2023屆高三數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)鞏固第4章第7節(jié)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例（含解析）北師大版

PAGE9-【走向高考】2016屆高三數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)鞏固第４章第7節(jié)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例北師大版一、選擇題１.兩座燈塔A和B與海岸觀(guān)察站C的距離相等，燈塔A在觀(guān)察站北偏東40°，燈塔Ｂ在觀(guān)察站的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（)A.北偏東1０° B．北偏西1０°C.南偏東10°?Ｄ.南偏西1０°[答案］B［解析]由圖可知∠ＡＣB=１8０°-(40°+60°）＝８0°,∵AC＝ＢC，∴∠Ａ=∠ＣＢA＝eq\f（1,2)(１80°－８０°)＝５0°．∵CE∥ＢD,∠CBD＝∠BＣE＝６0°,∴∠ＡBＤ=∠ＣＢD－∠CBA=60°－5０°＝10°，∴燈塔Ａ在燈塔B的北偏西10°.2.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10ｎmｉｌｅ的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西7５°,則這只船的速度是每小時(shí)（)A.5ｎmｉｌｅ B.5eq\r(3)nmiｌeC.10ｎmｉle?D．１0eq\ｒ(3)nmile[答案]C［解析]依題意有∠BAC=６０°，∠BＡD＝75°,所以∠CAD＝∠CDA=15°，從而CD=ＣＡ=10，在直角三角形ＡBC中,可得ＡB=５,于是這只船的速度是eｑ\f(5,0.5)＝1０(nmｉlｅ/h).3.如圖,為了測(cè)量隧道AＢ的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)無(wú)法求出AB長(zhǎng)度的是（)A.α，a,b B．α，β,aＣ．a(chǎn),b,γ D．α，β,γ［答案]D[解析]利用余弦定理，可由a,b,γ或α,a，b求出AＢ;利用正弦定理,可由a,α，β求出AB，當(dāng)只知α,β，γ時(shí),無(wú)法計(jì)算AB．4．一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東４0°的方向直線(xiàn)航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在Ａ處觀(guān)察燈塔，其方向是南偏東70°，在Ｂ處觀(guān)察燈塔,其方向是北偏東6５°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()Ａ.10eｑ\ｒ(2)海里?B.１0eｑ\r(3)海里C．20eｑ\r(３)海里?D.20ｅｑ\r(2)海里［答案]Ａ[解析]如圖所示，易知，在△ABＣ中，AB＝２0海里,∠ＣAB=30°，∠ＡＣB＝4５°,根據(jù)正弦定理得ｅｑ\f(BC，sin３0°)=ｅq\f(AB,ｓin45°）,解得ＢC＝1０eq\ｒ(2）（海里)5．（文）已知A、B兩地間的距離為1０km,B、Ｃ兩地間的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝1２0°,則A、C兩地間的距離為()A．10km B．ｅｑ\r(３)ｋmC．10eq\ｒ(5)ｋm?D.10eｑ\r（7)km[答案］D［解析]利用余弦定理AＣ2＝ＡＢ2+ＢＣ2－2AB·BCcos120°＝102＋202-２×10×20×（-eq\f(1,2）)＝７00,∴AＣ=10eq\ｒ(7)(kｍ)．(理)如圖所示,D，C，Ｂ三點(diǎn)在地面同一直線(xiàn)上，ＤＣ＝a,從Ｃ、D兩點(diǎn)測(cè)得Ａ點(diǎn)的仰角分別是β、α(α<β),則點(diǎn)Ａ離地面的高度ＡB等于()A.ｅq\f(ａｓｉnαsinβ，sinβ-α）?B．ｅq＼f（asiｎαsinβ,ｃosα-β)C．ｅq\f(acosαｃｏsβ,ｓｉｎβ－α） Ｄ．eｑ\f(acｏsαcosβ,cosα-β)[答案]A［解析］在△ADＣ中，∠DAC＝β－α,由正弦定理,eq\f（ＡＣ，ｓinα)=ｅｑ\f(a，sinβ-α)，得AC＝eｑ＼ｆ(asｉｎα,sｉnβ-α).在Rｔ△ABＣ中,AB＝AC·sinβ=eq\f(aｓｉｎαsinβ,sｉnβ－α).6．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)Ａ測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東３0°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)Ｂ，在Ｂ點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是()A.5０m?B.1０0mC.１20ｍ?D．1５0m[答案］A[解析]設(shè)水柱高度是hｍ,水柱底端為C,則在△ABC中,A=６0°，AＣ=h,AＢ=10０,ＢC=eq\r(3)h,根據(jù)余弦定理得，(eq＼ｒ(3)h)2＝h2+１0０2-２·h·1０0·cos６０°，即ｈ２＋５０h－５000=0,即(h－50)(h＋１00)＝0,即h=50，故水柱的高度是5０m.二、填空題７.(文)（2014·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂Ｃ為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MＡN=6０°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC＝75°;從Ｃ點(diǎn)測(cè)得∠MＣA=６0°.已知山高ＢC=100m，則山高M(jìn)N=＿_(dá)____＿_(dá)ｍ．［答案]１50[解析]本題考查解三角形中的應(yīng)用舉例．在Ｒt△ABＣ中,BC=100，∠CAB＝45°，∴ＡＣ＝10０eq\r(2）.在△AMC中,∠ＣＡＭ=75°,∠ＡCM＝60°,∴∠AMC＝４5°.由正弦定理知eq＼f（AＭ,sin6０°)＝eq＼f(100\ｒ(2),sｉｎ45°），∴AM＝100ｅq＼r(３).在Rt△AＭＮ中，∠ＮAM＝60°，∴ＭＮ=AM·sｉｎ６0°＝1０0eq\r(3)×eq\f(\r(3),２）=１５０（m).(理)(20１4·四川高考)如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，Ｃ的俯角分別為6７°,30°，此時(shí)氣球的高度是４6m,則河流的寬度BC約等于_____＿_(dá)_m.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù):sｉn67°≈０．92，ｃos67°≈0.39，sin37°≈0.60，ｃｏs37°≈０．８0，ｅq＼ｒ(3)≈1.73)[答案]6０[解析]本題考查了運(yùn)用正弦定理解三角形．由條件可得：ＡC=92,AB=eq\f（４6，ｃos６7°)，ｅq\f（AB,sin3０°)=eq\f(BC,sｉn37°)，∴BＣ=eq\f(ABsin37°,siｎ30°)≈60.８.我艦在島A南５0°西1２nmile的Ｂ處，發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北1０°西的方向以每小時(shí)１0nmile的速度航行,若我艦要用2h追上敵艦，則速度為＿_(dá)______.[答案]14nmｉlｅ/h[解析]設(shè)我艦在Ｃ處追上敵艦,速度為v,則在△AＢＣ中,AC=２0，AB＝12,∠ＢAC＝12０°．∴BC2=78４,∴v＝14nmｉle/h.9.(文)如圖，一艘船上午9３0在A(yíng)處測(cè)得燈塔S在它的北偏東３0°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10０0到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處,且與它相距8eｑ＼r(2)nmile．此船的航速是＿_(dá)____＿_(dá)nmile/ｈ.[答案]32［解析]設(shè)航速長(zhǎng)ｖｎmiｌｅ/h在△ＡBＳ中，AＢ＝eq\ｆ(1,２)ｖ，ＢS=８eq＼ｒ(2)，∠BSA＝45°,由正弦定理得:eq\ｆ(8\ｒ(2),sｉn3０°)=ｅｑ＼ｆ(＼f（1,2)v,sｉn4５°)，∴v=32．(理)如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底Ｂ在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與Ｄ.測(cè)得∠BＣＤ＝15°，∠ＢＤC=３０°，CＤ=3０m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為6０°，則塔高AＢ=____＿_(dá)＿_(dá)m.[答案］1５eq\r(6)［解析]由已知可得∠DＢC=13５°,在△ＤBC中，由正弦定理可得ｅq＼f(BC,sin30°)=eq\ｆ(CD,ｓｉｎ135°)，BC=ｅq\f(CＤsin３０°,ｓｉｎ135°)=eq\f(３0×sin30°，sｉn1３5°)=１5eq＼r(２），∴AB＝ＢＣtａn６0°=15ｅｑ＼r(2）×eｑ\r(3）＝15eq\r(6)．三、解答題１0.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從Ａ沿直線(xiàn)步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到Ｂ，然后從B沿直線(xiàn)步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從Ａ處下山,甲沿AＣ勻速步行,速度為5０m/ｍin.在甲出發(fā)２mｉn后,乙從A乘纜車(chē)到B,在B處停留1min后,再?gòu)腂勻速步行到Ｃ．假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為130m／ｍin，山路AC長(zhǎng)為1２60m,經(jīng)測(cè)量,cｏsA=eq\ｆ(12，１3),coｓC=eｑ\f(3，5).(1)求索道AB的長(zhǎng);(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？[解析］(１)在△AＢC中,因?yàn)閏ｏsＡ＝eｑ＼ｆ（１2,13),cosＣ=eq＼f(3,５),所以sｉnA=eq\f(５，13)，siｎＣ＝eq＼ｆ(4，5).從而sinB=sin[π－(Ａ＋C）]＝sin(A+C)=sinAcosC+ｃｏsAsiｎC＝ｅｑ\f(5，1３）×ｅq\f(3,5)＋ｅq\f(１2,１3)×eq\f（4,5)＝eｑ\f(63,65).由正弦定理eｑ\f（AB，sinC)＝eq\ｆ(ＡC,sinＢ)，得AB=ｅｑ＼f(ＡC,siｎＢ）×siｎC＝ｅq\f(1260,\ｆ(６3,65))×eq\f(4,５)＝1０40(ｍ）.所以索道AＢ的長(zhǎng)為1０40m.(2)假設(shè)乙出發(fā)tｍin后,甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋5０t)m，乙距離A處１30tm，所以由余弦定理得d２=(100+５0ｔ)２＋(130t)２-2×130t×(10０＋5０t)×eq\f(１２,13)=2０0(3７t２-7０t+５0)，因0≤t≤eq\ｆ(10４0，130),即0≤t≤8，故當(dāng)ｔ=ｅq\f(35，３7）(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．一、選擇題1．據(jù)新化社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸．臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到１２級(jí)以上,大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害,不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷.某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后,折成與地面成45°角,樹(shù)干也傾斜為與地面成75°角,樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是()A.eｑ\f(2０\r(6),3)米?Ｂ.１0ｅq＼ｒ(6)米Ｃ．eq\f（10\r(6),３）米?D．２0ｅq\ｒ（2)米[答案]A[解析]如圖所示，設(shè)樹(shù)干底部為Ｏ,樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝4５°,∠AOＢ=7５°，∴∠OＡB=60°.由正弦定理知,eｑ\f(AO，sin4５°）＝eｑ＼f(2０，sｉn６０°),∴ＡO＝eq\f（20\ｒ(6),3)(米).2.（201４·貴陽(yáng)模擬)如圖,飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔1８km,速度為1000kｍ/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過(guò)１mｉn后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹椋ň_到0.１ｋｍ）(）Ａ．11.4?Ｂ.６.6C.6.5 D.5.6[答案］B［解析］AB=１00０×１0０0×ｅq\f(１,60)=eq＼f(５0０00，３)(m),∴BＣ=eq\ｆ(ＡＢ,sin4５°)·sin30°＝eq\ｆ(50000,3\ｒ(2))（m）.∴航線(xiàn)離山頂h＝eq\ｆ(50000，3\r(2)）×sｉn７5°≈11.4(km)．∴山高為１8－1１．4＝6.6(km).二、填空題3．在直徑為3０ｍ的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓形,且其軸截面頂角為120°,若要光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng),則光源的高度為_(kāi)_＿_(dá)＿＿＿_(dá)ｍ．[答案]5ｅq\ｒ（３）[解析]軸截面如圖，則光源高度ｈ=ｅq\ｆ(１5,taｎ60°)＝5eq\r（3)(m).4．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度1５°的看臺(tái)的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq＼r(6)m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50ｓ，升旗手應(yīng)以___＿＿_(dá)__m／s的速度勻速升旗？［答案]0.6[解析]在△ＢCD中,∠BＤＣ=45°，∠CBD＝３0°，CD=10ｅｑ＼ｒ（6）(m)，由正弦定理,得BC＝eq\f(ＣDsin45°，sｉｎ３０°)＝20eq＼r（3)（m）；在Rt△ABC中,AB＝BCｓｉn6０°=20ｅq＼r(３）×ｅq＼f(\r(3),2)＝30（m)．所以升旗速度v＝eq＼f（AＢ，t）＝eq＼f(30,50)=0.6(ｍ／ｓ）．三、解答題5．（文）要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在Ｃ點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是４5°,在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的∠BCD＝１２0°,CＤ＝40m，求電視塔的高度.［解析]如圖，設(shè)電視塔AB的高為xｍ，則在Rｔ△ABＣ中,由∠ACB＝4５°得ＢC＝x．在Rt△ＡＢD中，∠ＡＤB=3０°，∴BC=ｅq\r(3)x.在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BＣ２＋CD2-2BＣ·CD·cos120°，即(eq\r（3)x)2=ｘ2+4０2－2·x·40·coｓ1２0°,解得x＝40，∴電視塔高為40米．(理)如圖，Ａ、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°、30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和Ｄ點(diǎn)仰角均為6０°，AC＝0．1ｋm.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等,然后求B、D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到０.01km，eq\r(２)≈1.41４,eｑ\r(６)≈２.44９).［分析]eq\ｘ(計(jì)算∠ＡＤC)→ｅｑ\x(AＣ=DC)→ｅｑ\ｘ(AB=ＢD)→ｅq＼x(在△AＢＣ中計(jì)算AB)→ｅq\x(求得BＤ)[解析]在△ACD中,∠DAＣ＝3０°,∠AＤＣ=60°-∠ＤAC=30°,所以ＣＤ＝AＣ=0.1,又∠BCD＝18０°-60°－6０°=６０°，故ＣB是△CAD底邊AD的中垂線(xiàn)，所以BD＝BA.在△ABC中,eｑ\f(AB，sin∠ＢCＡ)＝eq＼f（AC,sin∠ABC）,所以AＢ＝ｅｑ＼f(ACｓiｎ6０°，sｉｎ1５°)=eq\f(３＼r(２)+＼ｒ（6),２０).同理,BD＝eq\f(