正弦定理和余弦定理應用舉例教學教案24

------------------------------------------------------------------------------正弦定理和余弦定理應用舉例學案24導學目標：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．自主梳理1．仰角和俯角與目標視線同在一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示)2．方位角一般指北方向線順時針到目標方向線的水平角，如方位角45°，是指北偏東45°，即東北方向．3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(如圖所示)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉α°到達目標方向．②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉α°到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．4．坡角坡面與水平面的夾角．(如圖所示)5．坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝eq\f(h,l)＝tanα(i為坡比，α為坡角)．6．解題的基本思路運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高度、角度等問題，實質是數(shù)學知識在生活中的應用，要解決好，就要把握如何把實際問題數(shù)學化，也就是如何把握一個抽象、概括的問題，即建立數(shù)學模型．自我檢測1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關系是()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°2．(2011·承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°3．如圖所示，為了測量某障礙物兩側A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是()A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b4．在200m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°、60°，則塔高為________m.5．(2010·全國Ⅱ)△ABC中，D為邊BC上的一點，BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求AD.探究點一與距離有關的問題例1(2010·陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？變式遷移1某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？探究點二測量高度問題例2如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.變式遷移2某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高．探究點三三角形中最值問題例3(2010·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔實際高度為125m，試問d為多少時，α－β最大？變式遷移3(2011·宜昌模擬)如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值．1．解三角形的一般步驟(1)分析題意，準確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根據(jù)題意畫出示意圖．(3)將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解．演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答．(4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍．2．應用舉例中常見幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)2．(2011·揭陽模擬)如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m3．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為eq\f(1,3)，則其外接圓的半徑為()A.eq\f(9\r(2),2) B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(9\r(2),8) D．9eq\r(2)4．(2011·滄州模擬)某人向正東方向走xkm后，向右轉150°，然后朝新方向走3km，結果他離出發(fā)點恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．35．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是每小時()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________．7．(2011·臺州模擬)某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度約為50秒，升旗手應以________米/秒的速度勻速升旗．8．(2011·宜昌模擬)線段AB外有一點C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向三、解答題(共38分)9．(12分)(2009·遼寧)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結果精確到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．10．(12分)如圖所示，甲船以每小時30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距10eq\r(2)海里．問乙船每小時航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2eq\r(3))；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；(2)應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？答案自我檢測1．B2.B3.A4.eq\f(400,3)5．解由cos∠ADC＝eq\f(3,5)＞0知B＜eq\f(π,2)，由已知得cosB＝eq\f(12,13)，sin∠ADC＝eq\f(4,5)，從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理得，eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，所以AD＝eq\f(BD·sinB,sin∠BAD)＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.課堂活動區(qū)例1解題導引這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當．解由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的時間t＝eq\f(30,30)＝1(小時)．故救援船到達D點需要1小時．變式遷移1解如圖所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝eq\f(312＋202－212,2×31×20)＝eq\f(23,31)，所以sinB＝eq\f(12\r(3),31).在△ABC中，AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，AB＝－11(舍)，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D處距A還有15千米．例2解題導引在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準確的示意圖，恰當?shù)剡x取相關的三角形和正、余弦定理逐步進行求解．注意綜合應用方程和平面幾何、立體幾何等知識．解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sinα＋β)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·tanθsinβ,sinα＋β).變式遷移2解由題意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BD＝eq\f(40sin30°,sin135°)＝20eq\r(2).過B作BE⊥CD于E，顯然當人在E處時，測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq\r(3)－1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝eq\f(10,3)(3－eq\r(3))(米)．故所求的塔高為eq\f(10,3)(3－eq\r(3))米．例3解題導引平面幾何圖形中研究或求有關長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題．而這些幾何問題通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函數(shù)思想．解(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124(m)．因此，算出的電視塔的高度H是124m.(2)由題設知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h(huán),d).所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(h,d＋\f(HH－h(huán),d))≤eq\f(h,2\r(HH－h(huán)))，當且僅當d＝eq\f(HH－h(huán),d)，即d＝eq\r(HH－h(huán))＝eq\r(125×125－4)＝55eq\r(5)時，上式取等號，所以當d＝55eq\r(5)時，tan(α－β)最大．因為0<β<α<eq\f(π,2)，則0<α－β<eq\f(π,2)，所以當d＝55eq\r(5)時，α－β最大．變式遷移3解設∠POB＝θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝eq\f(1,2)×1×2sinθ＋eq\f(\r(3),4)(5－4cosθ)＝2sin(θ－eq\f(π,3))＋eq\f(5\r(3),4).∴當θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(5π,6)時，ymax＝2＋eq\f(5\r(3),4).所以四邊形OPDC面積的最大值為2＋eq\f(5\r(3),4).課后練習區(qū)1．D2.A3.C4.C5.C6．30eq\r(2)km7.0.68.eq\f(70,43)解析如圖所示：設th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因為AB＝200，所以BD＝200－80t，問題就是求DE最小時t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴當t＝eq\f(70,43)時，DE最?。?．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.………………………(2分)又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.……………(6分)在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即AB＝eq\f(AC·sin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)，…………(10分)所以BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)≈0.33(km)．故B、D的距離約為0.33km.……………(12分)10．解如圖，連接A1B2，由題意知，A1B1＝20，A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝eq\f(20,60)×30eq\r(2)＝10eq\r(2)(海里)．…………(2分)又∵∠B2A2∴△A1A2B2是等邊三角形∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.……………(6分在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2)(海里)．…………………(10分)因此乙船的速度大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)(海里/小時)．…………(12分)11．解方法一(1)依題意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x.(3分)當x＝4時，y＝2eq\r(3