高等數(shù)學(xué)2018高數(shù)前三講講義

2018歡迎使高等數(shù)學(xué)(部分講義，課程更新完會(huì)上線TOC\o"1-1"\h\z\u引 引第一講：極limfx=A00當(dāng)0x-

時(shí)，有fxAxx0x0x0xx xfxAfxfxfxlimfxM0X0,xX時(shí),有fx n為自然數(shù) n專(zhuān)指n，而略去“+”不limxA0N0，當(dāng)nN時(shí)xAx 對(duì){x}，xa（常熟，x0，n1, ，若limxn0，則limx（x x

x （C）非0常

xn0xnxn1xn1

11xn 1

1 取=12

（nlimfxAA【證】假設(shè)limfxBABAB0,0,

0,00,0

fxAfxB取Af A，BfxB取AB，則有ABfxAB e 1 aarctanx存在，求a、Iex x0x0lim

a x0 2 x

a

1

x0 x ex aaa1,I limfxA，則M0,0，當(dāng)0

xx0時(shí)，恒有fxMfx f AfxA

fxA取2018（0的數(shù)M2018A，證畢2【例】fx 在（）內(nèi)有界2x(x1)(xA（ D.(2,3【fx在I①若I為a,b，用“連續(xù)函數(shù)fx在a,b上必有②若I為a,b，則用 lim,lifx在abx x-sin(3)(), xsin(3)(), xsin(x sin(2)(2)x0x(x1)(x (1)x1+x(x1)(x若limfxA0xx0fx若limfxA0xx0fx【分析】0,xx0,fxA AfxAA取A2

Afx3A 【例】設(shè)limfx=f0且 fx2，則x0是（ x01cosf1cos

D.無(wú)法判2fx0

f0limfxlimf x01cos

(1cosx)0①七種未定式（00000,10若limfx0,limg(x f f f 且 ，則 x x x sin cos 【注】如 sinxlim

x sixarcsixntanxarctaxnexxln ) 12112

0 ,00【例1】 （0 tanxtanxsin1x((1sin2x)211tanx1sinlimtanx(1cosx) sin2122

12ex2e22cos 【例2】 （ e22cos(ex22cosx21)

x22cosx 2x2sin

1cos lim lim lim lim 3limlnxln(1 【分析】碰到01 1 如limxlnx=lim =lim limxln2x行不通 ln

x01

ln2x

換一種

lnx limx0x0 簡(jiǎn)單x、ex3：原式=limln(1x1)ln(1x)lim(x1)ln(1x)（換元=limtlntt

cos2【例】

sin2

x21sin2x2 2 =

x

lim2xsin2xcos x2sin2 1=lim22cos4xlim 【例】limx2ex1x（令x x et1t et =lim2e1 lim =lim lim tt0 t第三組（0,00,1

t0 t t0 U(x)V(x)eV(x)lnU(lim(x

1x2)x（01ln(x1x2=lim

limln(x1x2=

e01lim(tanx)cosxsinx（1x4：limuvelimvlnuelimv(u1)（u1 limtanxcosxsin cosx(1tan2原式=e ex 2（2）fxx0sinxx1x36arcsinxx1x36tanxx1x3o(x3)arctanxx1x33cosx11x21x4o(x4 ln(1x)xx2x3x4 o(x) ex1xx2x3o(x 11

1xx2x3 （x1】limarcsinxarctan Barcsinxx1x36arctanxx1x33arcsinxarctanx1x3o(x3即原式

2與cxkc、cosx11x21x4o(x4 (x2 e21 )

o(x4 所以cosxe2 x4 x4o(x4) x4o(x4 cosx

14【例3】設(shè)fxx0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且

fxtanxsin4x

0

fx.

fx

=

fxtanx4tanx1tanIlimsin4x4tanxlimsin4x4x4x41tan limsin4x4xlim4x4tan 1=

4

1x3

xn易于連續(xù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限計(jì)

fxA，則limfnntanntann1n2tanx1x2tanx1x2limx2(xtan1 limtant = （作倒代換）=et0 若xn不易于連續(xù)化，用“準(zhǔn)則”或定積分定 【例1】求lim xn nn nn n(n n(n n2n i1n2n n2n【例2】limnnarctann n4n4n2 xnxnfxn1給出，用“單調(diào)有界準(zhǔn)給出xn，若xn單增且有上界或者單減且有下界limxnxn 【例設(shè)常數(shù)a0,1,x , n，n1, ，證明xn收斂并求lim n

aa,

=a

a，猜測(cè)上界為a1 1 不妨設(shè)xna，則 n a，則有上界 a x n n1) (x )(x (1)n1(x2 (xx)(xx

x2x110xn1xn0，xn2再根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，可知xn記lim

AAa

A 舍去A ，故A 若limfxfx0fxxx0

fx

fxfx0

fx（2）

fx（3）fx0（1）（2）x0為跳躍=3（1（2）在若不存在=無(wú)窮間斷點(diǎn)若不存在=震蕩震蕩間斷點(diǎn)f

1 ,x

在x0處連續(xù)，則ab limfxlimfxf 第二講：一元函數(shù)微應(yīng)用limfx0xfx0fx limfx0xfx0fx右導(dǎo) limfx0xfx0fx左導(dǎo) fx0存在fx0fx0fx

fx0狗fx0 狗 limfx0xfx0xfx就是典型錯(cuò)誤 xxxlimfxfx0fx0 x 01f00fxx0可導(dǎo)的是（f1co f1ehli

fh

f2hf【分析】見(jiàn)到fx0：先用定義法寫(xiě)出來(lái)，熟練運(yùn)用定義法。這是道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)2】若fx是可導(dǎo)的偶函數(shù)，證明fx是奇函數(shù)【分析】即證明fx f【練習(xí)】若fx是可導(dǎo)的奇函數(shù)，證明fx是偶函數(shù)(x)(ax)axln(ex)(lnx)x(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtan(cscx)cscxcot(arcsinx) 1(arccosx)1(arctanx) 1(arccotx) 1(ln(x x21)) (ln(x x21)) 【例】yx2xxxexxxx0，求y7ye2xlnxexlnxyfxF(xyF(x,y)0兩邊同時(shí)對(duì)xyy(x（復(fù)合求導(dǎo)【例】帶你學(xué)y1 d21 1n 所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)1 1nn【注】n

u)u

uuu un ux3(2

(x 【例】dx1 yd2x y''d

(y3(y'')2y'y (y xln(1t2 d3求參數(shù)方程ytarctant所確定的函數(shù)的三dx3xt 設(shè)ysint， t涉及fx的定設(shè)fx在ab連續(xù)①（有界性定理）M0, |f(x)|M,x②（最值定理）mf(x)M，mf(x)在ab③（介值定理）當(dāng)muM[a,b].f()u④（零點(diǎn)定理）f涉及f'(x

f(b0時(shí)，(a,b使f(01）可f(x)xx0處

f'(x00.（自己證明設(shè)f(x)滿足以下三條2）(ab)內(nèi)可導(dǎo)則(a,b)，使f'()0.（自己證明3)f(a)f【注】若f(af(b),則f'(f(bf(a)=0b

b 設(shè)f(x

f'(

f(b)f滿足2）(a,b)內(nèi)可導(dǎo)， 3)g'(x) g(b)g(xx,f'()1任何可導(dǎo)函數(shù)f(x)anxn

f(b)fb帶日余項(xiàng) f(xnf''(x f(n)(xf(x)f(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 0(xx)n

f

()(xx xx0之

(n f(xf(x)f(x)f'(x)(xx)f''(x0)(xx)2f()(xx xx0

當(dāng)x00時(shí)，又成為麥克勞林f(x)f(0)f'(0)xf''(0)x2f() 若f(x)n階可導(dǎo)：f(x)f(x)f'(x)(xx)

f

(xx)2

(xx)no((xx)n

f(x3f(x)f(x)f'(x)(xx)f''(x0)(xx)2f(x0)(xx)3o((xx 當(dāng)x00時(shí)，又成為麥克勞林f(x)f(0)f'(0)xf''(0)x2f(0)x3 拉 用于證佩 用于計(jì)fx的應(yīng)用（①-b【例】f(x在ab上連續(xù)，證明a,b使af(x)dxf()(ba)b直接說(shuō)：mf(x證明：mu直接得出：f()u,定理的應(yīng)用（⑥）f(a)f(b)f'()F(xf(f'()1f(x)在[0,1]上連續(xù)0,1)內(nèi)可導(dǎo)且f(1kkxe1xf(x)dxk0證明：(0,1使f'((11f(

(I)方程fx=0在(0,1)2 由(uv)'u'vuc'可得1）uf(xvx記F(x)f(x)xF'(x)f'(x)xf(x)(x)'f'(x)xf則可證f'()f(2）uf(xvex記F(x)f(x)exF'(x)f'(x)exf(x)exex[f'(x)f則可證ef'(f(0或者f'(f(3）uf(xve(x),記F(xf(x)e(x)F'(x)f'(x)e(x)f(x)e(x)'(x)e(x)[f'(x)f(x)①將欲證結(jié)論中的改成

f(b)fb

f'()f(b)f【例2】證 中值定理：g'(

g(b)f(x)、g(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，g"(x)0,f(a)f(b)g(a)g(b) 1）g(x)0,xf( f"(2）(a,b),

g()

g"(f(b)ff'()

（a,b）f(bf(a)=f'(ba， bf證明：(ab使bf(baf(af(f'()(b給出相對(duì)高階的條件f''(x)0f(00,證明:x1x20,有f(x1x2f(x1)f(x2給出相對(duì)低階的條件 階不等3f(x)二階可導(dǎo),且f(2)f(1),f(2)2f(x)dx.證明(1,3使f''(

b【例】設(shè)0ab1，證明arctanbarctana f'()

f(b)fg(b)【例】設(shè)f(x)在[ab]上連續(xù),(ab)內(nèi)可導(dǎo)0ab2證明：,(ab使ftanabfsin2 的應(yīng)f(n)”n

x0為fx的廣義極大oof'(x)0,xI，則f(x)在I上單調(diào)遞增f'(x)0,xI，則f(x)在I上單調(diào)遞減oo當(dāng)x0x0x0時(shí)f'x0,當(dāng)x0x0x0時(shí)f'x0極 xx,x時(shí)f'x0,當(dāng)xx,x時(shí)f'x0,極當(dāng)若

x在xx與xx內(nèi)不變號(hào)不是 f(xxx0處二階可導(dǎo)f'(x0f(x0極小值f(xxx0處二階可導(dǎo)f'(x0f(x0極大值1fx11)x在(0,x2】設(shè)fx連續(xù)，其fx的圖像如下：則fx有幾個(gè)極小值點(diǎn)，幾個(gè)x1x2I fx1+fx2fx1x2fx是凹 2 fx1+fx2fx1x2fx是凸 2 判別法，設(shè)fxI

0xIfx 0xIfx3若f(x)x點(diǎn)的左右f''(x 號(hào)x(,f(x))拐

2（帶你學(xué)，P13914）yf(xf''(x00,f'''(x0證明(x0,f(x0為拐點(diǎn)3】y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4，則其某一個(gè)拐點(diǎn)為（A（1,0） B x

f(xxx0f(x)的一條鉛垂?jié)u近0或limf(xAyAf(x的一條水平漸近線x-

f(x)ByB為f(x)的一條limf(x)a0,limf(xaxb,則yaxb為一條斜漸近 x2x2x(x1)(x ）

f'(x0x0若給出[a,b]

f'(x)不x不可導(dǎo)點(diǎn)，是可疑點(diǎn) 比較f(x0、f(x1)、f(a)、f(b)取其最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┤粼贗上求出唯一極大（?。┲迭c(diǎn)，則由實(shí)際背景此點(diǎn)即為最大（?。? 1位于第一象限的部分求一點(diǎn)P，使該點(diǎn)處的切線、橢圓及兩坐 第三講、一元函數(shù)積設(shè)f(x)定義在某區(qū)間I上，若存在可導(dǎo)函數(shù)F(xF'(x)f(x對(duì)xI都成立，則F(xf(x在If(x)dxF(xCb定積af(x)dxbN :bf(x)dxF(x)xbF(b) xkdx

1dx1 xk1C,kk

1dx 1dxln|x|C,axdx1axC,a0,axexdxex

sinxdxecosxC,cosxdxsinxtanxdxln|cosx|C,cotxdxln|sinx|secxdxln|secxtanx|C,cscxdxln|cscxcotx|sec2xdxtanxC,csc2xdxcotxsec1tanxdxsecxC,csc1cotxdxcscxdxarcsinx