河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)試題_第1頁(yè)
河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)試題_第2頁(yè)
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2022屆河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)試題一、單選題1.已知,其中是虛數(shù)單位,則(

)A.3 B.1 C.-1 D.-3【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)的形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組,解得即可;【詳解】解:因?yàn)?,因?yàn)椋?,即,所以;故選:B2.已知集合,,,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由集合的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】由題意,,.故選:A.3.已知函數(shù)(

)A.是奇函數(shù),單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù),單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),單調(diào)遞減 D.是偶函數(shù),單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用奇偶性和單調(diào)性的定義判斷即可【詳解】解:定義域?yàn)?,因?yàn)椋詾榕己瘮?shù),任取,且,則,因?yàn)?,,所以,所以,所以在單調(diào)遞增,故選:D4.已知都是實(shí)數(shù),那么“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),能推出,當(dāng)時(shí),推不出,例如推不出,綜上可知,“”是“”的充分不必要條件,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),充分條件、必要條件,屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量,,則的最大值為(

)A.1 B. C. D.【答案】D【分析】利用向量模的坐標(biāo)形式可求的最大值,注意利用二倍角的正弦公式來(lái)計(jì)算.【詳解】,故,又,當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立,故的最大值為,故選:D.6.2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物愛(ài)好者的喜愛(ài),“冰墩墩”和“雪容融”將中國(guó)文化符號(hào)和冰雪運(yùn)動(dòng)完美融合,承載了新時(shí)代中國(guó)的形象和夢(mèng)想.若某個(gè)吉祥物愛(ài)好者從裝有3個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”的6個(gè)盲盒的袋子中任取2個(gè)盲盒,則恰好抽到1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”的概率是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】列舉基本事件,利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3個(gè)“冰墩墩”分別為a、b、c,3個(gè)“雪容融”分別為1、2、3;從6個(gè)盲盒的袋子中任取2個(gè)盲盒有:ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15種情況;其中恰好抽到1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”包含a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3共9種,所以概率為:.故選:C7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(

)A. B. C. D.2【答案】B【分析】根據(jù)三視圖得到如圖所示的幾何體,利用公式可求四棱錐的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖得到如圖所示的幾何體(四棱錐),其中底面為矩形,且,棱錐的高為1,且側(cè)面底面,,為等腰三角形且,為等腰三角形且,取的中點(diǎn)為,連接.因?yàn)闉榈妊切吻遥?,而?cè)面底面,側(cè)面,側(cè)面底面,故底面,故,而底面,故,而,故,故,同理側(cè)面,而側(cè)面,故,而,故,又,故幾何體的表面積為,故選:B.8.首位數(shù)定理:在進(jìn)位制中,以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為,幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個(gè)定理.已知某銀行10000名儲(chǔ)戶(hù)的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上述定理,則下列結(jié)論正確的是(

)(參考數(shù)據(jù):,)A.存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為B.存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%C.存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率D.存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及參考數(shù)據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因此存款金額用十進(jìn)制計(jì)算,故,對(duì)于A,存款金額的首位數(shù)字是1的概率為,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,存款金額的首位數(shù)字是5的概率為,故不約為9.7%,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,存款金額的首位數(shù)字是6的概率為,存款金額的首位數(shù)字是7的概率為,因?yàn)?,故,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,存款金額的首位數(shù)字是8的概率為,存款金額的首位數(shù)字是9的概率為,故存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率為,故D正確.故選:D.9.設(shè),,滿足,且,則的面積為(

)A.3 B. C.9 D.【答案】A【分析】依題意可得,再利用勾股定理得到,將兩邊平方,即可得到,最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得;【詳解】解:依題意,,所以,又,即,所以,所以;故選:A10.若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,則這樣的切線共有(

)A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求出切線方程,再根據(jù)點(diǎn)在切線上,即可代入切線方程,解得,即可得解;【詳解】解:設(shè)切點(diǎn)為,由,所以,所以,所以切線方程為,即,因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn),所以,解得或,所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線可以作2條,故選:C11.若方程在上的解為,,則的值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程,再根據(jù)的取值范圍求出的范圍,即可得到,關(guān)于對(duì)稱(chēng),再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;【詳解】解:令,解得,所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為,因?yàn)榉匠淘谏系慕鉃椋?,因?yàn)椋?,又,所以,關(guān)于對(duì)稱(chēng);所以,所以;故選:D12.若數(shù)列和滿足,,,,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】依題意可得是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,即可求出的通項(xiàng)公式,再根據(jù),得到,即可得到的通項(xiàng)公式,最后代入即可;【詳解】解:因?yàn)?,,所以,即,又,所以是以為首?xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,又,即,所以所以;故選:C二、填空題13.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】作出可行域,目標(biāo)式子,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率,數(shù)形結(jié)合計(jì)算可得;【詳解】解:作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下所示:其中表示可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率,由,解得,即,由圖可知,即;故答案為:14.設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則___________.【答案】【分析】設(shè)公比為,依題意得到方程,求出,即可得解;【詳解】解:依題意設(shè)公比為,由,即,即,所以,即,解得或(舍去);所以;故答案為:15.若三棱柱的底面是以為斜邊的直角三角形,平面,,,則該三棱柱的外接球的體積為_(kāi)__________.【答案】【分析】依題意可得底面三角形外接圓的直徑即為,設(shè)外接球的半徑為,則,即可求出,再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)橹比庵酌媸且詾樾边叺闹苯侨切?,所以底面三角形外接圓的直徑即為,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,解得,所以外接球的體積;故答案為:16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,的平分線與軸交于點(diǎn),若四邊形的面積為,則橢圓的離心率___________.【答案】【分析】如圖,設(shè)與軸的交點(diǎn)為,連接,利用平面幾何知識(shí)結(jié)合焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可求四邊形為,從而可求離心率.【詳解】如圖,設(shè)與軸的交點(diǎn)為,連接,因?yàn)槠叫杏谳S,故為的中點(diǎn),且,故,又,故,因?yàn)?,故,所以,故四邊形為:,故即離心率為,故答案為:三、解答題17.影響消費(fèi)水平的原因是很多的,其中重要的一項(xiàng)是工資收入.下表是我國(guó)某地區(qū)2016年-2021年職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平(單位:萬(wàn)元)的數(shù)據(jù);年份201620172018201920202021職工平均工資城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平以表示職工平均工資,以表示城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平,繪制如下散點(diǎn)圖:(1)請(qǐng)寫(xiě)出從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)的與之間關(guān)系的一般規(guī)律,并求出線性回歸方程(精確到0.01);(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)2022年的職工平均工資至少多少萬(wàn)元時(shí),城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平才不少于8.11萬(wàn)元?附:線性回歸方程,,,參考數(shù)據(jù):,,【答案】(1)規(guī)律見(jiàn)解析,(2)【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)分析即可,再求出,,,即可得到回歸直線方程;(2)由(1)中的回歸直線方程求出的取值范圍,即可得解;【詳解】(1)解:從散點(diǎn)圖看到,各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域里,因此,職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平之間成正相關(guān),即職工平均工資越高,城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平越高;又,,,,所求線性回歸方程為;(2)解:當(dāng)時(shí),即,解得,所以估計(jì)年的職工平均工資至少達(dá)到萬(wàn)元;18.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)判斷的性狀,并加以證明;(2),,點(diǎn),分別在線段,上,且,求的最小值.【答案】(1)直角三角形;(2)【分析】(1)由余弦的二倍角公式變形后利用余弦定理化角為邊,從而得三角形形狀;(2)求出面積,得為定值,用余弦定理求并利用基本不等式得最小值.【詳解】(1)由,得,所以,由余弦定理得,整理得,所以,是直角三角形;(2)由,,得,,,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值是.19.如圖,為圓錐的頂點(diǎn),為圓錐底面的圓心,為底面直徑,為底面圓周上一點(diǎn),,四邊形為矩形,點(diǎn)在上,且平面.(1)請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由;(2)平面將多面體分成兩部分,求體積較大部分幾何體的體積.【答案】(1)點(diǎn)是的中點(diǎn),理由見(jiàn)解析(2)【分析】(1)取的中點(diǎn),連接,,即可得到,從而得到平面,同理可證平面,即可得到平面平面,從而得證;(2)由勾股定理求出,,再根據(jù)錐體的體積公式求出、、、即可得解;【詳解】(1)解:點(diǎn)是的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又平面,平面,所以平面,由四邊形為矩形,所以,又平面,平面,所以平面,因?yàn)椋矫?,所以平面平面,因?yàn)槠矫?,所以平面?2)解:由(1)知點(diǎn)是的中點(diǎn),因?yàn)椋?,所以,且,所以,所以三棱錐的體積;又三棱錐的體積,所以四棱錐的體積,所以幾何體的體積,所以體積較大部分幾何體的體積為;20.已知拋物線:,是上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且到點(diǎn)的距離的最小值為.直線與交于另一點(diǎn),是上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn).(1)求的值;(2)當(dāng),且面積最大時(shí),求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)【分析】(1),根據(jù)距離公式可得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最小值,從而可得的值.(2)根據(jù)(1)可得,聯(lián)立直線方程和拋物線方程后可求的坐標(biāo),設(shè),利用點(diǎn)到直線的距離公式可求距離的最大值,從而可得面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的的坐標(biāo),從而可判斷出圓心在軸上,利用待定系數(shù)法可求圓心坐標(biāo),從而可求圓的方程.【詳解】(1)設(shè),則,整理得到:,故當(dāng)時(shí),,故,(2)由(1)可得且,故直線的斜率為,設(shè),由可得,故或,因?yàn)樵谳S下方,故,所以,故,設(shè),其中又到直線的距離為,因?yàn)?,故的取值范圍為,故的最大值為,此時(shí)面積最大,且面積最大時(shí)即,因?yàn)椋躁P(guān)于軸對(duì)稱(chēng),故外接圓的圓心在軸上,設(shè)外接圓的圓心為,設(shè),故即,解得,故圓的半徑為,故外接圓的方程為:.21.已知函數(shù).(1)若為的極大值點(diǎn),求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),證明:.【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類(lèi)討論確定極值,得參數(shù)范圍;(2)不等式兩邊相減轉(zhuǎn)化變形為,換元令,則不等式為,令,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值,從而證得不等式成立.【詳解】(1),若,則,時(shí),,遞減,不可能是極大值點(diǎn),因此,的解為,,是極大值點(diǎn),則,即,此時(shí)有時(shí),,遞增,時(shí),,遞減,是極大值點(diǎn),所以;(2)時(shí),不等式為,即,令,即,令,,當(dāng)時(shí),,遞減,時(shí),,遞減,所以,所以,所以恒成立,即原不等式恒成立,所以.22.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè)與的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),的軌跡為曲線.(1)求曲線的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為,射線:與,分別交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).【答案】(1),(2)【分析】(1)消去參數(shù)得到直線、的普通方程,聯(lián)立兩方程消去,即可得到的軌跡;(2)首先將的方程化為極坐標(biāo)方程,再將代入兩極坐標(biāo)方程即可求出,,即可得解;【詳解】(1)解:因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)得直線的普通方程為①,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)得直線的普通方程為②,

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