最大值為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增∴在上的最大值為綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為當(dāng)時(shí)，在上的最大值為點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算出在某點(diǎn)處的切線方程，從而可以計(jì)算出參量的值，第2問(wèn)在計(jì)算最值時(shí)需要進(jìn)行分類討論，需要注意在第一次討論過(guò)程中不知兩斷數(shù)量的大小，這里再一次進(jìn)行討論21.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)為整數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1【解析】試題分析：（1）要證明不等式成立，構(gòu)造設(shè)，求導(dǎo)，利用單調(diào)性即可證明，從而證明整個(gè)不等式組（2）結(jié)合（1）問(wèn)結(jié)論得當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，然后求得，從而得到兩個(gè)零點(diǎn)解析：（1）證明：設(shè)，則，令，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴對(duì)任意，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，（2）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，，故無(wú)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，∵，，且為上的增函數(shù)∴有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴的最小值為由為的零點(diǎn)知，，于是∴的最小值，由知，，即又，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)∴有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，的最小值為1.點(diǎn)睛：本題考查了證明函數(shù)不等式成立及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，在證明不等式成立問(wèn)題時(shí)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性即可證明，在解答零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)雖求不出具體的零點(diǎn)的值，但是根據(jù)條件和計(jì)算能夠判斷函數(shù)值與零的大小關(guān)系，然后利用零點(diǎn)的存在定理解答本題22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線上一點(diǎn)的極坐標(biāo)為，其中.射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，求的值.【答案】（1），；（2）1【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意將直線參數(shù)方程先轉(zhuǎn)化為普通方程，然后再改寫為極坐標(biāo)方程，圓的方程亦是這樣完成(2)將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)運(yùn)算，從而求得長(zhǎng)度解析：（1）直線的普通方程為，極坐標(biāo)方程為曲線的普通方程為，極坐標(biāo)方程為（2）∵點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)的極坐標(biāo)為∴，∵，∴∴射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立，解得∴點(diǎn)睛：本題考查了極坐標(biāo)與參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)換，以及利用極坐