河南省豫北重點(diǎn)高中高三下學(xué)期4月份模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆河南省豫北重點(diǎn)高中高三下學(xué)期4月份模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解絕對(duì)值不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解【詳解】，故選：A3．為了解員工對(duì)“薪資改革方案”的態(tài)度，人資部門欲從研發(fā)部門和銷售部門的2200名員工中，用分層抽樣的方法抽取88名員工進(jìn)行調(diào)查，已知研發(fā)部門有800名員工，則應(yīng)從銷售部門抽取的員工人數(shù)是（

）A．24 B．32 C．56 D．72【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)應(yīng)從銷售部門抽取的員工人數(shù)為，則有，故選：C4．若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷與0，1的大小關(guān)系，即得.【詳解】∵，∴.故選：A.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將化為，再利用誘導(dǎo)公式配湊角度即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，即，?故選：B.6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線通徑長(zhǎng)和與漸近線交點(diǎn)情況可得，由和關(guān)系可求得，，由此可求得離心率.【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：；，為雙曲線的通徑，即；由得：，，由得：，即，，離心率.故選：D.7．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在底面圓的圓周上，且的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，取AO的中點(diǎn)F，連接GE、OE、EF，則有（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，設(shè)圓錐的底面半徑為2，解三角形可求得答案.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，取AO的中點(diǎn)F，連接GE、OE、EF，則，且，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，設(shè)圓錐的底面半徑為2，則，，，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，，，所以在中，滿足，所以，所以，故選：A.8．踢毽子是中國(guó)民間傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一，是一項(xiàng)簡(jiǎn)便易行的健身活動(dòng)．某單位組織踢毽子比賽，有名男員工和名女員工參加．其中男員工每人分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目為、、、；女員工每人分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目為、、、、、．則從分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目大于的員工中隨機(jī)抽取名，恰有人是男員工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目大于的男員工分別記為、，分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目大于的女員工分別記為、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目大于的男員工有名，分別記為、，分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目大于的女員工有名，分別記為、、，從上述人中隨機(jī)抽取名，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個(gè)基本事件，其中，事件“恰有人是男員工”所包含的基本事件有：、、、、、，共個(gè)基本事件，故所求概率為.故選：C.9．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出當(dāng)直線與曲線相切于原點(diǎn)、直線與曲線相切于原點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)直線與曲線相切于原點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與曲線相切于原點(diǎn)時(shí)，.結(jié)合圖象可知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：A.10．已知正方體的棱長(zhǎng)是，、分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)，當(dāng)平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、、、、、，證明出平面平面，可知點(diǎn)的軌跡為線段，分析可知當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、、、、、，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可得，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，因?yàn)榍?，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，，所以，平面平面，平面，平面，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，平面，則平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，平面，平面，則，，則，同理可得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值，此時(shí).故選：C.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是，且．若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，因?yàn)?，由可得，即，解?故選：B.12．已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后再確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由題意可得，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題13．已知向量，則向量的夾角是________．【答案】【分析】利用兩向量的夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解?！驹斀狻俊?，∴，又，∴故答案為：.14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】4【分析】先畫出可行域，然后由，得作出直線，向下平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，則取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可求得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得作出直線，向下平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，則取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：415．蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米，，，，則蜚英塔的高度是_______米．【答案】35【分析】設(shè)米，則可得，然后在中利用余弦定理列方程可求出的值，從而可求出蜚英塔的高度【詳解】設(shè)米，因?yàn)?，，，所以，在中，，，則由余弦定理得,，解得，所以蜚英塔的高度是35米，故答案為：3516．已知拋物線，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若，則________．【答案】【分析】易求直線的斜率，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消元之后可求得兩根之和以及兩根之積，代入弦長(zhǎng)公式，得到一個(gè)關(guān)于的方程，解之即得所求【詳解】設(shè)直線，則所以直線的方程為即：由消去整理得所以所以所以兩邊同時(shí)平方，整理得：解得故答案為：三、解答題17．新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)，外語(yǔ)，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物，政治，地理四科中選擇兩科．某校為了解該?？忌走x科目的選科情況，從該?？忌须S機(jī)選擇了100名考生進(jìn)行調(diào)查，得到下面的列聯(lián)表：選擇物理不選擇物理男4614女2020假設(shè)考生選擇每個(gè)科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響．(1)能否有的把握認(rèn)為考生是否選擇物理與性別有關(guān)?(2)已知該校有考生2200名，以上表中該校考生選擇物理科目的頻率代替該?？忌x擇物理科目的概率，估計(jì)該?？忌x擇物理作為首選科目的人數(shù)．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)能；(2)．【分析】（1）：根據(jù)公式求解，結(jié)合表格參考數(shù)據(jù)即可判斷結(jié)果；（2）：先求出該校考生選擇物理科目的概率，再結(jié)合校人數(shù)可得結(jié)果．【詳解】(1)根據(jù)題意可得所以有的把握認(rèn)為考生是否選擇物理與性別有關(guān)；(2)該?？忌x擇物理科目的概率為所以估計(jì)該校考生選擇物理作為首選科目的人數(shù)為．18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將已知等式進(jìn)行因式分解后可求得，利用與關(guān)系可求得和；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】(1)由得：；為正項(xiàng)數(shù)列，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；.(2)由（1）得：，.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，E是的中點(diǎn)，且．(1)證明：平面．(2)若，且，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)．【分析】（1）因?yàn)槭橇庑?，則，設(shè)與交于點(diǎn)，再證即可證明結(jié)論；（2）可證明，根據(jù)勾股定理可得的邊長(zhǎng)，結(jié)合錐體體積公式即可求解．【詳解】(1)設(shè)與交于點(diǎn)，因?yàn)槭橇庑?，則又因?yàn)?，則，且平面，平面，所以平面；(2)設(shè)，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以故，即，解得，則因，，所以平面，則平面，所以四棱錐的體積．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）將代入函數(shù)中，得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可以求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式即可求解；（2）根據(jù)已知條件可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)為，，∴，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率切線方程為，即.(2)由，得因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，可得對(duì)任意恒成立，設(shè)，則.因?yàn)?，所以使?duì)任意恒成立，則至少滿足，即，解得.下證明當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?記，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以在上的最大值?即在上恒成立.所以a的取值范圍為.21．已知橢圓的離心率是，分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)離心率可得，據(jù)此可求出a、c，再利用可求b，據(jù)此可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)利用點(diǎn)到直線距離公式求出P到直線l的距離d，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出，，研究表達(dá)式單調(diào)性判斷最大值即可.【詳解】(1)由題可知，，∴，；(2)設(shè)，，由得，，，∴，即，，，，到直線l：x－y＋m＝0的距離為，，令，則，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，g單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)，g(t)取最大值，取最大值，∴最大值為：.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）曲線方程和直線方程都化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式小于等于圓的半徑可得答案；（2）判斷出點(diǎn)在直線上，設(shè)直線l的參數(shù)方程為與曲線C的方程聯(lián)立得利用韋達(dá)定理求出，由可得答案.【詳解】(1)由得，圓心為，半徑為的圓，由得，因?yàn)橹本€l與曲線C有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，，解得，所以的取值范圍為.(2)因?yàn)樵谥本€上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與曲線C的方程聯(lián)立得，整理得，設(shè)對(duì)應(yīng)，，因?yàn)?，所以，所以?/p>