隨機(jī)過(guò)程課件 附錄：母函數(shù)和特征函數(shù)簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)2013～2014第一學(xué)期隨機(jī)過(guò)程講稿孫應(yīng)飛§1母函數(shù)（生成函數(shù)）簡(jiǎn)介對(duì)于取值非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，其母函數(shù)有極其良好的性質(zhì)且又便于計(jì)算和分析，因此引入母函數(shù)是非常必要的。母函數(shù)又稱生成函數(shù)(Generatingfunction)。母函數(shù)的定義定義：對(duì)于數(shù)列，稱冪級(jí)數(shù)為的母函數(shù)。定義：設(shè)為取值于非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量，分布率為，則稱 為隨機(jī)變量的概率母函數(shù)，簡(jiǎn)稱母函數(shù)。一些常用分布的母函數(shù)若，則若，則若，則母函數(shù)的基本性質(zhì)（1）的母函數(shù)與其分布率是一一對(duì)應(yīng)的，且有（2）設(shè)非負(fù)整值隨機(jī)變量相互獨(dú)立，而分別是它們的母函數(shù)，則的母函數(shù)為：（3）設(shè)隨機(jī)變量的母函數(shù)為，則有：（a）（b）母函數(shù)的應(yīng)用設(shè)獨(dú)立同分布，且，求的分布。設(shè)獨(dú)立，且，證明。設(shè)獨(dú)立，且，證明?！?特征函數(shù)特征函數(shù)的定義定義：如果均為概率空間上的實(shí)值隨機(jī)變量，則稱為一復(fù)隨機(jī)變量，且定義復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為。由以上定義，有。定義：若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則稱：為隨機(jī)變量的特征函數(shù)（c.f.）特征函數(shù)其實(shí)就是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。特征函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）由于，所以對(duì)任意隨機(jī)變量，特征函數(shù)都有意義（2）特征函數(shù)是一實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)（3）特征函數(shù)只與分布函數(shù)有關(guān)，因此又稱為某一分布的特征函數(shù)（4）若的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為函數(shù)（5）（6）對(duì)離散型的隨機(jī)變量，其分布率為，則其特征函數(shù)為，若是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，則其特征函數(shù)為。2．幾種常見(jiàn)分布的特征函數(shù)若，則若，則若，則特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1，且。性質(zhì)2在上一致連續(xù)性質(zhì)3若存在，則對(duì)于，階可導(dǎo)，且特別有性質(zhì)4具有非負(fù)定性，即對(duì)于任意的正整數(shù)及任意的實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)，總有：性質(zhì)5設(shè)相互獨(dú)立，分別為它們的特征函數(shù)，則的特征函數(shù)為特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系定理1：分布函數(shù)到特征函數(shù)的變換是一一對(duì)應(yīng)的。定理2：分布函數(shù)序列與分布