高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法

高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四一、可降階的一些方程類型

n階微分方程的一般形式:

1不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k>1)階導(dǎo)數(shù)的方程是若能求得(4.58)的通解對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解即第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對上式求k次積分,即得原方程的通解第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四解令則方程化為這是一階方程,其通解為即有對上式積分4次,得原方程的通解為例1第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因?yàn)榈?頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四用數(shù)學(xué)歸納法易得:將這些表達(dá)式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來變量得到所以得原方程的通解為第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

3已知齊線性方程的非零特解,進(jìn)行降階的非零解令則代入(4.69)得即第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四因此(4.69)的通解為第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:解之得即第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第三步:第四步:(4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四解這里由(4.70)得例3第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四代入(4.2)得第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四事實(shí)上第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四若則即因此,對(4.67)仿以上做法,第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四二、二階線性方程的冪級數(shù)解法對二階變系數(shù)齊線性方程其求解問題,歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解.下面考慮該方程及初始條件用級數(shù)表示解?第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四定理10第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四定理11第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四例4解設(shè)級數(shù)為方程的解,由初始條件得:因而將它代入方程,合并同類項(xiàng),并令各項(xiàng)系數(shù)等于零,得第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四即因而也即第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四故方程的解為第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四例5解將方程改寫為易見,它滿足定理11條件,且第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四將(4.75)代入(4.74)中,得第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四由(4.76)得即第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四從而可得第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四因此(4.77)變?yōu)榈?0頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四若取則可得(4.74)的另一個(gè)特解由達(dá)朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂.第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四因而(4.74)的通解為因此,不能象上面一樣求得通解;因此,(4.74)的通解為第32頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四例6解代入方程得第33頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四代回原來的