2022年幾何輔助線做法要點(diǎn)試題（試卷）

線、角、相交線、平行線

規(guī)律1.如果平面上有"（應(yīng)2）個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫一條直

線，一共可以畫出1）條.

2

規(guī)律2.平面上的“條直線鞋可把平面分成（1n（n+l）+l）個(gè)局部.

規(guī)律3.如果一條直線上有"個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為條.

2

規(guī)律4.線段（或延長(zhǎng)線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長(zhǎng)的

一半.

例：如圖，B在線段AC上，M是A8的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).

求證：MN=^AC；―i—

證明：是A8的中點(diǎn)，N是8c的中點(diǎn)

11

：.AM=BM=-AB,BN=CN=-BC

22

111

..MN=MB+BN=-AB+-BC=-（AB+BC）

222

/.MN=-AC

2

練習(xí)：1.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，M是線段BC的中點(diǎn).

2.如圖，點(diǎn)8在線段AC上，M是AB的中點(diǎn)，N是4c的中點(diǎn).

求證：MN=-BCAMN~~BC

2

3.如圖，點(diǎn)8在線段AC上，N是AC的中點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn).

求證：MN=-AB

ANBMC

規(guī)律5.有公共端點(diǎn)的”條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有:"(n-1)個(gè).

規(guī)律6.如果平面內(nèi)有“條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么可構(gòu)成小于平角的角共有2n(n-1)個(gè).

規(guī)律7.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么可構(gòu)成"(n-1)對(duì)對(duì)頂角.

規(guī)律8.平面上假設(shè)有。(n>3)個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過任意三點(diǎn)作三角形一

共可作出6(。一2)個(gè).

6

規(guī)律9,互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為90。.

規(guī)律10.平面上有n條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為,"(。一1)個(gè).

2

規(guī)律11.互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半.

規(guī)律12.當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁

內(nèi)角的角平分線互相垂直.

例：如圖，以下三種情況請(qǐng)同學(xué)們自己證明.

/L上

GD

規(guī)律13.AB//DE,如圖⑴?(6),規(guī)律

如下:

ZABC+ZBCD+ZCDE=360°

ZBCD=ZABC+ZCDE

ZBCD=ZCDE-ZABC

AB

E/D

ZBCD=ZABC-ZCDE

ZCDE=ZBCD+ZABC

ZABC=ZBCD+ZCDE

規(guī)律14.成"8"字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一

半.

例：,BE、DE分別平分/ABC和/ADC,假設(shè)/A=45。,/。=55。，

求NE的度數(shù).A

解：ZA+ZABE=ZE+ZADE①二^

NC+NCDE=NE+NCBE②

①+②得

NA+ZABE+ZC+ZCDf=Z￡+ZADE+ZE+ZCBE

\'BE^-^-ZABC.DE平分NADC,

AZABE=ZCBE,ZCDE=ZADE

/.2ZE=ZA+ZC

/.Z￡=y(Z>4+ZC)

"：ZA=45°,ZC=55°,

，NE=50°

三角形局部

規(guī)律15.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或

延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊

關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.

例：如圖，D、E為△A8C內(nèi)兩點(diǎn)，求證：AB+AOBD+DE+CE.

證法(一)：將DE向兩邊延長(zhǎng)，分別交AB、AC于M、N

在中，AM+AN>MD+DE+NE①

在△BDM中，MB+MD>BD②

在△CE/V中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

:.AB+AC>BD+DE+CE

證法（二）延長(zhǎng)8D交AC于F,延長(zhǎng)CE交8F于G,

A

在△ABF和aGFC和△GDE中有，

?AB+AF>BD+DG+GF

@GF+FC>GE+CE

@DG+GE>DE

.,?①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

:.AB+AC>BD+DE+CE

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過引輔助線，把求證的量（或與求

證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題.

練習(xí)：：如圖P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，

求證：；（AB+BC+AC）<PA+PB+PC<AB+BC+AC

規(guī)律16.三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的

一半.

例：如圖，8。為AABC的角平分線，CD為AABC的外角NACE的平分線，它與B。的延長(zhǎng)

線交于D.

求證：/A=2/D

證明：：8D、CD分別是NABC、N4CE的平分線

J.ZACE=2X1,ZABC=2X2人

'：Z4=ZACE~ZABCBNX-「

cE

.?./A=2Nl-2/2

又?.,NO=N1—N2

ZA=2ZD

規(guī)律17.三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90。加上第三個(gè)內(nèi)角的一半.

例：如圖，BD,CD分別平分NA8C、ZACB,求證：ZBDC=90°+-ZA

2

證明：'：BD,CD分別平分/ABC、ZACB

：.4+2/1+2/2=180。

：.2(Z1+Z2)=180。-NA①

A

VZBDC=18O°-(Z1+Z2)

/.(Z1+Z2)=180°-ZBDC@B2c

把②式代入①式得

2(180。一N8DC)=180°-ZA

即：360°-2ZBDC=1800-ZA

：.2ZBDC=180。+NA

：.ZBDC^900+-ZA

2

規(guī)律18.三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于90。減去第三個(gè)內(nèi)角的一半.

例：如圖，BD、CD分別平分/EBC、ZFCB,求證：ZBDC^90°--ZA

2

證明：；BD、CD分別平分/EBC、NFCB

/.ZEBC=2Z1,ZFCB=2Z2

：.2Z1^ZA+ZACB①

2Z2=ZA+ZABC②

①+②得

2(Z1+Z2)=ZA+ZABC+ZACB+ZA

2(Z1+Z2)=180。+NA

(Z1+Z2)=90°+-ZA

2

/BDC=18O°-(Z1+Z2)

；.N8DC=180°-（90°+；/A）

：.ZBDC=90°~-ZA

2

規(guī)律19.從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差

（的絕對(duì)值）的一半.

例：，如圖，在△A8C中，ZOZB,ADLBC^D,AE平分/8AC.

求證：ZEAD=y（ZC-Z6）

證明：平分/R4C

1

：.ZBAE=ZCAE=-ABAC

2

：/8AC=180。一(28+NC)

：.ZEAC=；(180°-(ZB+ZC))

"：ADYBC

：.ZDAC=900-ZC

NEAD=ZEAC-ZDAC

：.ZEAD=-(180°-(ZB+ZC)J-(900-ZC)

2

=90°-y(ZB+ZC)-900+ZC

=y(ZC-ZB)

如果把AD平移可以得到如下兩圖，F(xiàn)D_LBC其它條件不變，結(jié)論為NEFD=-（ZC

2

-ZB).

注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過解

一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.

規(guī)律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí),如果直接證

不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角

的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.

例：。為△A8C內(nèi)任一點(diǎn)，求證：ZBDOZBAC

證法（一）：延長(zhǎng)BD交AC于E,

是的外角，

同理：ZDEOZBAC°Fc

.,.ZBDOZBAC

證法（二）：連結(jié)AD,并延長(zhǎng)交8c于F

是△ABD的外角，

：.ZBDF>ZBAD

同理

ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD

即：ZBDOZBAC

規(guī)律21.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

例：，如圖，A。為的中線且Nl=N2,Z3=Z4,

求證：BE+CF>EF

證明：在0A上截取DN=D8,連結(jié)NE、NF,那么DN=DC

在△8DE和中，

DN=DB

Zl=Z2

A

ED=ED

:.△BDEBANDE

：.BE=NE

同理可證：CF=NF

在△￡「可中，EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

規(guī)律22.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形.

例：，如圖，4。為△A8C的中線，且Nl=/2,Z3=Z4,求證：BE+CF>EF

證明：延長(zhǎng)ED到M,使。M=DE,連結(jié)CM、FM

△BDE和△CDM中，

BD=CD

Zl=Z5

ED=MD

：.CM=BE

又Z3=Z4

Z1+Z2+Z3+Z4=180°

/.Z3+Z2=90°

即/￡DF=90°

：.ZFDM=/EOF=90°

△EDF和△MDF中

ED=MD

NFDM=NEDF

DF=DF

1.AED&/\MDF

：.EF=MF

?.?在△CMF中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此題也可加倍FD,證法同上）

規(guī)律23.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.

例：，如圖，AD為△ABC的中線，求證：AB+AO2AD

證明：延長(zhǎng)A。至E,使OE=AD,連結(jié)BE

"：AD為△A8C的中線

在△ACD和△EBD中\(zhòng)'

BD=CD

Zl=Z2

AD=ED

：.△ACD絲△EBD

"/"BE中有AB+BE>AE

：.AB+AC>2AD

規(guī)律24.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法

截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.

當(dāng)或求證中涉及到線段a、b、c、d有以下情況之一時(shí)用此種方法:

①a>b

②。士b=c

③a士b=c+d

例：，如圖，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,P為A。上任一點(diǎn),

求證：AB-AOPB-PC

證明：⑴截長(zhǎng)法：在A8上截取AN=47,連結(jié)PN

在和中，

AN=AC!>

D。

AP=AP

:.△APNQXAPC

：.PC=PN

"：/\BPN中有PB-PC<BN

：.PB-PC<AB-AC

⑵補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB,連結(jié)PM

在△A8P和△AMP中

AB=AM

Zl=Z2

AP=AP

：.”BP冬/\AMP

：.PB=PM

又；在△PCM中有CM>PM~PC

：.AB-AC>PB-PC

練習(xí)：1.,在△A8C中，NB=60。/。、CE是△ABC的角平分線，

并且它們交于點(diǎn)。

求證：AC^AE+CD

2.,如圖，AB//CDZ1=Z2,Z3=Z4.

求證：BC=AB+CD

規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。

②假設(shè)圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們

所在的三角形全等.

③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.

例:如圖，，BE,CD相交于F,ZS=ZC,Zl=Z2,求證：DF=EF

證明：VZADF=ZB+Z3

ZAEF=ZC+Z4

又：N3=N4

Zfi=ZC

ZADF=ZAEF

在△ADF和aAEF中

ZADF=ZAEF

Zl=Z2

AF=AF

：./XADF^/XAEF

：.DF=EF

規(guī)律26.在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相

等.

例：，如圖Rt/\ABC<^,AB=AC,/BAC=90。，過A作任一條直線A/V,作8D_L4N于D,CE1AN

于E,求證：DE=BD—CE

證明："：ZBAC=90°,BDLAN

/.Zl+Z2=90°Zl+Z3=90°

?\Z2=Z3

'：BD1ANCEA.AN

：.ZBDA=ZAEC=90°

在△48。和△CAE中，

NBDA=NAEC

Z2=Z3

AB^AC

：./\ABD^/\CAE

：.BD=AES.AD=CE

：.AE~AD=BD-CE

：.DE=BD~CE

規(guī)律27.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等.

例：45為△ABC的中線，且CF_LAD于F,8E_L4D的延長(zhǎng)線于E

求證：BE=CF

證明：（略）

規(guī)律28.條件缺乏時(shí)延長(zhǎng)邊構(gòu)造三角形.

例：AC=BD,ADUC于A,BCBD于B

求證：AD=BC

證明：分別延長(zhǎng)。A、CB交于點(diǎn)E

"：AD±ACBCLBD

：.ZCAE=ND8E=90°

在△D8E和△口!￡中

ZDBE=ZCAE

BD^AC

ZE=ZE

:.ADBE空ACAE

:.ED=EC,EB=EA

：.ED~EA=EC-EB

：.AD=BC

規(guī)律29.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.

例：，如圖，AB//CD,AD//BC

求證：AB=CD

證明：連結(jié)AC（或BD）

".'AB//CD,AD//BC

：.Zl=Z2

在△ABC和△CDA中,

/1=/2

AC=CA

Z3=Z4

，AABC注ACDA

E

：.AB=CD

練習(xí)：，如圖，AB=DC,AD=BCfDE=BF,

B

求證：BE=DF

規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)?？蓺w結(jié)為"角分垂等腰歸”.

例：，如圖，在RtZViBC中，AB=AC,ZBAC=90°,Zl=Z2,CE_LBD的延長(zhǎng)線于E

求證：BD=2CE

證明：分別延長(zhǎng)84CE交于F

'：BE1.CF

：.ZBEF=ZBEC^90°°

在△BEF和△BEC中Z\\K

BE=BE

NBEF=NBEC

：./\BEF^/\BEC

I

：.CE=FE=-CF

2

'：ZBAC=90°,BE±CF

：.ZBAC=ZCAF=90°

/1+/BDA=90。

Zl+ZBFC=90°

NBDA=ZBFC

在△ABD和中

ZBAC=ZCAF

NBDA=NBFC

AB=AC

：./\ABD^/\ACF

：.BD=CF

BD=2CE

練習(xí)：，如圖，NACB=3NB,/1=/2（。_1_4。于。,

求證：AB-AC=2CD

規(guī)律31.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造

全等三角形.

例：，如圖，AC.BD相交于。，S.AB=DC,AC=BD,

求證：ZA-ZD

證明：（連結(jié)BC,過程略）

規(guī)律32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件.

例：，如圖，AB=DC,ZA=ZD

求證：ZABC=ZDCB

AD

證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M,/\

-------------------V

連結(jié)NB、NM、NC（過程略）

規(guī)律33.有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩

邊距離相等證題.

例：，如圖，Zl=Z2,P為8N上一點(diǎn)，且PD_LBC于D,AB+BC=2BD,

求證：ZBAP+NBCP=180°

證明：過P作PE_L8A于E

'：PDLBC,Zl=Z2

：.PE=PD

在RtABPE和Rt/XBPD中

BP=BP

PE=PD

：.Rt/\BPE^Rt/\BPD

：.BE=BD

'：AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE

：.AE=CD

；PEJLBE,PD1BC

/PEB=NPDC=9。。

在和中

PE=PD

NPEB=/PDC

AE=CD

；.4PEA注APDC

:.NPCB=NEAP

'：ZBAP+ZEAP=180°

：.ZBAP+ZBCP=180°

練習(xí)：1.,如圖，PA,PC分別是△ABC外角NMAC與NNCA的平分線，它們交于P,

PDJ_BM于M,PFLBN于F,求證：8P為NMBN的平分線

B

CFN

2.,如圖，在△A8C中，ZABC=100°,ZACB=20°,CE是/ACB的平分線，D是AC

上一點(diǎn)，假設(shè)NCBD=20。，求NCED的度數(shù)。

規(guī)律34.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例：，如圖，AB=AC,8DJ_4C于D,

求證：ZBAC^2ZDBC

證明：（方法一）作/8AC的平分線AE,交8c于E,那么/1=N2=-ZBAC

2

又；A8=AC

J.AE1.BC

：.Z2+ZACB=90°

'：BD±AC

：.ZDBC+ZACB=90°

：.Z2=ZDBC

：.ZBAC^2ZDBC

（方法二）過人作AE_LBC于E（過程略）

（方法三）取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE（過程略）

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線

例：，如圖，8c中，AB=AC,。為8c中點(diǎn)，OEJ_AB于￡,DELAC于F,

求證：DE=DF

證明：連結(jié)AD.卜

?.,。為BC中點(diǎn)，E/V

DC

：.BD=CD

又；A8=AC

.?.AD平分/a4C

"：DE1.AB,DFrAC

：.DE=DF

⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例：，如圖，Z^ABC中，AB=AC,在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)￡、F,使AE=AF,求

證：EF1BC

證明：延長(zhǎng)BE到N,使AN=AB,連結(jié)CN,那么AB=AN=AC

/.Ze=ZACB,ZACN=ZANC

'：ZB+ZACB+NACA/+ZANC=180°

：.2ZBCA+2ZACN=130°

：.ZBCA+ZACN^90°

即/8CN=90°

：.NC±BC

"：AE=AF

：.NAEF=ZAFE

又,：NBAC=NAEF+ZAFE

NBAC=NACN+ZANC

NBAC=2NAEF=2NANC

：.ZAEF=ZANC

：.EF//NC

：.EFLBC

⑷常過一腰上的某一點(diǎn)做另一腰的平行線

例：，如圖，在△ABC中，AB=AC,。在AB上，E在AC延長(zhǎng)線上，S.BD=CE,連結(jié)DE交

BC于F

求證：DF=EF

證明：（證法一）過。作DN〃AE,交BC于N,那么/DNB=/ACB,NNDE=NE,

"：AB=AC,

；.NB=ZACB

：.ZB=ZDNB

：.BD=DN

又：8D=CE

/.DN=EC

在△DNF和中

Zl=Z2

NNDF=NE

DN=EC

：./\DNF^/\ECF

：.DF=EF

（證法二）過E作EM〃AB交8c延長(zhǎng)線于M,那么/E/M8=/B（過程略）

⑸常過一腰上的某一點(diǎn)做底的平行線

例：，如圖，△ABC中，AB=AC,E在AC上，。在8A延長(zhǎng)線上，且AD=

AE,連結(jié)DE

__aD

M

F

B

求證：DE_LBC

證明：（證法一）過點(diǎn)E作EF〃BC交A8于F,那么

NAFE=NB

NAEF=NC

"：AB=AC

：.ZB=ZC

：.ZAFE=ZAEF

'：AD=AE

ZAED=ZADE

又'：ZAFE+ZAEF+ZAED+NAOE=180°

：.2ZAEF+2ZAED^90°

即NFED=90°

DELFE

又,：EF〃BC

：.DE±BC

（證法二）過點(diǎn)。作。N〃BC交CA的延長(zhǎng)線于N,（過程略）

（證法三）過點(diǎn)A作AM〃8c交0E于M,（過程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形一…等邊三角形

例：，如圖，△A8C中，A8=AC,N8AC=80°產(chǎn)為形內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)/P8C=10。NPCB

=30°求/%B的度數(shù).

解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE

那么NBAE=/A8E=60°

AE=A8=BE

"：AB=AC

：.AE=ACZABC=ZACB

，ZAEC=ZACE

"：ZEAC=ZBAC-ZBAE

=80°-60°=20°

I

/.ZACE=-(180°-Z￡AC)=80°

"?ZACB=；(180°-NBAC)=50°

：.ZBCE=ZACE-ZACB

=80°—50°=30°

"：ZPCB=30°

；.NPCB=NBCE

ZABC^ZACB=50°,/ABE=60°

ZEBC=ZABE-ZABC=60°-50°=10°

"：ZPBC=10°

：.ZPBC=/EBC

在aPBC和△EBC中

ZPBC=NEBC

BC=BC

NPCB=NBCE

：./\PBC^/\EBC

：.BP=BE

:AB=BE

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBPA

ZABP=ZABC-ZPBC=50°-10°=40°

ZRAB=-(180°-ZZ(BP)=70°

解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。

解法三：以BC為一邊作等邊三角形△BCE,連結(jié)AE,那么

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

?；EB=EC

在BC的中垂線上

BE

同理A在BC的中垂線上//\\

：.EA所在的直線是8c的中垂線

：.EA±BC

1

ZAEB=-ZBEC=30°=ZPCB

2

由解法一知：/ABC=50。

AAABE=NEBC—NABC=10°=NPBC

"?NABE=NPBC,BE=BC/AEB=NPCB

：./\ABE^/\PBC

：.AB=BP

；.NBAP=NBPA

"：NABP=NABC-NPBC=50°-10°=40°

：.ZPAB=-(1800-Z4BP)=-(180°-40°)=70°

規(guī)律35.有二倍角時(shí)常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例：，如圖，在△ABC中，Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求證：AB+BD^AC

證明：延長(zhǎng)AB至IjE,使BE=BD,連結(jié)DE

那么NBED=NBOE

'：ZABD=ZE+ZBDE

：.ZABC=2ZE

"：ZABC=2ZC

：.ZE=ZC

在△AED和△ACD中

NE=ZC

Zl=Z2

AD=AD

：./\AED^/\ACD

：.AC=AE

'：AE=AB+BE

:.AC=AB+BE

即AB+BD=AC

⑵平分二倍角

例：，如圖,在△ABC中，BD_L4C于。，ZBAC=2ZDBC

求證:ZABC=ZACB

證明:作NBAC的平分線AE交BC于E,那么NBAE=ZCAE=NDBC

"：BD±AC

：.ZCBD+ZC=90°

：.ZCAE+ZC=90°

"：/AEC=1800-NCAE—NC=90°

J.AELBC

：.ZABC+ZBAE=90°

'：ZCAE+ZC^90°

ZBAE=ZCAE

：.ZABC=NACB

⑶加倍小角

例：，如圖，在△48C中，BD_LAC于。，ZBAC=2ZDBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作NFBD=NDBC,BF交AC于F（過程略）

規(guī)律36.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來.

例：，如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F,交

AB于E

求證：BF=-FC

2

證明：連結(jié)AF,那么AF=BF

：.ZB=ZFAB

'：AB=AC

：.ZB=ZC

：N8AC=120°

：.ZB=ZCZBAC=-{1800-ZBAC)=30°

：.ZFAB=30°

：.ZFAC=ZBAC-ZFAB=120°~30°=90°

XVZC=30°

1

：.AF=-FC

2

1

：.BF^-FC

2

練習(xí)：，如圖，在△ABC中，NCA8的平分線AD與BC的垂直平分線OE交于點(diǎn)D,DMA.AB

于M,CW_LAC延長(zhǎng)線于N

求證：BM=CN

規(guī)律37.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例：，如圖，在△ABC中，ZB=2ZC,AOJ_BC于。

求證：CD=AB+BD

證明：（一）在CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,那么A8=AE

：.ZB=ZAEB

VZB=2ZC

c

ZAEB=2ZCE1)B

又；/AEB=NC+NE4C

：.ZC=ZEAC

：.AE=CE

5i'：CD=DE+CE

：.CD=BD+AB

（二）延長(zhǎng)CB到F,使OF=OC,連結(jié)AF那么AF=AC（過程略）

規(guī)律38.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例：，如圖，在△ABC中，8c=2AB,/A8C=2/C,8D=CD

求證：△A8C為直角三角形

證明：過。作。E_LBC,交AC于￡連結(jié)BE,那么8E=CE,

AZC=Z￡BC

'：ZABC=2ZC

；.NABE=NEBC

"：BC=2AB,BD=CD

：.BD=AB

在△A8E和△OBE中

AB=BD

ZABE=ZEBC

BE=BE

：./\ABE^/\DBE

：.ZBAE=ZBDE

"：ZBDE=90°

/BAE=90°

即△ABC為直角三角形

規(guī)律39.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題.

例：，如圖，在△ABC中，Z4=90°,DE為BC的垂直平分線

求證：BE2~AE2=AC2

證明：連結(jié)CE,那么8E=CE

ZA=90°

：.AE2+AC2=EC2

：.AE2+AC2=BE2

:.BE2-AE2=AC2

練習(xí)：，如圖，在8c中，ABAC=90°,AB=AC,P為BC上一

點(diǎn)

求證：PB2+PC2=2R42

規(guī)律40.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.

例：，如圖，在△ABC中，ZB=45°,ZC=30°,A8=J7，求AC的長(zhǎng).

解：過A作ADJ_8c于。

：.ZB+ZBAD=90°,

：/B=45°,N8=/BAD=45°,

：.AD=BD

"：AB2=AD2+BD2,=

：.AD=1

VZC=30°,AD1.BC

：.AC=2AD=2

四邊形局部

規(guī)律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半.

例：，必BCD的周長(zhǎng)為60cm,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，AAOB的周長(zhǎng)比△8OC的周長(zhǎng)多

8cm,求這個(gè)四邊形各邊長(zhǎng).

解：...四邊形ABCD為平行四邊形

：.AB=CD,AD=CB,AO=CO

"：ABJrCD+DA+CB=60

AO+AB+OB-（OB+BC+OC）=8

：.AB+BC=30,AB-BC=8

：.AB=CD=19,BC=AD=11

答：這個(gè)四邊形各邊長(zhǎng)分別為19cm、11cm,19cm、11cm.

規(guī)律42.平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差.

［例題如上）

規(guī)律43.有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形

例：，如圖，MABC,ZACB=90°,CD1.ABTD,AE平分/CA8交CD于F,過F作

交BC于，

求證：CE=BH

證明：過F作FP〃8C交A8于P,那么四邊形FP8H

為平行四邊形

：.NB=/FPA,BH=FP

'：ZACB=90°,CD1AB

/5+/C48=45°,ZB+ZCAB=90°

：.Z5=ZB

：.Z5=ZFPA

又；N1=N2,AF=AF

：./\CAF^/\PAF

：.CF=FP

VZ4=Z1+Z5,Z3=Z2+ZB

.*.Z3=Z4

CF=CE

：.CE=BH

練習(xí)：，如圖，AB//EF//GH,BE=GC

求證：AB=EF+GH

規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段.

例：，如圖，在aABCD中，AB=2BC,M為AB中點(diǎn)

求證：CM1.DM

證明：延長(zhǎng)。M、CB交于N

???四邊形ABCD為平行四邊形

：.AD=BN

：.BN=BC

'：AB=2BC,AM=BM

：.BM=BC=BN

AZ1=Z2,N3=NN

VZl+Z2+Z3+ZA/=180°,

，Nl+N3=90°

：.CM1,DM

規(guī)律45.平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等.

如圖：OE=OF

規(guī)律46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)

成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一

半.

1

如圖：SABEC-S^ABCD

2

規(guī)律47.平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三

角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半.

如圖：S^AOB+S^DOC=S^BOC~\~S^AOD=—So/tBCD

規(guī)律48.任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中,

不相鄰的兩條線段的平方和相等.

如圖：AO2+OC2^BO2+D02

規(guī)律49.平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為

矩形.

如圖：四邊形GHMN是矩形

（規(guī)律45?規(guī)律49請(qǐng)同學(xué)們自己證明）

規(guī)律50.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.

例：，如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且8E=ED,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PF_L8E于

F,PGA.AD于G

求證：PF+PG=AB

證明：證法一：過P作于H,那么四邊形4HPG為矩形

：.AH=GPPH//AD

：.ZADB=ZHPB

"：BE=DE

：.ZEBD=ZADB

：.NHPB=ZEBD

又,：NPFB=NBHP=9。。

：./\PFB^/\BHP

：.HB=FP

：.AH+HB=PG+PF

即AB=PG+PF

證法二：延長(zhǎng)GP交8c于M那么四邊形ABNG為矩形，（證明略）

規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法:

⑴作斜邊上的高

例：，如圖，假設(shè)從矩形A8CD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與/BA。的平分線交于點(diǎn)E

求證：AC=CE

證明：過A作AFJ_8D,垂足為F,那么AF〃EG''―--------女刁”

：.ZFAE=ZAEG

"四邊形ABCD為矩形

：.ZBAD=90°OA=OD

：.ZBDA=ZCAD

'：AF1.BD

：.ZABD+ZADB=ZABD+ZBAF=90°

：.ZBAF^ZADB=ZCAD

為/BAD的平分線

：.ZBAE=ZDAE

:.NBAE—NBAF=NDAE—NDAC

^VZFAE=ZCAE

：.ZCAE=ZAEG

：.AC=EC

⑵作