連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域第1頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.1引言傅里葉變換法的不足：它一般只能處理符合狄利希萊條件的信號。傅里葉反變換時復變函數(shù)的廣義積分，難以計算。本章引入的拉普拉斯變換分析法:一方面可從數(shù)學中積分變換的觀點直接定義；另一方面從信號分析觀點可看成是傅里葉變換在復頻域中的推廣,具有更為明確的物理意義；第2頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四因而拉普拉斯變換分析法常稱為復頻域分析法。拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法都是建立在線性非時變系統(tǒng)的齊次性可迭加性基礎上的。只是信號分解的基本單元函數(shù)不同。傅里葉變換分解的基本單元信號為：拉普拉斯變換分解的基本單元信號為：由此可見，拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法有許多類似之處，事實上，傅里葉變換可視為拉普拉斯變換在σ=0時的一種特殊情況。第3頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（2）基于拉普拉斯變換的復頻域轉移函數(shù)的零、極點分析是系統(tǒng)綜合所依賴的基礎之一。

拉普拉斯變換分析法是一個重要而有效的方法。（1）運算簡捷，且對系統(tǒng)微分方程進行變換時，能夠自動記入初始條件。

第4頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四本章內容概要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂區(qū)常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯反變換拉普拉斯的基本性質線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法第5頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（1）拉普拉斯變換的數(shù)學定義和物理意義（2）拉普拉斯變換的性質及計算方法（3）連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析法（4）系統(tǒng)函數(shù)的定義下一節(jié)學習本章要求掌握：第6頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.2拉普拉斯變換定義第7頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.2拉普拉斯變換定義第8頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四稱為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域（ROC）稱為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù)注意，s要在收斂域（ROC）中第9頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四單邊拉普拉斯變換：F(s)稱為f(t)的拉普拉斯變換；

f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。第10頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.2拉普拉斯變換物理意義:

雙、單邊L.T都可看作是F.T在復頻域中的推廣。從數(shù)學形式上看，L.T為將F.T中的jω換成s的結果。從物理概念上講，F(xiàn).T將函數(shù)分解為許多形如ejωt或cos(ωt)的單元函數(shù)之和。每一對正負ω分量構成一等幅正弦振蕩，振幅為無窮小量。L.T將函數(shù)分解為形如est或eσtcos(ωt)指數(shù)分量之和，每一對正負ω的指數(shù)分量構成一個變幅的正弦振蕩，振幅也為無窮小量。s稱為復頻率，F(xiàn)(s)稱為復頻譜。第11頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.2拉普拉斯變換F.T中ω構成角頻率軸，L.T中s構成復頻平面。s上的一點對應的f(t)分量如圖示：對應一隨時間按指數(shù)規(guī)律變化的指數(shù)函數(shù)。σ>0，為單調增長指數(shù)；σ<0為單調衰減指數(shù)。|σ|越大，增長/衰減速率越大；1）實軸上頻率點（ω=0，est=eσt）：第12頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（2）虛軸上頻率點（σ=0，est=ejωt）：兩個正負ω值對應一等幅正弦振蕩cosωt。s離σ軸越遠，即|ω|越大，則振蕩頻率越高；第13頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（3）復平面上點（s=σ+jω，est=eσt+jωt）：

σ<0，s落在左半平面上：兩正負ω的est對應一減幅正弦振蕩。s點離實軸越遠振蕩頻率越大，離虛軸越遠幅值減少越快。即在左半平面est收斂，在右半平面est發(fā)散?！?.2拉普拉斯變換

σ>0，s落在右半平面上：對應一增幅正弦振蕩，s離σ越遠，振蕩頻率越高；離jω軸越遠，幅值增長速率越大；

由上可以看出，復平面S上的每一對共軛對稱點或實軸上的每一點都唯一地對應于一個確定的時間函數(shù)。第14頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

前面說過，L.T為F.T的復頻域推廣。反過來說F.T為L.T在s=jω，即σ=0時的特殊情況。求F.T反變換時，廣義積分只能沿著虛軸求取，而L.T的則可在收斂區(qū)內沿任何路徑求取。通過σ取定值，則積分沿與jω平行且相距σ的直線進行。用復變函數(shù)的留數(shù)定理得知，ILT的求取比IFT的求取要簡單容易的多?！?.2拉普拉斯變換第15頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.3拉普拉斯變換的收斂域由上面的討論可知，連續(xù)時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）式F(s)是否存在，取決于f(t)乘以衰減因子以后是否絕對可積，即：

因此，在s平面上，使絕對可積的區(qū)域稱為L.T的絕對收斂域簡稱收斂域?；蚍Q為L.T存在的充分條件。第16頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四一、單邊拉普拉斯變換的收斂域從可以看出，要使單邊拉普拉斯變換存在，通常要求f(t)是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質。也就是，存在一個常數(shù)σ0，使得在σ>σ0范圍內，對于所有大于定值T的時間t有界，且當t趨于∞時，其極限值為0。即：§5.3拉普拉斯變換的收斂域第17頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

根據σ0的值可以將s平面分為兩個區(qū)域?！?.3拉普拉斯變換的收斂域通過σ0的垂直線是收斂區(qū)的邊界，稱為收斂邊界或收斂軸，σ0稱為收斂坐標；s平面上收斂軸之右的部分即為收斂區(qū)。第18頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四簡單函數(shù)的收斂區(qū)

整個S平面§5.3拉普拉斯變換的收斂域單個脈沖信號：單位階躍信號ε(t)：第19頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

右單邊指數(shù)衰減信號與其收斂域§5.3拉普拉斯變換的收斂域第20頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

左單邊指數(shù)增長信號與其收斂域§5.3拉普拉斯變換的收斂域第21頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

雙邊指數(shù)信號與其收斂域§5.3拉普拉斯變換的收斂域第22頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四>-2-2稱為收斂因子>-2所以：>-20第23頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)第24頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四推廣可得：5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第25頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第26頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第27頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第28頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第29頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第30頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第31頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四下一節(jié)5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換第32頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換

在使用Laplace變換分析系統(tǒng)時，最后為求得系統(tǒng)的時域響應，必須求拉普拉斯反變換。即求原函數(shù)。原函數(shù)的基本求法：1、查表并利用拉普拉斯變換的性質2、部分分式展開法3、留數(shù)法第33頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四部分分式展開式法（海維塞展開法）§5.5拉普拉斯反變換F(s)通常為s的有理分式，一般形式為：總的思路：有理假分式有理真分式最簡分式之和f(t)部分分式展開的方法同傳輸算子展開法，將p→s

按D(s)=0的根(稱為F(s)的極點)有無重根等分別討論如下：第34頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四1．當mn，D(s)=0的根無重根情況

(可為實根、虛根或復根),有理分式真分式F(s)可展開如下的部分分式：第35頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第36頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第37頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第38頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第39頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第40頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第41頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四補充例題1.解：利用因式分解，有部分分式展開待定系數(shù)第42頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第43頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第44頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第45頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.5拉普拉斯反變換第46頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第48頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四圍線積分法（留數(shù)法）拉氏反變換是一個復變函數(shù)的線積分當F(s)為真分式時由復變函數(shù)中的約當輔助定理知此積分可轉化為求F(s)全部極點Sk留數(shù)Res[Sk]的代數(shù)和。1.若Sk為D(s)=0的單根[即F(s)的單極點，一階極點]，則：第49頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四2.若Sk為D(s)=0的p階重根[即F(s)的r階極點]，則：當F(s)為假分式時長除法分解為多項式與有理真分式之和，多項式決定沖激函數(shù)及其導數(shù)項，再對真分式求留數(shù)決定其它項。留數(shù)法在含重根時，計算比部分分式法略為簡單些.

第50頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第51頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第52頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第53頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.6拉普拉斯變換的基本性質1、線性性質：若其中：C1,C2為任意常數(shù)則例：第54頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四2、尺度變換性：若f(t)F(s)，則3、時移性：第55頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例2:求圖示信號的拉氏變換。第56頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例3:求周期矩形脈沖信號的拉氏變換。【解】設第57頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四抽樣信號的拉氏變換

練習：第58頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四4、頻移性：若f(t)F(s)，則解：

證明：第59頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四5、時域微分性：若f(t)F(s)，則若f(t)F(s)，則6、時域積分性：第60頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四解：第61頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7、頻域微分性：若f(t)F(s)，則8、頻域積分性：若f(t)F(s)，則第62頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

sin(ot)例：解：第63頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四9、時域卷積定理：若則10、頻域卷積定理：則若其中第64頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四初值:f(t)|t=0+=f(0+)若f(t)有初值，且f(t)F(s)，則12、終值定理：終值:f(t)|t==f()若f(t)有終值，且f(t)F(s)，則11、初值定理：注意：終值存在的條件：F(s)在s右半平面無極點，在j軸上單實根極點[F(S)=1/S]。當f(t)含有沖激及其導數(shù)時，有第65頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四解：第66頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.6拉普拉斯變換的基本性質第67頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.6拉普拉斯變換的基本性質第68頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法一、由方程求響應利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的響應時，需要首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關系的微分方程進行拉氏變換，得到一個s域的代數(shù)方程;由于在變換中自動地引入了系統(tǒng)起始狀態(tài)的作用，因而求出響應的象函數(shù)包含了零輸入響應和零狀態(tài)響應，再經過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應的時域解。第69頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第70頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第71頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第72頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第73頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第74頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第75頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第76頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

例3：線性時不變系統(tǒng)的模型如下，且已知：f(t)=ε(t)，

y(o-)=2，y’(o-)=1。求系統(tǒng)零輸入響應、零狀態(tài)響應以及全響應y(t)。零輸入分量：第77頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四零狀態(tài)分量：全響應：第78頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法二、由電路求響應1、s域等效電路1）元件→s域運算阻抗

R，L，C→R，sL,1/sC2)信號→象函數(shù)

i(t)，u(t)→I(s)，U(s)第79頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四§5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法

（a）時域電路模型電阻元件時域與s域電路模型（b）s域電路模型取L.S變換第80頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四電容元件時域與s域電路模型（b）s域串聯(lián)電路模型（a）時域電路模型取L.S變換第81頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四電容元件時域與s域電路模型（c）s域并聯(lián)電路模型（a）時域電路模型取L.S變換電容元件的時域伏安關系還可以表示為：第82頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四電感元件的s域電路模型對兩邊分別求L.T，得：（a）時域電路模型（b）s域串聯(lián)電路模型第83頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（a）時域電路模型電感元件的s域電路模型對兩邊分別求L.T，得：電感元件的時域伏安關系還可以表示為：（c）s域并聯(lián)電路模型第84頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（2）有了s域電路元件模型，就可以得到一般電路的s域模型。應用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點法、網孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復頻域的代數(shù)方程，并進行求解得到響應的象函數(shù)，對所求的響應象函數(shù)進行拉氏反變換，即得出響應的時域解?！?.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第85頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四基爾霍夫定律KVL定律：

KCL定律：

歐姆定律（零狀態(tài)）其中：（運算阻抗）（運算導納）§5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第86頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四基本步驟：1）畫t=0-等效電路，求初始狀態(tài)；2）畫s域等效模型；3）

列s域電路方程（代數(shù)方程）；4）解s域方程，求出s域響應；5）反變換求t域響應?！?.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第87頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例5-11圖5-11中，已知e(t)=10ε(t)，C=1F，R12=1/5Ω，R2=1Ω

，L=1/2H，初始條件uC(0)=5V，iL(0)=4A，方向如圖，試求響應電流i1(t)。圖5-11（a）時域電路模型

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