《對(duì)數(shù)的運(yùn)算》示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)】

《對(duì)數(shù)的運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，體會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；2．知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；3．能夠利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，換底公式．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的得出，對(duì)數(shù)換底公式的推導(dǎo)．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件，計(jì)算器．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程（一）新知探究1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)問(wèn)題1：因?yàn)檫\(yùn)算，數(shù)的威力無(wú)限；沒(méi)有運(yùn)算，數(shù)就只是一個(gè)符號(hào)．在引入對(duì)數(shù)之后，自然應(yīng)研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．你認(rèn)為可以怎樣研究？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論交流，教師引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系思考．預(yù)設(shè)的答案：通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了對(duì)數(shù)是通過(guò)指數(shù)冪的形式定義出來(lái)的，因此對(duì)數(shù)運(yùn)算是由指數(shù)冪運(yùn)算衍生出來(lái)的．對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類(lèi)重要的運(yùn)算，正像加法與減法、乘法與除法之間的關(guān)系一樣，我們通過(guò)加法運(yùn)算學(xué)習(xí)減法運(yùn)算，通過(guò)乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)除法運(yùn)算．對(duì)于對(duì)數(shù)運(yùn)算，我們也可以通過(guò)指數(shù)冪運(yùn)算推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：明確研究的內(nèi)容，新舊知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的探究欲望．追問(wèn)1：請(qǐng)回憶指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．師生活動(dòng)：個(gè)別提問(wèn)回答．預(yù)設(shè)的答案：對(duì)于任意實(shí)數(shù)r，s，均有下面的指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)．（1）；（2）；（3）．設(shè)計(jì)意圖：回憶指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)提供理論上的支持．追問(wèn)2：根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1），你能將指數(shù)式轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)式的形式么？由此你可以得出的對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是什么？師生活動(dòng)：先由學(xué)生嘗試解決，然后進(jìn)行展示，教師予以補(bǔ)充完善．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)，因?yàn)椋裕鶕?jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系可得．這樣，就得到了對(duì)數(shù)的一個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：．其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0．設(shè)計(jì)意圖：從指數(shù)冪運(yùn)算的角度出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，便于學(xué)生理解．追問(wèn)3：仿照上述的推導(dǎo)過(guò)程，由你能推出對(duì)數(shù)的其他運(yùn)算性質(zhì)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流，教師予以糾錯(cuò)并修改．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)，因?yàn)椋裕鶕?jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系可得．于是：．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類(lèi)比的方式讓學(xué)生自行推導(dǎo)，加深理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．追問(wèn)4：運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的概念，推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流，教師予以糾錯(cuò)并修改．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)，因?yàn)?，所以．根?jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系可得，所以．于是：．設(shè)計(jì)意圖：與前面兩個(gè)性質(zhì)的推導(dǎo)不同，這個(gè)性質(zhì)要求學(xué)生直接從結(jié)論出發(fā)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)．讓學(xué)生體會(huì)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)有多種方法，但本質(zhì)上都是充分運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的概念．問(wèn)題2：總結(jié)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，談?wù)剬?duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行總結(jié)并討論交流，教師予以完善．預(yù)設(shè)的答案：對(duì)數(shù)有如下的運(yùn)算性質(zhì)．如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）；（2）；（3）．從對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以看出，通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算可以把乘法轉(zhuǎn)化為加法，把除法轉(zhuǎn)化為減法，把乘方轉(zhuǎn)化為乘法．從運(yùn)算角度看，加、減是一級(jí)運(yùn)算，乘、除是二級(jí)運(yùn)算，乘方、開(kāi)方是三級(jí)運(yùn)算．運(yùn)算數(shù)量級(jí)的不同決定了運(yùn)算的復(fù)雜度，一般來(lái)說(shuō)，運(yùn)算的數(shù)量級(jí)越高，運(yùn)算的復(fù)雜度也越高．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)降低了運(yùn)算的級(jí)別，簡(jiǎn)化了運(yùn)算．教師講解：現(xiàn)代社會(huì)，由于有了計(jì)算器（機(jī)）等計(jì)算工具，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的這種作用似乎有些微不足道，但在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有計(jì)算工具，對(duì)于天文學(xué)中大數(shù)的乘、除等運(yùn)算，僅靠紙筆運(yùn)算是相當(dāng)繁瑣、復(fù)雜的，而對(duì)數(shù)的發(fā)明“延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”．因此，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是偉大的成就．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，體會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用．2．對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的初步應(yīng)用例3求下列各式的值：（1）；（2）．追問(wèn)：根據(jù)題目中運(yùn)算對(duì)象的特點(diǎn)，應(yīng)該選擇對(duì)數(shù)的哪條運(yùn)算性質(zhì)作為求解依據(jù)？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：（1）應(yīng)該選擇第3條性質(zhì)；（2）應(yīng)該選擇第1條性質(zhì)，之后根據(jù)化簡(jiǎn)的情況再進(jìn)行選擇．解：（1）；（2）．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生直接運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行具體數(shù)值的計(jì)算，從中體會(huì)對(duì)數(shù)運(yùn)算把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，把乘法轉(zhuǎn)化為加法的作用．例4用lnx，lny，lnz表示．追問(wèn)：類(lèi)比例3中具體數(shù)值的計(jì)算，本題可以依據(jù)對(duì)數(shù)的哪些運(yùn)算性質(zhì)？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：通過(guò)觀(guān)察，本題需要綜合運(yùn)用對(duì)數(shù)的3條運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解．解：．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)有字母的對(duì)數(shù)的運(yùn)算，綜合運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解，熟悉對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．3．對(duì)數(shù)的換底公式問(wèn)題3：從歷史上看，發(fā)明對(duì)數(shù)完全是計(jì)算的需要，但在計(jì)算過(guò)程中，我們無(wú)法窮盡所有對(duì)數(shù)的運(yùn)算，畢竟對(duì)數(shù)的運(yùn)算數(shù)量級(jí)高、復(fù)雜度高．當(dāng)時(shí)人們?yōu)榱诉\(yùn)算的方便，經(jīng)過(guò)大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表，只要通過(guò)查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)．現(xiàn)在利用計(jì)算工具，也可以直接求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)．請(qǐng)思考：為了方便地求出其他底數(shù)的對(duì)數(shù)，能否將其他底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或e為底的對(duì)數(shù)？師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行思考．設(shè)計(jì)意圖：在引入對(duì)數(shù)的定義，研究了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)之后，自然會(huì)想到如何簡(jiǎn)化運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索．追問(wèn)1：首先從一個(gè)具體的問(wèn)題開(kāi)始研究．利用計(jì)算工具可以求出ln2，ln3的近似值，那么根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，你能利用ln2，ln3的值求出log23的值嗎？我們應(yīng)該對(duì)ln2，ln3和log23做怎樣的處理？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試對(duì)log23進(jìn)行代數(shù)變形，教師引導(dǎo)學(xué)生：變形的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系以及對(duì)數(shù)的定義．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)log23=x，則2x=3，于是ln2x=ln3．根據(jù)性質(zhì)（3）得xln2=ln3，即．利用計(jì)算工具可以求出，所以．設(shè)計(jì)意圖：從具體、特殊的問(wèn)題開(kāi)始研究，往往能啟發(fā)思路、發(fā)現(xiàn)規(guī)律．從對(duì)數(shù)的定義思考問(wèn)題，加強(qiáng)“從定義、基本原理出發(fā)思考問(wèn)題”的引導(dǎo)．追問(wèn)2：在上述具體問(wèn)題及其解決過(guò)程的啟發(fā)下，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，你能用logca，logcb表示logab(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生仿照上述過(guò)程進(jìn)行推導(dǎo)，個(gè)別提問(wèn)回答，教師予以補(bǔ)充完善．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)，則，于是．根據(jù)性質(zhì)（3）得，即（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）．我們把上式叫做對(duì)數(shù)換底公式．利用對(duì)數(shù)的換底公式，可以把任意底數(shù)的對(duì)數(shù)的值轉(zhuǎn)化為以10或e為底的對(duì)數(shù)，這樣就可以利用對(duì)數(shù)表或計(jì)算工具計(jì)算任意底數(shù)的對(duì)數(shù)的值．設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般的過(guò)程是數(shù)學(xué)中思考和解決問(wèn)題時(shí)常用的方法．經(jīng)歷這一過(guò)程，提高學(xué)生思考和解決問(wèn)題的能力．追問(wèn)3：在4.2.1的問(wèn)題1中，求經(jīng)過(guò)多少年B地景區(qū)的游客人次是2001年的2倍，就是計(jì)算的值．利用計(jì)算工具，根據(jù)換底公式，求解的值．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：由換底公式，可得．利用計(jì)算工具，可得．由此可得，大約經(jīng)過(guò)7年，B地景區(qū)的游客人次就達(dá)到2001年的2倍．設(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，加強(qiáng)對(duì)換底公式的理解．4．綜合應(yīng)用，鞏固新知例5盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍（精確到1）？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后，個(gè)別提問(wèn)回答．教師可以引導(dǎo)學(xué)生：本題求解的對(duì)象是地震釋放能量的倍數(shù)，即E的比值，給的條件是地震里氏震級(jí)M，需要用題中給的對(duì)數(shù)關(guān)系式將二者建立聯(lián)系．預(yù)設(shè)的答案：解：設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別為E1和E2．由lgE=4.8+1.5M，可得lgE1=4.8+1.5×9.0，lgE2=4.8+1.5×8.0．于是，．利用計(jì)算工具可得，．雖然里氏9.0級(jí)地震與里氏8.0級(jí)地震僅差1級(jí)，但前者釋放出來(lái)的能量卻是后者的約32倍．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題，可以讓學(xué)生體會(huì)地震的里氏震級(jí)雖然相差很小，但是地震釋放的能量波差別巨大，進(jìn)一步感受對(duì)數(shù)運(yùn)算的意義．追問(wèn)：想一想，為什么兩次地震的里氏震級(jí)僅差1級(jí)，而釋放的能量卻相差那么多呢？師生活動(dòng)：學(xué)生討論交流，教師予以補(bǔ)充完善．預(yù)設(shè)的答案：地震中能量是很大的數(shù)值，進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算后，其數(shù)值就變得非常?。@其實(shí)相當(dāng)于把指數(shù)冪運(yùn)算中冪的結(jié)果反映在指數(shù)上，也就是說(shuō)，在以10為底的指數(shù)冪運(yùn)算中，指數(shù)每增加1，其冪的值就是原來(lái)的10倍；每增加2，其冪的值就是原來(lái)的100倍；反之，在以10為底的對(duì)數(shù)運(yùn)算中，真數(shù)是原來(lái)的10倍，對(duì)數(shù)值就增加1；真數(shù)是原來(lái)的100倍，對(duì)數(shù)值就增加2．所以，在指數(shù)冪運(yùn)算中，“指數(shù)增長(zhǎng)”的變化非常快；在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的變化就比較慢．設(shè)計(jì)意圖：初步感知不同運(yùn)算導(dǎo)致的增長(zhǎng)差異，為后面的課程“不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異”作鋪墊．（二）歸納小結(jié)，布置作業(yè)問(wèn)題4：回顧本節(jié)課，我們是如何得到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的？這對(duì)我們有什么啟示？談?wù)剬?duì)數(shù)的換底公式為什么非常重要？師生活動(dòng)：學(xué)生討論交流后回答，教師予以補(bǔ)充完善．預(yù)設(shè)的答案：（1）我們是根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，以及對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)指數(shù)冪運(yùn)算推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．這對(duì)我們的啟示是，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算不是相互孤立的，它們之間有著密切的聯(lián)系．所以我們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，也應(yīng)當(dāng)注重在現(xiàn)有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行新知識(shí)的拓展，并且注意新舊知識(shí)之間的聯(lián)系．（2）到目前為止，我們學(xué)習(xí)了加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方、指數(shù)冪、對(duì)數(shù)等運(yùn)算．以我們目前所掌握的知識(shí)來(lái)看，對(duì)數(shù)運(yùn)算與其他運(yùn)算的一個(gè)很大的不同點(diǎn)是：其他運(yùn)算基本上都可以?xún)H靠紙筆來(lái)計(jì)算；而對(duì)數(shù)運(yùn)算，除了特殊的一些情況（例如log24，log31等），都必須借助指數(shù)冪來(lái)計(jì)算，即便如此，計(jì)算的過(guò)程也是相當(dāng)?shù)姆爆崗?fù)雜．因此，人們制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表．但我們無(wú)法窮盡所有底數(shù)的對(duì)數(shù)表，所以對(duì)于其他底數(shù)的對(duì)數(shù)，可以通過(guò)換底公式，轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)其他底數(shù)的對(duì)數(shù)的運(yùn)算．所以，對(duì)數(shù)的換底公式，將對(duì)數(shù)的計(jì)算大大簡(jiǎn)化．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系新舊知識(shí)的能力，建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系．體會(huì)對(duì)數(shù)的換底公式的重要性．問(wèn)題5：閱讀教科書(shū)128頁(yè)“閱讀與思考—對(duì)數(shù)的發(fā)明”，體會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，以及降低運(yùn)算等級(jí)的作用．師生活動(dòng)：學(xué)生課后自行完成．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步了解對(duì)數(shù)的偉大之處，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)人文素養(yǎng)．作業(yè)布置：教科書(shū)習(xí)題．（三）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)具