河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知，其中是虛數(shù)單位，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)的形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，因?yàn)椋?，即，所以；故選：B2．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題意，，．故選：A．3．已知函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)，單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用奇偶性和單調(diào)性的定義判斷即可【詳解】解：定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，任取，且，則，因?yàn)?，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，故選：D4．已知都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，能推出，當(dāng)時(shí)，推不出，例如推不出，綜上可知，“”是“”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，充分條件、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.5．已知向量，，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量模的坐標(biāo)形式可求的最大值，注意利用二倍角的正弦公式來(lái)計(jì)算.【詳解】，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，故的最大值為，故選：D.6．2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物愛(ài)好者的喜愛(ài)，“冰墩墩”和“雪容融”將中國(guó)文化符號(hào)和冰雪運(yùn)動(dòng)完美融合，承載了新時(shí)代中國(guó)的形象和夢(mèng)想.若某個(gè)吉祥物愛(ài)好者從裝有3個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”的6個(gè)盲盒的袋子中任取2個(gè)盲盒，則恰好抽到1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列舉基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3個(gè)“冰墩墩”分別為a、b、c,3個(gè)“雪容融”分別為1、2、3；從6個(gè)盲盒的袋子中任取2個(gè)盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15種情況；其中恰好抽到1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”包含a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3共9種，所以概率為：.故選：C7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)三視圖得到如圖所示的幾何體，利用公式可求四棱錐的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖得到如圖所示的幾何體（四棱錐），其中底面為矩形，且，棱錐的高為1，且側(cè)面底面，，為等腰三角形且，為等腰三角形且，取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈妊切吻遥?，而?cè)面底面，側(cè)面，側(cè)面底面，故底面，故，而底面，故，而，故，故，同理側(cè)面，而側(cè)面，故，而，故，又，故幾何體的表面積為，故選：B.8．首位數(shù)定理：在進(jìn)位制中，以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個(gè)定理.已知某銀行10000名儲(chǔ)戶(hù)的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上述定理，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為B．存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%C．存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率D．存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及參考數(shù)據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因此存款金額用十進(jìn)制計(jì)算，故，對(duì)于A，存款金額的首位數(shù)字是1的概率為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，存款金額的首位數(shù)字是5的概率為，故不約為9.7%，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，存款金額的首位數(shù)字是6的概率為，存款金額的首位數(shù)字是7的概率為，因?yàn)?，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，存款金額的首位數(shù)字是8的概率為，存款金額的首位數(shù)字是9的概率為，故存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率為，故D正確.故選：D.9．設(shè)，，滿足，且，則的面積為（

）A．3 B． C．9 D．【答案】A【分析】依題意可得，再利用勾股定理得到，將兩邊平方，即可得到，最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，，所以，又，即，所以，所以；故選：A10．若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點(diǎn)在切線上，即可代入切線方程，解得，即可得解；【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得或，所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，故選：C11．若方程在上的解為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，再根據(jù)的取值范圍求出的范圍，即可得到，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；【詳解】解：令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，因?yàn)榉匠淘谏系慕鉃椋?，因?yàn)椋?，又，所以，關(guān)于對(duì)稱(chēng)；所以，所以；故選：D12．若數(shù)列和滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，得到，即可得到的通項(xiàng)公式，最后代入即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即，又，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又，即，所以所以；故選：C二、填空題13．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】作出可行域，目標(biāo)式子，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率，數(shù)形結(jié)合計(jì)算可得；【詳解】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下所示：其中表示可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率，由，解得，即，由圖可知，即；故答案為：14．設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則___________.【答案】【分析】設(shè)公比為，依題意得到方程，求出，即可得解；【詳解】解：依題意設(shè)公比為，由，即，即，所以，即，解得或（舍去）；所以；故答案為：15．若三棱柱的底面是以為斜邊的直角三角形，平面，，，則該三棱柱的外接球的體積為_(kāi)__________.【答案】【分析】依題意可得底面三角形外接圓的直徑即為，設(shè)外接球的半徑為，則，即可求出，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橹比庵酌媸且詾樾边叺闹苯侨切?，所以底面三角形外接圓的直徑即為，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得，所以外接球的體積；故答案為：16．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，的平分線與軸交于點(diǎn)，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.【答案】【分析】如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，連接，利用平面幾何知識(shí)結(jié)合焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可求四邊形為，從而可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠叫杏谳S，故為的中點(diǎn)，且，故，又，故，因?yàn)?，故，所以，故四邊形為：，故即離心率為，故答案為：三、解答題17．影響消費(fèi)水平的原因是很多的，其中重要的一項(xiàng)是工資收入.下表是我國(guó)某地區(qū)2016年-2021年職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)；年份201620172018201920202021職工平均工資城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平以表示職工平均工資，以表示城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平，繪制如下散點(diǎn)圖：(1)請(qǐng)寫(xiě)出從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)的與之間關(guān)系的一般規(guī)律，并求出線性回歸方程（精確到0.01）；(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)2022年的職工平均工資至少多少萬(wàn)元時(shí)，城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平才不少于8.11萬(wàn)元？附：線性回歸方程，，，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】(1)規(guī)律見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)分析即可，再求出，，，即可得到回歸直線方程；（2）由（1）中的回歸直線方程求出的取值范圍，即可得解；【詳解】(1)解：從散點(diǎn)圖看到，各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域里，因此，職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平之間成正相關(guān)，即職工平均工資越高，城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平越高；又，，，，所求線性回歸方程為；(2)解：當(dāng)時(shí)，即，解得，所以估計(jì)年的職工平均工資至少達(dá)到萬(wàn)元；18．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)判斷的性狀，并加以證明；(2)，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，求的最小值.【答案】(1)直角三角形；(2)【分析】（1）由余弦的二倍角公式變形后利用余弦定理化角為邊，從而得三角形形狀；（2）求出面積，得為定值，用余弦定理求并利用基本不等式得最小值．【詳解】(1)由，得，所以，由余弦定理得，整理得，所以，是直角三角形；(2)由，，得，，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．19．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，四邊形為矩形，點(diǎn)在上，且平面.(1)請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由；(2)平面將多面體分成兩部分，求體積較大部分幾何體的體積.【答案】(1)點(diǎn)是的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可得到，從而得到平面，同理可證平面，即可得到平面平面，從而得證；（2）由勾股定理求出，，再根據(jù)錐體的體積公式求出、、、即可得解；【詳解】(1)解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，由四邊形為矩形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?2)解：由（1）知點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，且，所以，所以三棱錐的體積；又三棱錐的體積，所以四棱錐的體積，所以幾何體的體積，所以體積較大部分幾何體的體積為；20．已知拋物線：，是上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離的最小值為.直線與交于另一點(diǎn)，是上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn).(1)求的值；(2)當(dāng)，且面積最大時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)【分析】（1），根據(jù)距離公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最小值，從而可得的值.（2）根據(jù)（1）可得，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后可求的坐標(biāo)，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求距離的最大值，從而可得面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的的坐標(biāo)，從而可判斷出圓心在軸上，利用待定系數(shù)法可求圓心坐標(biāo)，從而可求圓的方程.【詳解】(1)設(shè)，則，整理得到：，故當(dāng)時(shí)，，故，(2)由（1）可得且，故直線的斜率為，設(shè)，由可得，故或，因?yàn)樵谳S下方，故，所以，故，設(shè)，其中又到直線的距離為，因?yàn)?，故的取值范圍為，故的最大值為，此時(shí)面積最大，且面積最大時(shí)即，因?yàn)椋躁P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故外接圓的圓心在軸上，設(shè)外接圓的圓心為，設(shè)，故即，解得，故圓的半徑為，故外接圓的方程為：.21．已知函數(shù).(1)若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定極值，得參數(shù)范圍；（2）不等式兩邊相減轉(zhuǎn)化變形為，換元令，則不等式為，令，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值，從而證得不等式成立．【詳解】(1)，若，則，時(shí)，，遞減，不可能是極大值點(diǎn)，因此，的解為，，是極大值點(diǎn)，則，即，此時(shí)有時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，是極大值點(diǎn)，所以；(2)時(shí)，不等式為，即，令，即，令，，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞減，所以，所以，所以恒成立，即原不等式恒成立，所以．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線.(1)求曲線的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，射線：與，分別交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)得到直線、的普通方程，聯(lián)立兩方程消去，即可得到的軌跡；（2）首先將的方程化為極坐標(biāo)方程，再將代入兩極坐標(biāo)方程即可求出，，即可得解；【詳解】(1)解：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為①，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為②，