角平分線的性質(zhì)

1.4角平分線第一章三角形的證明

優(yōu)

翼

課

件

導(dǎo)入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)

八年級數(shù)學(xué)下（BS）教學(xué)課件第1課時角平分線1.會敘述角平分線的性質(zhì)及判定;（重點）2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題;（難點）3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力．學(xué)習目標情境引入如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O導(dǎo)入新課1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)一講授新課驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

性質(zhì)定理：

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC，（已知）∴

=

；()角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

，（已知）∴

=

,

()角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.角平分線的判定二PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．思考：交換角的平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.思考：這個結(jié)論正確嗎？逆命題已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.證明：作射線OP，

∴點P在∠AOB

的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP證明猜想判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.知識總結(jié)推理時注意結(jié)合圖形確定點在角的內(nèi)部.例2：如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,且DE=DF,求DE的長.解：

∵DE⊥AB,DF⊥AC，DE=DF,∴AD是∠BAC的平分線.又∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，AD=10，∠BAD=30°，∴BE=AD=5.例3:如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED┑┑┑例4如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃在∠AOB內(nèi)修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMABONMAB方法總結(jié)：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.解：如圖所示：P歸納總結(jié)圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)當堂練習2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=67.5°，則∠EBF=

度，BE=

.45BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點M,N作OA,OB的垂線，交點為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？AOBMNP解：在Rt△MOP和Rt△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴Rt△MOP≌Rt△NOP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.1.應(yīng)用角平分線性