近世代數(shù) 群的定義

近世代數(shù)課件群的定義第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1.1引例例1集合上所有一一變換……………….引入記號:第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例2保持平面上正△不變的保距變換.………

,具有乘法運算(映射復合),滿足性質:Ⅰ．對于乘法來說是閉的:對于；Ⅱ．結合律成立：,對于；第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四Ⅳ．里至少存在一個，能讓對于的任何元都成立,這樣的稱為左單位元；Ⅴ．對于的每一個元，在里存在一個元,記為，能讓這樣的稱為的左逆元.例3保持中多項式不變的變換.第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1.2群的第一定義及例子群的定義I我們說，一個不空集合對于一個叫做乘法的代數(shù)運算來說作成一個群，假如:III．里至少存在一個，能讓對于的任何元都成立,這樣的稱為左單位元；Ⅰ．對于乘法來說是閉的:對于；Ⅱ．結合律成立：,對于；第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四Ⅳ．對于的每一個元，在里存在一個元,記為，能讓這樣的稱為的左逆元.注1群與運算聯(lián)系在一起.例4.(平凡群)只包含一個元．乘法是．對于這個乘法來說作成一個群．例5.在數(shù)集中,關于熟習的運算,發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子……………...第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例6在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7向量空間是一個加法群例8(重新定義的運算)在上定義運算判斷關于給定的運算是否構成群.注2群定義中,I和II是驗算,III和IV需要找元素.注3III和IV有邏輯先后.第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四作業(yè):判斷下列是否構成群(1)在上定義運算(2)在上定義運算第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1.3群的第二定義引理1一個左逆元一定也是一個右逆元,這句話的意思是：證明有元有左逆元，使得一方面,但另一方面,所以第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四引理2一個左單位元一定也是一個右單位元．這就是說：證明:

群的定義II我們說，一個不空集合對于一個叫做乘法的代數(shù)運算來說作成一個群，假如:Ⅰ．對于乘法來說是閉的:對于；Ⅱ．結合律成立：,對于；第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四III’．里至少存在一個，能讓對于的任何元都成立,這樣的稱為右單位元；Ⅳ’．對于的每一個元，在里存在一個元,記為，能讓這樣的稱為的右逆元.證明:(1)定義I證明定義II,已經完成(2)定義II證明定義I,需要類似的二步(作業(yè))第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1.4群的第三定義群的定義III我們說，一個不空集合對于一個叫做乘法的代數(shù)運算來說作成一個群，假如:Ⅰ．對于乘法來說是閉的:對于；Ⅱ．結合律成立：,對于；III’’．里至少存在一個，能讓對于的任何元都成立,這樣的稱為右單位元；第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四Ⅳ’’．對于的每一個元，在里存在一個元,記為，能讓這樣的稱為的逆元.第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1.5群的第四定義群的定義IV我們說，一個不空集合對于一個叫做乘法的代數(shù)運算來說作成一個群，假如:Ⅰ．對于這個乘法來說是閉的；Ⅱ．結合律成立：,對于；V．對于的任意兩個元，來說，方程和都在里有解．第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四證明定義III定義IV定義I定義III(1)定義III定義IV,容易(2)定義IV定義I

III.需要證明：里至少存在一個元，叫做的一個左單位元，能讓對于的任何元都成立．對于一個固定的元，在里有解．我們任意取一個解，叫它作：（１）第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四我們要證明這個就是左單位元，即：對于的任意元，成立．有解：（２）由（１），（２）這樣，我們證明了的存在．第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四Ⅳ．對于的每一個元，在里至少存在一個元，叫做的一個左逆元，能讓成立．這里是一個固定的左單位元．由V，可解．(3)定義I定義III，已經完成。第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1.6幾個進一步的概念以下我們還要說明幾個名詞和符號．一個群的元素的個數(shù)可以有限也可以無限．我們規(guī)定定義1一個群叫做有限群，假如這個群的元的個數(shù)是一個有限數(shù)．不然的話，這個群叫做無限群．一個有限群的元的個數(shù)叫做這個群的階．第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四在一個群里結合律是對的，所以

有意義，是的某一個元．這樣，我們當然可以把個相同的元來相乘．因為我們用普通乘法的符號來表示群的乘法，這樣得來的一個元我們也用普通符號來表示：是正整數(shù)并且也把它叫做的次乘方（簡稱次方）