統(tǒng)考版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章7.6直接證明與間接證明學(xué)案理含解析

高考復(fù)習(xí)資料PAGE1-/NUMPAGES1第六節(jié)直接證明與間接證明【回顧知識(shí)點(diǎn)】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．綜合法一般地，利用①______________________，經(jīng)過(guò)一系列的②________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)2．分析法一般地，從要③________出發(fā)，逐步尋求使它成立的④________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明的方法叫做分析法．用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個(gè)明顯成立的條件)3．反證法一般地，假設(shè)⑤____________，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出⑥________，因此說(shuō)明⑦_(dá)_______，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立．2．利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的．【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)分析法必須是從結(jié)論推向已知．()(2)分析法的推理過(guò)程要比綜合法優(yōu)越．()(3)綜合法的過(guò)程是演繹推理．()(4)反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是演繹推理．()(5)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾．()二、教材改編2．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中可以把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①②B．②③C．①②③D．①②④3.eq\r(6)－2eq\r(2)與eq\r(5)－eq\r(7)的大小關(guān)系是________．三、易錯(cuò)易混4．以下命題中正確的是()A．綜合法是執(zhí)果索因的逆推法B．綜合法是由因?qū)Ч捻樛品–．綜合法是因果互推的兩頭湊法D．綜合法就是舉反例5．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C<D，這里②是①的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件四、走進(jìn)高考6．[2017·北京卷]能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a＞b＞c，則a＋b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_(kāi)_______．eq\x(考點(diǎn)一)綜合法[自主練透型]1．設(shè)a，b，c成等比數(shù)列，而x，y分別是a，b和b，c的等差中項(xiàng)，求證：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.2．設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.悟·技法考點(diǎn)二分析法[自主練透型]3．已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.4．[易錯(cuò)題]已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).悟·技法1.利用分析法證明問(wèn)題的思路分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．2．分析法證明問(wèn)題的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，?？紤]用分析法.考點(diǎn)三反證法[互動(dòng)講練型][例]已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．悟·技法反證法證明問(wèn)題的一般步驟(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立．(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾．(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)[變式練]——(著眼于舉一反三)若x>0，y>0，且x＋y>2，求證：eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2.第六節(jié)直接證明與間接證明【回顧知識(shí)點(diǎn)】①已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等②推理論證③證明的結(jié)論④充分條件⑤原命題不成立⑥矛盾⑦假設(shè)錯(cuò)誤【小題熱身鍛煉】1．參考答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．題目解析：根據(jù)反證法的定義，推導(dǎo)過(guò)程中，不能把原結(jié)論作為條件使用，其他都可以．參考答案：C3．題目解析：假設(shè)eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)，由分析法可得，要證eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)，只需證eq\r(6)＋eq\r(7)>eq\r(5)＋2eq\r(2)，即證13＋2eq\r(42)>13＋4eq\r(10)，即eq\r(42)>2eq\r(10).因?yàn)?2>40，所以eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)成立．參考答案：eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)4．題目解析：綜合法就是從已知條件(因)出發(fā)，利用已有知識(shí)進(jìn)行證明結(jié)論(果)的方法．參考答案：B5．題目解析：∵②?①，∴②是①的充分條件．參考答案：A6．題目解析：只要取一組滿足條件的整數(shù)即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．參考答案：－1，－2，－3(參考答案不唯一)課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．證明：由題知c＝eq\f(b2,a)，x＝eq\f(a＋b,2)，y＝eq\f(b＋c,2)，則eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(a,\f(a＋b,2))＋eq\f(c,\f(b＋c,2))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2×\f(b2,a),b＋\f(b2,a))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2b,a＋b)＝2，即eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.2．證明：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2eq\r(ab).所以eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,ab)≥4.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2＋4＝8.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.考點(diǎn)二3．證明：要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.4．證明：要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．考點(diǎn)三例證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因?yàn)?a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.這與已知ac＋bd>1矛盾，所以a、b、c、d中至少有一個(gè)是