人教版八年級下冊數(shù)學復習講義 第16講 正方形的綜合應用

第16講正方形的綜合應用知識點一：正方形中的簡單證明一、旋轉全等1.如圖，點E是正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連CE，CF.（1）求證：△ABF≌△CBE；（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由.2.如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點M，N分別在OA，OB上，且OM=ON.（1）求證：①BM=CN；②CN⊥BM；（2）若點M，N分別在OA，OB的延長線上，則（1）中的兩個結論仍成立嗎？請說明理由.二、中點全等3.如圖，點E是正方形ABCD中AD邊上的中點，BD，CE相交于點F，連AF.（1）求證：EB=EC；（2）求證：AF⊥BE.三、垂直全等4.如圖，已知正方形ABCD，點P在對角線BD上，PE⊥PA交BC于點E，PF⊥BC，垂足為點F.（1）求證：∠PEC=∠BAP：（2）求證：.5.如圖，在正方形ABCD中，點P是對角線AC上的一點，連接BP，DP，延長BC到點E，使PB=PE.（1）求證：∠PDC=∠PEC；（2）試判斷CD、CE，CP之間的數(shù)量關系，并加以證明.知識點二：中點四邊形模型【方法歸納】中，點四邊形的形狀一般通過三角形中位線定理來證明.【基本圖形】已知點E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊的中點.【基本結論】（1）：（2）（3）：（4）.【基本圖形】已知點E、F、G、H分別為AD、BD、BC、AC的中點.【基本結論】（1）：（2）（3）：（4）.變式1.四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若AC=BD，則四邊形EFGH的形狀是_________；（3）如圖3，若四邊形ABCD是菱形，求證：四邊形EFGH是矩形；（4）如圖4，若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是_________.變式2.四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點.（1）如圖1，當______________時，四邊形EFGH為正方形：（2）如圖2，E、F、G、H分別為AD、BD、BC、AC的中點.①當______________時，四邊形EFGH為矩形；②當______________時，四邊形EFGH為菱形.變式3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，∠ABC+∠DCB=90°，點E，F(xiàn)，M，N分別為AD，BD，BC，AC的中點，試判斷四邊形EFMN的形狀并加以證明.變式4.（1）如圖1，點F，G，H是BC，CD，DA的中點，求證：四邊形CFGH是平行四邊形；（2）如圖2，在邊長為1的小正方形組成的5×5網(wǎng)格中，點A，C，B都在格點上，在格點上找一點D，使點C與BC，CD，DA的中點F，G，H組成的四邊形CFGH是正方形.畫出點D，并求正方形CFGH的邊長.知識點三：一線三等角的模型——圖形變式（2）【方法歸納】利用正方形邊角的性質構造全等三角形求點的坐標.【基本圖形】已知正方形ABCD，【基本結論】（1）△CBE≌△CDF；（2）BE=CF；（3）DF=CE.【基本圖形】已知正方形ABCD，【基本結論】（1）△BCE≌△CDF；（2）BE=CF；（3）DF=CE.一、構造一線三等角模型求坐標變式1.如圖，，，以AB為邊作正方形ABCD，分別求點C，D的坐標.變式2.如圖，，，延長EA至點D，使AD=AE，四邊形ADCB為正方形.（1）求點C的坐標；（2）求CE的長.二、構造一線三等角模型求線段長變式3.如圖，在四邊形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，AB=AD，，CD=7，求AB的長.三、構造一線三等角模型證明變式4.如圖，正方形ABCD中，點E在CD的延長線上，點F在BC上，EF的垂直平分線AM交CD于點M.（1）求證：；（2）若AB=3，DE=1，求DM的長.知識點四：一線三等角的模型（二）——圖形變式（3）【方法歸納】利用相等的角，構造全等三角形.【基本圖形】已知四邊形ABCD是正方形.【基本方法】方法一：在AB上截取AG=CE，證△AGE≌△ECF；方法二：連AC，作EM⊥BC交AC于M，證△AEM≌△FEC；方法三：作EH_LBC交CF于H，證△ACE≌△EFH；方法四：過E作EM⊥AC，EN⊥CF分別交AC、CF于M、N，證△AEM≌△EFN.一、動態(tài)變式——點的位置變變式1.如圖，正方形ABCD中，點E在CB的延長線上，∠AEF=90°，∠ECF=45°，求證：AE=EF.變式2.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在BC的延長線上，∠AEF=90°，且EF交正方形的外角平分線CF于點F，試探究AE與EF之間的數(shù)量關系.二、類比變式——圖形形狀變，方法不變變式3.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，點E是BC邊上一點，∠AEF=60°，且EF交直線CD于點F，求證：AE=EF.變式4.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E為BC邊上一點，以E為直角頂點在AE右側作等腰直角△AEF，若DF⊥EF，求BE的長.

知識點五：“圖形”模型的運用——圖形變式【方法歸納】處理問題的關鍵是利用條件構造等腰直角三角形.【基本圖形】【基本結論】（1）BD平分∠ABC；（2）；（3）【基本圖形】【基本結論】（1）；（2）；（3）一、作垂直全等倍變式1.如圖，點O為正方形ABCD的對角線的交點，點E為正方形外一點，且.（1）求的度數(shù)；（2）求證：.變式2.如圖，若上題中的E點在正方形內部，其他條件不變，（1）求的度數(shù)；（2）試探究EA，EB，OE之間的數(shù)量關系.二、作垂直全等偣變式3.如圖，若點E為正方形ABCD外一點，，連AE.（1）求的度數(shù)；（2）求證：.三、找垂直作垂直全等倍變式4.如圖，正方形ABCD中，點F在BC上，，DF=DE，點M為EF中點，求的值.四、線角作垂直全等倍變式5.如圖，已知正方形ABCD，點E為正方形外一點，DE=AD，PD平分交AE于P，連PB.（1）求的度數(shù)；（2）求的值.知識點六：網(wǎng)格作圖（1）【方法歸納】注意結合払股定理將四邊形、全等的知識有機融合.一、利用網(wǎng)格作角平分線1.如圖，在的網(wǎng)格中，，，.要求用無刻度尺作圖，將繞點A順時針旋轉角得到，.（1）找格點D使；（2）找格點、M使，垂足為，則即為所求三角形.寫出D、、M三點坐標.2.如圖，在平面直角坐標系中，，，，.連接BE，點G在y軸上，按下列步驟作；①找格點F，連接BF，使，則F點的坐標為②BF交OC于G點，則；簡述理由.二、利用網(wǎng)格作等角3.（2019·武漢）如圖是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.四邊形ABCD的頂點在格點上，點E是邊DC與網(wǎng)格線的交點.請選擇適當?shù)母顸c，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，保留連線的痕跡，不要求說明理由.（1）如圖1，過點A畫線段AF，使AF∥DC，且AF=DC；（2）如圖1，在邊AB上畫一點G，使∠AGD=∠BGC；（3）如圖2，過點E畫線段EM，使EM∥AB，且EM=AB.二、利用無刻度直尺作相等線段4.（2020·礫口期中）（1）如圖1，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的頂點以及點O均在格點上.①直接寫出AB的值為____________；②畫出以AC為邊，O為對角線交點的平行四邊形；（2）如圖2，畫出一個以DF為對角線且面積為6的矩形DEFG，且G和E均在格點上（D、E，F(xiàn)，G按順時針方向排列）；（3）如圖3，正方形ABCD中，E為BC上一點，在線段AB上找一點F，使得BF=BE（要求用無刻度的直尺畫圖，不準用圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡）知識點七：網(wǎng)格作圖（2）一、作平分線與45°角1.如圖是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，點A、B、C、F都是格點.用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示.（1）請在圖1中完成下列作圖：①畫線段AD，使AD∥BC，且；②畫∠APB=45°：（2）在圖2中，畫格點M，連CM使CM⊥AB.二、作等角與旋轉2.如圖，在平面直角坐標系中，，，按下列方式旋轉△OAB，使點B的對應點落在y軸的負半軸上（即△OMC）.（1）在y軸上找一格點C，使OC=OB，則點C的坐標為（________）；（2）過點O作OE∥AB（即連格點E與點O），則點E的坐標為（________）；（3）作∠OAB的平分線（即連格點F與點A），則點F的坐標為（________）；（4）若OE交AF于M點，AM交B0于H點，直接寫出的值_________.三、作相等與平行3.（2020武漢五調）如圖，△ABC的頂點在格點上，僅用無刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示.（1）將邊BC繞點C順時針旋轉90°得到線段CD；（2）連點D與格點M交AC于E點，則E為AC的中點，DM交B